LIVRE PREMIER

Pour faire usage de cette expression, il faut réduire la fraction continue

en fractions alternativement plus grandes et plus petites que la fraction

entière. Les deux premières fractions sont -» ; les numérateurs des

fractions suivantes sont tels que le numérateur de la fraction i''^™* est égal au numérateur de la fraction (i— i)'^™« plus au numérateur de la fraction (« — 2)'^™^, multiplié par (i — i)q\ les dénominateurs se forment de la même manière. Ces fractions successives sont

I I i+'i.q \-\-5q i -h gq -\- 8q^

i' n-^' iH-3ç 1 + 6^ + 8/72 I -1- loçr + 15^2

Lorsque q ou -^ sera égal ou moindre que y? ces fractions donneront d'une manière prompte et approchée la valeur de la fraction entière.

28. On peut facilement étendre l'analyse précédente aux doubles, triples, etc. intégrales. Pour cela, considérons la double intégrale ffydxdx\ y étant une fonction de x et de x', qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que l'intégrale relative à x' doive être prise depuis une fonction X de a? jusqu'à une autre fonction X'4- X de la même variable. En faisant x' = \-i- 1\', l'intégrale ffydxdx' se changera dans celle-ci, ffyX'dxdt, l'intégrale relative à t devant être prise depuis t = 0 jusqu'à ^ = i : on peut donc réduire ainsi l'intégrale ffydxdx' à des limites constantes et indépendantes des variables qu'elle renferme. Nous supposerons qu'elle a cette forme, et que l'intégrale relative à x est prise depuis ^ = 6 jusqu'à x = zs, et que l'intégrale relative à x' est prise depuis x'= 9' jusqu'à x' = ct'. Gela posé, en nommant Y ce que devient y lorsqu'on y change x et x' en 6 et 8', on fera

OEuvres de L. — VU. 14

en supposant ensuite

X=zQ-hU, x'=9'->r-u',

on réduira log- dans une suite ordonnée par rapport aux puissances

de u et de u', et Ton aura une équation de cette forme

dans laquelle M est la partie du développement en série de log -> qui

renferme tous les termes multipliés par u, et M' est l'autre partie qui renferme les termes multipliés par u' et qui sont indépendants de u. On partagera l'équation précédente dans les deux suivantes

d'où l'on tirera celle-ci, par le retour des suites,

N étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de t et de t\ et N' étant uniquement ordonnée par rapport aux puissances de t', et étant indépendante de t; ces deux suites sont très convergentes, si y renferme des facteurs très élevés. Maintenant on a dxdx' = dudu'\ de plus on a

mais, dans le produit du du', la différentielle du est prise en faisante' constant, ce (j^ui rend t' constant ou dt' = o; on a donc

du= —rr- dt;

par conséquent

, , , d.l^t d.Wt' , j, du du = — T — — r-, — dt dt', ot ot'

ce qui donne