LIVRE PREMIER

Il est facile d'intégrer les divers termes du second membre de cette équation, puisqu'il ne s'agit que d'intégrer des termes de la forme

§edtc-\

Si l'on prend l'intégrale relative à t\ depuis t' nul jusqu'à t' infini, et que l'on nomme Q le résultat de l'intégration, on aura

l'intégrale relative à x' étant prise depuis ccf = 6' jusqu'à la valeur de x' qui répond à t infini. Si l'on change ensuite, dans Y et Q, 6' en xs\ et que l'on nomme Y' et Q' ce que deviennent alors ces quantités, on aura

l'intégrale étant prise depuis ^'= ct' jusqu'à la valeur de x' qui répond à t' infini.

En nommant R et R' les intégrales JQdtet fQ'dt prises depuis t nul jusqu'à t infini, on aura

ffX da:dx'=YR- Y' R',

l'intégrale relative à x' étant prise depuis x'= 6' jusqu'à x' = ts\ et

l'intégrale relative à x étant prise depuis a? = 9 jusqu'à la valeur de x

qui répond à t infini. Si dans Y, R, Y', R', on change 6 en w, et que

l'on nomme Y,, R,, Y',, R', ce que deviennent alors ces quantités, on

aura

ffX dxdx' = Yt^i — Y\ r; ,

l'intégrale relative à x' étant prise entre les limites 0' et zs, et l'intégrale relative à x étant prise depuis x ■= vs jusqu'à la valeur de x qui répond à t infini ; on aura donc

ffr rfa: rfar' = YR - Y' R' - Y, R, + Y', R, ,

l'intégrale relative à x étant prise entre les limites 6 et a, et l'intégrale relative à x' étant prise entre les limites 6' et ct'.

Cette formule répond à la formule (A) du n" 22, qui n'est relative qu'à une seule variable; elle a, comme elle, l'inconvénient de ne pou-

voir s'étendre aux intervalles voisins du maximum de y. Il faut, pour ces intervalles, employer une méthode analogue à celle du n'' 23. Ainsi, en supposant que, dans l'intervalle compris entre 9 et ct, y devienne un maximum relativement à a;, en sorte que la condition de ce maximum ne fasse disparaître que la différentielle dey, prise par rapport à J7, on fera

Y étant la valeur de y qui convient à ce maximum et à £i?'= 6'; et si, dans l'intervalle compris entre les limites des intégrations relatives à ^ et à x', y devient un maximum, on fera

Gomme nous aurons besoin principalement, dans la suite, de l'intégrale ffydx dx'i^rise entre les limites de x et de a?' qui rendent j^ nul, nous allons discuter ce cas.

Considérons l'intégrale ffydxdx', y étant une fonction de x, x', qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Si l'on nomme a, a' les valeurs de x, x' qui répondent au maximum de j, et que l'on nomme Y ce maximum, on fera

j=Yc-"-"'; en supposant ensuite

on substituera ces valeurs dans la fonction log -» et, en la développant

dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de 0, 6', on aura une équation de cette forme

•M92+ 2N00'H- PÔ'2= f2 -A- t'^.

Cette équation peut être mise sous la forme on fera donc