LIVRE PREMIER

différences sont des fonctions rationnelles des, que Ton peut toujours rendre entières en faisant disparaître les dénominateurs. Si l'on désigne, comme ci-dessus, par j^, y'^, ... les variables principales de ces équations, et si l'on fait

rs^=Jx^ o dxy r's — /.r* cp' dx, . . . ,

on aura

-^ — fx^odxlosx, — rV

ds "^ ' ds-

Aj^ =fx^ [x — 1)9 dx, A'^fs ^=fx^ [x — ï]^ (fdx,

-~ —fx^cû dx \ogx, —p^ z=.fx^(^dx (log.r)2,

dr\

-y^ =fx^ 9' dx \ogx,

Les équations proposées prendront ainsi les formes suivantes : S z=Jx^z dx. S' :=fx^z'dx, ....

En les traitant par la méthode précédente, on déterminera les valeurs

de <p, ?', ... en fonction de x, et les limites des intégrales Jx^(^dx,

Joc^a^'dx, ....

En faisant

y's =fC'' 9 dx, x's =Jc-''^- 9' dx, .. .,

on parviendrait à des équations semblables. Dans plusieurs circonstances, ces formes de y,, y's, ... seront plus commodes que les précédentes.

31. La principale difficulté que présente l'application de la méthode précédente consiste dans l'intégration des équations différentielles linéaires qui déterminent 9, 9', 9", ... en ^. Les degrés de ces équations ne dépendent point de ceux des équations aux différences en ys^ys* '••'■> ils dépendent uniquement des puissances les plus élevées de s dans leurs coefficients. En ne considérant donc qu'une seule variable r,, l'équation différentielle en 9 sera d'un degré égal au plus haut exposant de^ dans les coefficients de l'équation aux différences en j,. L'é-

OEuvresde L. — VII. 16

quation différentielle en o ne sera ainsi résoluble généralement que dans le cas où ce plus haut exposant est l'unité. Développons ce cas fort étendu.

Représentons l'équation différentielle eny^ par la suivante

V et T étant des fonctions linéaires de la variable principale j^ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Si l'on fait

^y étant égal à ir* ou à c~^^, elle deviendra

o=f<fd^(^Mdr+N^y

M et N étant des fonctions de x; on aura donc, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes :

da:

La première donne, en l'intégrant,

Hj^

dx

H étant une constante arbitraire. Supposons C nul dans la seconde équation; .r = o ou £r =: so sera l'une des limitesde l'intégrale /^/ç 6^, suivant que l'on prend -r* ou c'""" pour ^y. On déterminera les autres limites en résolvant l'équation o = Ncp^j.

Appliquons à cette intégrale la méthode d'approximation du n° 23. Si l'on désigne par a la valeur de oo donnée par l'équation

o = d['N cfdy],

et parQ ce que devient la fonction NcpSy, lorsqu'on y change x en «,

on fera

Ncpôr — Qc-f.