LIVRE PREMIER

log^j est de l'ordre s; si l'on suppose s très grand, et si l'on fait - = oc, a sera un très petit coefficient. La quantité sous le radical prendra cette

forme — X, X étant une fonction de ^ — <2 et de a; on aura donc,

par le retour des suites, la valeur de^en t, par une série de cette forme

x = a+ (z- ht + och^'U^ -h ac'^ h^^^ t^ -h

Maintenant, y, étant égal Si ffya^doc, si l'on substitue dans cette intégrale au lieu de cpSj sa valeur ? elle deviendra Q 1 ^ c~^'; et si dans ^ on substitue pour j? sa valeur précédente eu t, on aura r, par une suite de cette forme

les limites de l'intégrale relative à t devant se déterminer par la condition qu'à ces limites la quantité Nç^y ou son équivalente Qc'' soit nulle, d'où il suit que ces limites sont t = — ce et / = oo ; on aura donc, par le n° 24,

Cette expression a l'avantage d'être indépendante de la détermination des limites en x, qui rendent nulle la fonction N(p^r, en sorte qu'elle subsiste dans le cas même où cette fonction, égalée à zéro, n'a point de racines réelles; elle subsiste encore dans le cas de s négatif. Cette remarque, analogue à celle que nous avons faite dans le n° 25, et qui tient comme elle à la généralité de l'analyse, est très remarquable en ce qu'elle donne le moyen d'étendre la formule précédente à un grand nombre de cas auxquels la méthode qui nous y a conduits semble d'abord se refuser.

Cette formule ne renferme que la constante arbitraire H, et par con-

séquent elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation différentielle proposée en j,, si cette équation est d'un ordre supérieur à l'unité. Pour avoir dans ce cas l'intégrale complète, il faudra chercher dans l'équation o — </(N^?îj') autant de valeurs différentes de x qu'il y a d'unités dans cet ordre. Soient a, a', a", . . . ces valeurs; on changera successivement, dans l'expression précédente dej,, a en a', a", ..., et H en H', H", ...; on aura autant de valeurs particulières qui renfermeront chacune une arbitraire, et dont la somme sera l'expression complète deys-

Quand les coefficients de la proposée en j, renferment des puissances de s supérieures à l'unité, on peut quelquefois décomposer cette équation en plusieurs autres qui ne renferment que cette première puissance. Si l'on a, par exemple, l'équation

M étant une fonction rationnelle et entière de 5, on mettra cette fonction sous la forme

on

fera

ensuite

Zs^i

>-f- bjZs,

ts+^

-^f)ts,

= {s+f)is,

Il est facile, par ce qui précède, de déterminer ^„ t^, ... en intégrales définies, et de réduire ces intégrales en séries convergentes, lorsque s est un grand nombre. On aura ensuite

Dans plusieurs cas où l'équation différentielle en ç, étant d'un ordre supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement, on peut déterminer ©par une approximation très convergente; en substituant ensuite cette valeur de <p dans l'intégrale Jx'a^dx, on peut obtenir d'une manière for-t approchée la valeur de cette intégrale.