LIVRE PREMIER. 18S

En multipliant ces deux équations l'une par l'autre, on aura

(,-.a^)(4-f«»)...(.'^-F') = JFMTc^ïT^rffc-

L'équation (T) du n° 24 donne

n^ftn+r-2dtc-^''ft"-'-dtc-(''= v''-Z^)^ .

sin n

En faisant w = I et (A = r— I, on a i

ftv- dtc-' ft-^ dtc-t = .^ ;

on a donc

sinfZ7: = i^(i-^2)(4-i^^)...(*'^-/x^)(.-'-"^|^' + Si l'on fait (i infiniment petit, cette équation donne

divisant donc l'équation précédente par celle-ci, on aura

sl„,. = ,„,-,^)(.-.^)(.-|)...(,-^^)(,-^^...).

Si l'on fait s' infini, on a pour l'expression de sin 9, cp étant égal à [x-, le produit infini

l'expression de sin^p est ainsi décomposable dans une infinité de facteurs, ce que l'on sait d'ailleurs.

En supposant 9 imaginaire et égal à cp' y — i , sin <p devient :r:zz=- ;

on a donc

et en faisant / infini, on voit que cf'— c~^' est égal au produit infini

On aura, par un procédé semblable, le produit continu de facteurs dont le terme général est une fonction rationnelle entière ou fractionnaire de s. Mais l'expression à laquelle on parviendra pourra contenir d'autres transcendantes dépendantes d'intégrales définies de la forme

On peut observer ici que, ces produits étant mis sous la forme fx^a^dx, leur différentiation par rapport à la variable s présente une idée claire, et alors on a pour cette différentielle Jx^a^dx \ogx.

Les expressions de ys données par les formules (q) et [q') du numéro précédent ont encore lieu, suivant la remarque du n° 30, dans le cas où s et (x sont négatifs, quoique dans ce cas l'équation

qui détermine les limites de l'intégrale définie qui représente la valeur de j^, n'ait pas plusieurs racines réelles. Si, dans la formule (q) du numéro précédent, on change s dans — ^ et \j. dans — \j., elle devient

Y^^c^V27r(i —+ -TT^ — ••• )

* - : l' dx c~-^