LIVRE PREMIER. H

donne

lang CT ^ GJ.

Ainsi, X3 étant compris dans le second maximum entre - et 2-,

tang ■ cj surpasse 77; par conséquent vs surpasse r-i-jx; il

est donc compris entre |tc et |x. L'équation précédente du maximum donne

— sm — js

sin^GT v'cos2icj + (2/1 + i)-! sin=2^GT

Ce dernier membre est plus petit que

2/ï -h I sin^Gj'

GJ - ~-

2 ^QJ

^cj ne surpassant pas ^7:, il est facile de s'assurer que , '^^ n'est

jamais moindre que sa valeur qui répond à cy = 7;, et qui est égale à - ; le second membre dont il s'agit est donc généralement plus petit que

■ • GJ

Relativement au second maximum, u étant compris entre |7t et

jTT, ce membre sera plus petit que (2/1 + i)|; ainsi la puissance s de

sm GT

7—, ne surpassera point (2/1+ «)^(|)^; elle sera donc, lorsque

s est un très grand nombre, incomparablement plus petite que la même puissance correspondante au premier maximum, et qui est égale à (2/1 + 1)'.

On verra de la même manière que le troisième maximum est compris

entre cy = |ct, et cr — |ct, et qu a ce maximum la puis-

OEuvrcsde L.— VU. Î9

sin w

sance s de ^-^ ne surpasse pas {2n -\- i/d)^; que le quatrième

maximum est compris entre — '^ — t:j = ^■k et ^— — cr = jx, et qu'à ce

. 2n + 1 sin C7

maximum la puissance s de r-j ne surpasse point {2 n -^ if {^^y ,

et ainsi de suite.

Maintenant, si, à partir de l'un quelconque de ces maxima, on fait

^ . 2/14-1 X'* /, 2n-f-i„\* Sin m\ /sin Il \

\ singer / ~ \ sin^II / " ' n étant la valeur de ct qui correspond à ce maximum, et si l'on fait

on aura, en prenant les logarithmes des deux membres de l'équation précédente entre cy et t,

s log sin (n H- cj' ) — 5 log sin^{n ■+■ nr')

= s (log sin n — logsin^nj — t^.

En développant le premier membre de cette équation suivant les puissances de vs'y la comparaison de la première puissance donnera d'abord l'équation du maximum

tang- 11== (2/14-1) tang^n.

En ne considérant ensuite que la seconde puissance de ts\ on aura

ans = r=n -,