LIVRE PREMIER. U

On déterminera de la même manière le terme moyen d'un polynôme quelconque, élevé à une très haute puissance. Supposons d'abord le nombre des termes du polynôme impair et égal à 2w + i, et représentons ce polynôme par

En substituant c^>f-^ pour a, ce polynôme devient

I H- 2 CCS CT H- 2 ces 2CJ + . . . + 2 CCS n CT ;

, 9, n -f- 1 sin Ts

or cette fonction est égale à t—, ; la puissance s du polynôme

° sm^cT ^ ^ "^

est donc

(, in -\-i \* Sm GT \ ^ .

sin^GT /

Le terme moyen de cette puissance est le terme indépendant de cj dans son développement en cosinus de l'angle xs et de ses multiples. On aura évidemment ce terme en multipliant la puissance par dxs, en prenant ensuite l'intégrale depuis cr = o jusqu'à tj =: - et en la divisant par -. Ce terme est donc égal à

/ sm nj \

i/rfj__4 — I.

Tz^ \ sin\xs /

sm cj

La condition du maximum de -. — , donne l'équation

lang Gj= (2/1 + i) tangisj.

11 y a, depuis cr nul jusqu'à ct = tt, plusieurs maxima, alternativement positifs et négatifs. Le premier répond à u nul et donne

tu THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

Pour avoir l'intégrale précédente, depuis ce maximum jusqu'au point

sin Gj

où r-î est nul, ce qui a lieu d'abord lorsque ct = > on

sm^GT ' n n 2/14-1

fera

(. 2n -f- 1 \^ sm Gj \

En prenant les logarithmes et réduisant en série, relativement aux puissances de u, la fonction

sm Gj

s log :— j

on aura

ce qui donne

dxs = ^— \-

l'intégrale précédente devient ainsi

dtsfë .^.

TT J \ln[n + \

Elle doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini; car à l'origine, ou lorsque ci est nul, t est nul, et à la limite, où ct = » / est infini;

cette intégrale devient donc, en ne considérant que le premier terme et négligeant les suivants, qui sont par rapport à lui de l'ordre -»

\Jn[n-\- \)isv:

Le second maximum est négatif, et répond à une valeur de ct

comprise entre \t: et -tu. En effet, l'équation du maximum

lang GT= [in 4- ij lang^cj