SIR

Mémoires de V Académie royale des Sciences de Paris, année 1783; 1786.

Les mouvements du centre de gravité de la Terre autour du Soleil et de la Terre elle-même autour de son centre de gravité ont été déterminés avec beaucoup de précision, et, s'il reste quelque incertitude à cet égard, elle n'a pour objet que des inégalités périodiques dont la petitesse échappe aux observations, ou des inégalités séculaires que la suite des temps peut seule rendre sensibles; mais nous sommes bien loin de connaître avec la même exactitude la constitution du globe terrestre, c'est-à-dire sa figure, celle de ses couches et la loi suivant laquelle leur densité varie du centre à la surface. La nature oppose à nos recherches sur ce point des obstacles qu'il nous sera toujours impossible de surmonter : nous sommes ainsi réduits à tirer des phénomènes qui dépendent de la constitution de la Terre et que nous pouvons observer à sa surface, sinon les vrais éléments de la théorie physique de cette planète, du moins les limites entre lesquelles ils sont compris. Ces recherches, intéressantes par elles' mêmes, sont encore d'une grande utilité en Astronomie; les mouvements du Soleil et de la Lune donnés par les Tables sont rapportés au centre de gravité de la Terre. C'est ce point que l'on regar<îo comme immobile dans la théorie de la Lune et d'où l'on suppose

k MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

émaner la force principale qui retient cet astre dans son orbite; ainsi, pour comparer la théorie aux observations, il faut les réduire au centre de gravité de la Terre, ce qui suppose une connaissance au moins fort approchée de la longueur des rayons menés de ce point à sa surface. La Terre étant à très peu près sphérique, la variation des parallaxes, dépendante de sa figure, est inappréciable par rapport au Soleil et aux planètes; mais elle est sensible relativement à la Lune : elle serait de plus de 20 secondes si l'aplatissement de la Terre était jfj, comme plusieurs astronomes le supposent. Cette quantité n'est point à négliger et demande à être déterminée avec soin, dans l'état actuel de l'Astronomie, où les observations sont susceptibles d'une grande précision, et dans un temps où la théorie de la Lune est devenue si importante pour la Navigation et pour la Géographie. Je me propose d'exposer dans ce Mémoire ce que les observations et la théorie nous apprennent sur la constitution de la Terre et de déterminer aussi exactement qu'il est possible la figure que l'on doit supposer à cette planète dans le calcul des principaux phénomènes qui en dépendent, tels que la variation de la pesanteur de l'équateur aux pôles, les parallaxes, les éclipses, la précession des équinoxes et la nutation de l'axe terrestre.

Des mesures très multipliées des degrés du méridien et des perpendiculaires à la méridienne donneraient la loi des rayons osculateurs de la surface de la Terre et, par conséquent, la nature de cette surface; mais ce moyen est impraticable par la multiplicité des mesures qu'il exige : d'ailleurs, on n'aurait ainsi que les rayons osculateurs des continents et des îles, dont la surface n'est qu'une petite partie de celle du globe terrestre. Les observations seules ne peuvent donc pas nous conduire à la vraie figure de la Terre, et, pour y parvenir, il est nécessaire de les combiner avec le principe de la pesanteur universelle.

La Terre étant recouverte en grande partie des eaux de la mer, les conditions de leur équilibre sont les données les plus générales que nous ayons sur la figure de cette planète; or les géomètres ont fait voir que, en lui supposant la figure d'un ellipsoïde de révolution très peu différent de la sphère, cet équilibre peut subsister en vertu de toutes les forces dont elle est animée; il suffit alors de la mesure de deux degrés pour déterminer la figure de la Terre, et c'est dans cette vue que les voyages célèbres des astronomes français, vers le pôle et à l'équateur, ont été entrepris. A l'observation de la mesure des degrés ils ont joint l'observation non moins importante de la longueur du pendule à secondes. Des mesures semblables ont été faites avec un grand soin dans plusieurs parties du globe, et cela était indispensable pour vérifier l'hypothèse de l'ellipticité de la Terre qui n'est une suite nécessaire de l'équilibre de la mer que dans le cas où cette planète est homogène. La théorie elliptique offre encore un moyen de vérifier cette hypothèse; car alors les lois de la variation de la pesanteur et de celle des degrés sont liées entre elles de manière que, en ajoutant l'ellipticité de la Terre au rapport de la variation totale de la pesanteur à la pesanteur moyenne, la somme est égale à cinq fois la moitié du rapport de la force centrifuge à la pesanteur, rapport qui, comme l'on sait, est j^. Voyons maintenant ce que l'observation nous a fait connaître.

Parmi toutes les mesures des degrés du méridien, nous ne considérerons que celles qui ont été faites au Nord, en France, à l'équateur et au cap de Bonne-Espérance, et qui, par les soins et les noms des observateurs, méritent une entière confiance. Ces mesures sont comprises dans la Table suivante (Cosmographie de M. l'ahbé Fersi, t. Il,

Latitudes. Degrés mesurés.

. o ' loUes

Equateur o. o 56753

Cap de Bonne-Espérance 33. 18 57087

France 49-23 57074

Nord 66.20 57405

Supposons que les erreurs de ces mesures soient exprimées respectivement par les nombres de toises x, x\ x\ x'"; si l'on nomme 6 la

latitude et kI'^kô l'ellipticité de la Terre ou, ce qui revient au même, la différence de ses axes, celui du pôle étant pris pour l'unité, l'expression générale en toises du degré du méridien sera, à très peu près, dans l'hypothèse elliptique,

56753 + 0? + jsin^^.

Si l'on compare la première des quatre mesures précédentes successivement avec la seconde, la troisième et la quatrième, on aura les trois expressions suivantes dey :

S'il n'y avait point d'erreur sensible dans les mesures, les grandes différences de ces trois valeurs de y indiqueraient évidemment que la Terre n'est point un ellipsoïde de révolution; mais, avant que de rejeter cette figure, il faut examiner si les erreurs que l'on doit supposer aux observations sont au-dessus de celles que comportent ces observations, ce qui se réduit à déterminer le système des valeurs de X, x\ x", x'" , qui, satisfaisant aux trois équations précédentes, donne, abstraction faite du signe, la plus petite valeur possible à la plus grande de ces quantités. C'est une question de minimis d'un genre particulier et dont la solution est utile dans toutes les circonstances où il s'agît de voir si les résultats d'une hypothèse sont dans les limites des erreurs dont les observations sont susceptibles; on peut la résoudre par la méthode suivante.

Les trois équations précédentes donnent, en retranchant la seconde successivement de la première et de la troisième,

o = 385,10 — a?*. 1,7355 + ^' .3,3176 — X. 1,5821, o — 220,i5 + af . 1,1921 — x" , 1,7355 + 07.0,5434.

Supposons d'abord que l'on n'ait entre un nombre quelconque

MÉMOIRE Sun LA FIGURE DE LA TERRE. 7

d'indéterminées x, x', ce", x"\ ... qu^une seule équation du premier degré que nous représenterons par celle-ci

a étant positif.

On aura le système des valeurs de x, x\ x'\ ar'", ... qui donne, abstraction faite du signe, la plus petite valeur possible à la plus grande de ces quantités, en les supposant, au signe près, toutes égales entre elles et au quotient de a divisé par la somme des coefficients m, n, p, ... pris positivement; quant au signe que chaque quantité doit avoir, il doit être le même que celui du coefficient de cette quantité dans l'équation proposée.

Si l'on a deux équations entre ces indéterminées, le système qui donnera la plus petite valeur possible à la plus grande sera tel que, abstraction faite du signe, toutes ces indéterminées seront égales entre elles, à l'exception d'une seule qui sera plus petite que les autres, ou du moins qui ne les surpassera pas. En supposant donc que x soit cette quantité, on la déterminera en fonction de x\ x'\ . . . au moyen de l'une des équations proposées; en substituant ensuite cette valeur de x dans l'autre équation, on en formera une entre x\ x\ Représentons-la par la suivante

a étant positif; on en tirera, comme ci-dessus, les valeurs de x', x", ... en divisant a par la somme des coefficients n, p, ... pris positivement et en donnant successivement au quotient les signes de n, p, »... Ces valeurs, substituées dans l'expression de x en x\ x", . . . , donneront la valeur de x; et si cette valeur, abstraction faite du signe, n'est pas plus grande que celles de x\ x" , ..., ce système de valeurs sera celui qu'il faut adopter; mais, si elle est plus grande, il faudra opérer successivement sur x\ x\ . . . comme on vient de le prescrire relativement à x, et l'on arrivera infailliblement au système cherché. Il est facile d'étendre cette méthode au cas où l'on aurait

trois ou un plus grand nombre d'équations entre les indéterminées x,

OC 9 Ou ^ • • « •

En l'appliquant aux équations précédentes, on trouve

d'où l'on tire j = 684**^'^^% 4 î c'est la différence des deux degrés du pôle et de l'équateur. Suivant cette valeur de j, les deux axes du pôle et de l'équateur sont à très peu près dans le rapport de 249 à 2^0, et l'on est assuré que tout autre rapport donnerait dans quelques-unes des quatre mesures précédentes une erreur au-dessus de 75*°'^*^^.

Une erreur de 76*°'^*^ est peu vraisemblable : il est moins vraisemblable encore qu'elle se rencontre à la fois dans les trois mesures du Nord, de France et du cap de Bonne-Espérance; d'ailleurs, le cas qui ne donne que 75*'''''**^ d'erreur étant une limite, il est infiniment peu probable. Enfin, on trouverait de plus grandes erreurs si l'on faisait usage des autres mesures des degrés terrestres; car, en adoptant les valeurs précédentes de x et de y, le degré correspondant à la latitude de 39*^12', et calculé d'après l'expression du degré terrestre

56753 -\- X -\- y sin^ Q,

serait de 57028**'*"% 55 : le degré mesuré à cette altitude en Pensylvanie a été trouvé de 56888 toises, moindre que le précédent de j^Qtoises 55^ et il est visible que l'on ne peut diminuer cette erreur qu'en augmentant celles des autres mesures.

De là nous pouvons conclure que l'hypothèse d'une figure elliptique ne peut pas se concilier avec les observations de la mesure des degrés terrestres et que la Terre s'écarte sensiblement de cette figure; de plus, il est fort probable qu'elle n'est pas formée de deux parties semblables de chaque côté de l'équateur, car le degré mesuré au cap de Bonne-Espérance est presque égal au degré de Paris, quoique les latitudes de ces deux lieux soient différentes, et il surpasse de j^^toises ig jggp^ ^jg Pensylvanie, qui cependant est plus voisin du

pôle d'environ 6 degrés, ce qui semble indiquer que la Terre est plus aplatie vers le pôle austral que vers le pôle boréal. On peut même soupçonner, d'après ces mesures, que la Terre n'est pas un solide de révolution ; mais les erreurs dont elles sont susceptibles ne permettent pas de prononcer sur cet objet.

Les variations observées dans la longueur du pendule à secondes suivent une marche bien plus régulière que les variations des degrés des méridiens; elles s'éloignent fort peu de la loi du carré du sinus de la latitude, et la formule suivante les représente à ^^ de ligne près, c'est-à-dire avec toute l'exactitude qu'elles comportent :

Longueur du pendule à secondes = 439''6°®%3o + a^'e"", 438 sin*ô.

On peut facilement s'en convaincre par l'inspection de la Table suivante :

Longueur

observée calculée

du par Erreur

pendule la formule de

Latitude. à secondes. précédente. la formule.

o t lignes lignes li^es

La longueur moyenne du pendule à secondes est, suivant la formule précédente, de 44o"^°'%52, et la variation totale de la pesanteur est de 2''^",438 : les longueurs du pendule étant proportionnelles aux pesanteurs, le rapport de la variation totale de la pesanteur à la

ORwres de L. ~ W. a

10 MÉMOIRE SUR LA FlGrURE DE LA TERRE.

pesanteur moyenne sera tt^-^ ou o,oo55344- Nous avons observé (art. II) que, si la Terre est elliptique, le rapport précédent ajouté à

l'ellipticité de la Terre est égal à — ou à o,oo865o5; en retranchant donc o,oo55344 de ce dernier nombre, on aura o,oo3ii6i pour l'ellipticité de la Terre tirée de la variation de la pesanteur, ce qui donne les deux axes de la Terre dans le rapport de 820 à 821 . Ce rapport diffère trop de celui de 249 à 2S0 qui, par l'article III, approche le plus de satisfaire aux mesures des degrés, pour que cette différence puisse être attribuée aux erreurs des observations; ainsi les deux moyens qui doivent servir à vérifier l'hypothèse elliptique, savoir la mesure de plusieurs degrés et la variation observée de la pesanteur, se réunissent pour exclure cette hypothèse; mais il est très remarquable que, tandis que les variations des degrés s'écartent sensiblement de la loi du carré du sinus de la latitude, cette loi représente à très peu près les variations de la pesanteur. Ce phénomène est un des points les plus importants de la théorie de la Terre ; en le combinant avec les conditions de l'équilibre de la mer, nous allons en voir naître la loi de la variation des rayons terrestres.

Pour cela, il est nécessaire de considérer la figure de la Terre avec la plus grande généralité, sans s'astreindre à aucune hypothèse sur la figure et sur la densité de ses couches, en supposant uniquement qu'elle est peu différente d'une sphère et que le fluide qui la recouvre est en équilibre : c'est ainsi que j'ai envisagé la figure des planètes dans l'Ouvrage que j'ai publié sur cette matière dans le Volume de nos Mémoires pour l'année 1782 (*). J'y suis parvenu à des formules générales et simples sur les attractions des sphéroïdes quelconques peu différents de la sphère, et j'en ai tiré les lois de la variation des rayons et de la pesanteur à la surface qui résultent de l'équilibre du

( • ) OEuvrcs de Laplace, T. X, p. 34 1 .

MÉMOIRE SUR LA FIGURE I)E LA TERRE. il

tluitle dont on les suppose recouvertes, quelles que soient d'ailleurs les forces qui l'animent : ces formules, appliquées à la Terre, donnent les résultats suivants.

Soit 0 l'angle que forme un rayon quelconque d'une couche du sphéroïde terrestre avec l'axe de rotation; ct l'angle que forme le plan qui passe par ces deux lignes avec un plan invariable passant par l'axe de rotation; soit a(i h- aj) le rayon mené du centre de gravité de la Terre h la surface de cette couche, a étant un très petit coefficient et y étant une fonction de (x et de cr; supposons que cette fonction soit mise sous la forme suivante

Y(o)^ Y^*\ Y^^\ . . . étant des fonctions rationnelles et entières de (x, \fT~— p."coscT, v/i — [J"-' siuCT, d'un ordre égal à l'indice de ces fonctions, et qui soient telles que la fonction Y^'^ satisfasse, quel que soit /, à l'équation aux différences partielles

Soit enfin p la densité de la couche, p étant fonction de «, et nommons aç le rapport de la force centrifuge à la pesanteur ; les conditions de l'équilibre donnent à la surface les équations suivantes :

o = Y«"y p da} — 3fp <i(a5 Y^o) ) — { 'ffp da\

o =: Y(»)y*p rfa' — y*p ^(«* Y'»'),

o = Y(')/pc?a»-f/pû?(a«Y<*)) + i9(f;L'-i)/prfa»,

o — Y(i)fpda^ i yprf(a'+3Y(''),

les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable a, et les intégrales étant prises depuis a = o jusqu'à la valeur de a à la surface, valeur que nous désignerons par l'unité.

La propriété du centre de gravité où nous fixons l'origine des rayons donne les trois équations suivantes, en négligeant les quantités de l'ordre a^,

o= f f f p\Ji — fjL^cosGjrf/ntfe<i[a*(n-4ay)], 0= f f f psji — [i.^ '&\nTss d^i. drs d[a'* {i -h 4a/)],

les troisièmes différentielles étant relatives à la variable a, et les intégrales étant prises depuis a = o jusqu'à « = i, depuis ^ = i jusqu'à fjL =: — I , et depuis cy = o jusqu'à vs — 36o° ; ces trois équations donneront ainsi, en y substituant au lieudejsavaleur Y^**^H-Y^*^ + Y^2^ + . ...

o =fffpiJ. dii dxs d{a'YW -+- a* Y^i' + a* Y^^' + .••),

o =fffp sA^^f^ coscT dix dm c/(a* Y(«' -h a* Y^*) + a* Y^-) + ...),

o =yyy*p V'T^^ sincT rf/ji rfcT rf(a^ Y^*») + «*Y(») 4- a* Y''') + . . . ).

Pour exécuter ces intégrations, je vais rappeler ici un théorème général que j'ai démontré dans l'Ouvrage cité.

Si Y''' et IJf''^ sont deux fonctions rationnelles et entières de {x, v/r^^^^~[I^ cosCT et y/i — H^^ sincj, qui satisfont aux équations à différences partielles

,, aY')~| (?^Y<')

àu àm^ ., . .y.T,,;

dix I — fx- ^

,,aU('")'l a^U^'")

dp- àvs^ ... ., .f,,,,,

O'fL 1 IJ.^

on aura, lorsque les nombres i et i' sont différents,

0—ffY^i)\]^i')dlLdxS,

les intégrales étant prises depuis [jt. = i jusqu'à {/ = — 1, et depuis CT = o jusqu'à CT = 36o*'.

11 suit de là que, jx, y^i — (jl^'cosct et sjT— [x^sincy étant de la

forme U^'\ les trois équations précédentes deviennent

o =fffp dix dw d{a^\^') ),

o = fffç sji — II* coscj d^i dxs d{a^ Y^*^),

o=:fJ'fç)sJi — IX* sinjs dix dts d{a^Y^^^).

Ces intégrales paraissent supposer la connaissance de Y^'' dans l'intérieur du sphéroïde; mais on peut, au moyen des équations précédentes de l'équilibre, les ramener à ne dépendre que de la valeur de Y^'^ à la surface extérieure; en effet, la seconde de ces équations

donne

fpd{a''Y^')) — Y<'''>fç>da\

la valeur de Y^'\ dans ce second membre, étant relative à la surface extérieure. On aura donc

o—ffY^')dixdw,

o zi: /y Y(*> v^i — fx* coscT dix dxs,

o =Jj'Y^'^) sJV^'ix* èinvs dixduj.

Y^'^ est de cette forme

Rix -i-H' \/ 1 — IX* cosrs -h W \/ 1 — /x^sinsr;

en substituant cette valeur dans ces trois équations, on aura H = o, H'=o, H"=o, partant Y^'^=o. On voit ainsi que, si l'origine des rayons est au centre de gravité du sphéroïde, le rayon à la surface

extérieure sera

iH- a (YW + YW + Y(3) -+-... ),

et, comme aY^"^ est une constante, on pourra la supposer comprise dans la constante a que nous avons prise pour l'unité, ce qui donne à l'expression du rayon à la surface cette forme plus simple

L'équilibre permanent du globe terrestre peut nous éclairer encore sur la nature des rayons menés de son centre de gravité à sa surface. Si cette planète ne tournait pas exactement, ou du moins à très peu près, autour d'un de ses trois axes principaux, il en résulterait, dans la position de son axe de rotation, des oscillations qui deviendraient sensibles par les changements de la hauteur du pôle, et, comme les observations les plus précises n'en font apercevoir aucun , nous devons en conclure que, depuis longtemps, toutes les parties de la Terre, et principalement les parties fluides de sa surface, se sont disposées de manière à rendre stable l'axe de la Terre, et par conséquent leur état d'équilibre. Il est en effet très naturel de penser qu'après un grand nombre d'oscillations elles ont dû se fixer à cet état, en vertu des résistances en tout genre qu'elles éprouvent; voyons maintenant la condition qui en résulte dans l'expression du rayon terrestre.

Si l'on nomme x\ y\ z' les coordonnées d'une molécule c?M de la Terre, ses trois axes principaux étant ceux mêmes des coordonnées dont nous fixons l'origine à son centre de gravité, on aura, par la propriété de ces axes,

o=fx'ydM, o—Jx'z'dm, o=fy'z'dM;

mais, a(i -+- ccy) étant le rayon d'une couche terrestre, on a

y' = a{i + ocf)\/i — jx^coscj,

z' — n{i + cny)\/i — ^^ sincj.

D'ailleurs on aura donc

d^ = — \pdiJ.dmd\ci^{i + a7)'];

° "^ fffp^ V^' — f^' cosw diidwd[a^i + 5 aj)], ^ —ffjPi^ V^^-^' sincj dix d^ d[a'{i 4- Sa/)], ^—fJJp^^ — f^')sin2GTrf^£/GTrf[a5(n-5aj)],

les dernières difTérentielles étant relatives à la variable a, et les intégrales étant prises depuis a = o jusqu'à « = i , depuis (Jt, = i jusqu'à {JL = — I , et depuis u = o jusqu'à cr = 36o°. Les quantités

^y/i — ILx'cosGT, y.\/i-- iJ.^ sinvy, (i — p.') sinaro

sont comprises dans la forme U^'^• en substituant donc au lieu de y sa valeur Y^^^H- Y<'^ -f- Y<*^ -h . . . , les trois équations précédentes se réduiront aux suivantes, en vertu du théorème énoncé ci-dessus :

o =zj'j'j'py.sji — ^^ cosGT d[x.dxs d{a^\^*)).

On peut exécuter les intégrations relatives à la variable a au moyen des équations précédentes de l'équilibre, qui donnent

la valeur de Y<^^ du second membre de cette équation étant relative à la surface ; on aura ainsi

o = /y Y' ^' /x y/i — fjL^ coscT ofjji dxn,

0= y f Y^^^iJ-s/i — yi^ s\nrn dix dm,

Ces équations sont indépendantes de la constitution intérieure de la Terre et se rapportent uniquement à sa surface. La .valeur de Y^'^est de cette forme

Hiix"-— \) -t-U'fjtv^— fx*sinGT-i-HVv/' — fJ^*coscT 4- H*(i — pL*)sin2GTH- H'^(i — jjt') cos?.5j;

en la substituant dans les équations précédentes, on aura

H'=o, H"=:o, H" 1=0, ce qui réduit Y^^^ à cette forme

H(/^-— i) + H'^(l — /Jl') C0S2CT.

Telle est la condition qui résulte de la supposition que la Terre tourne autour d'un de ses axes principaux; mais les constantes H, H"' et les fonctions Y^^\ Y^*^ . . . restent indéterminées. Voyons ce que les autres phénomènes dépendants de la figure de la Terre nous apprennent sur leur nature.

J'ai fait voir, dans l'Ouvrage cité, que les trois expressions du rayon terrestre, de la longueur du pendule à secondes et du degré du méridien étaient liées entre elles de la manière suivante.

I 4- a ( Y^'^) -h Y^'^ 4- Y''^ + . . . -1- Y^'^ + . . . ) étant l'expression du rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface, si l'on nomme / la longueur du pendule à secondes, on aura

/=L + aL[Y(^)4-2Y(3)+3Y(*) + ...4-(i-i)Y('") + ...]-t-|aL<p(/z2^),

L étant une constante que l'on déterminera par l'observation.

Si l'on nomme ensuite c le degré d'un cercle dont le rayon est ce que nous avons pris pour l'unité, l'expression générale du degré du méridien sera

c — 6acY(*'— i2acY(«' — .. .— i{i-hi)acY^i^ — . . .