XC

Nous avons vu, dans l'article IV, que les observations sur la Ion-

gueur du pendule à secondes donnent à très peu près

/ =: 439"8"''% 3o 4- ai'B"", 438^»

ou, ce qui revient au même,

/ = 44ol'6'»e'', I l3 + 2'i6"«'S 438 ( jJl« — I).

En comparant cette expression de / à la précédente, on voit : i° que

la quantité

aL[2YW4- 3YW + . . . + (/- i)Y(') + . . .]

est insensible relativement à la quantité

aLY^«) + |aL(p(fx»-i), •

d'où il suit qu'à plus forte raison, dans l'expression du rayon terrestre, la quantité

est insensible relativement au terme aY^^-^; 2^ que Ton a à très peu

près

L=i44o"s"",ii3,

aLY'*)4-|aLcp(/jL2— J)z=:2>îg"«%438(fi' — i).

L'observation donne aç = ^ et, par conséquent, faç = o,oo865o5 ; on aura donc

en sorte que le rayon du sphéroïde terrestre est à très peu près

I — o,oo3ni (fjt.^ — 3).

Ce rayon est celui de l'ellipsoïde de révolution, dans lequel les deux axes sont dans le rapport de 820 à 821 ; on peut ainsi calculer les variations des rayons terrestres et de la pesanteur, dans la supposition où la figure de la Terre serait celle d'un semblable ellipsoïde.

Les observations de la longueur du pendule répandent, comme l'on voit, un grand jour sur la nature des rayons terrestres : elles font voir non seulement que, dans la fonction Y<^^ qui, par l'article précédent, se réduit à cette forme H((x'' — ^) H- H"(i — {/.=') cos2ct, le coefli-

OEufres de L. — W. 3

cient H'" est très petit relativement à H, mais encore que les termes Y^^\ Y^*\ . . . sont insensibles relativement à Y^^^ en les multipliant même par leurs indices respectifs 3,4»

Si ces termes étaient nuls, la variation des degrés du méridien suivrait, comme celle de la pesanteur, la loi du carré du sinus de la latitude; mais, puisque cette loi ne peut (article III) se concilier avec les observations, il en faut conclure que les fonctions Y^^^ Y<*\ . . . , qui sont insensibles dans les expressions du rayon terrestre et de la pesanteur, ne sont cependant pas nulles, et qu'elles deviennent sensibles dans l'expression des degrés des méridiens. Gela peut avoir lieu d'une infinité de manières; si l'on suppose, par exemple, que

H-aH(iJi^— D + ocY'')

soit l'expression du rayon terrestre, l'expression de la longueur / du pendule à secondes sera, par l'article précédent,

Z=L[n-a(H + fcp)(pL^-i) + (i-i)aY(')], et l'expression du degré du méridien sera c + facH-3acH(]x^-|)-/(tH-i)acY'')H-ac '^y ' -occ ^ , «

Nommons X le rapport du terme aY^'\ qui écarte l'expression du rayon terrestre de la loi du carré du sinus de la latitude, au terme aH([A2— ^); il est aisé de voir, par l'article précédent, que H + |ç est à très peu près — JH, et qu'ainsi le rapport du terme (i — i)aLY^'' au terme aL(H H-fop)([x2 — |), ^^^^ l'expression de la longueur du pendule, est à très peu près — ^(i ~ i)X.

Le rapport du terme — i(î + £)acY^'^ de l'expression du degré du méridien au terme — 3acH((x2 — {) est ^^^— X, et il est possible, par la manière dont la longitude ct entre dans la fonction Y'\ que la

quantité entière

— i(i H-i)acY''^ + ac — î^ — ac r-,

a\i. I — fi'

qui écarte la variation des degrés de la loi du carré du sinus de la latitude, ait un plus grand rapport au terme — 3acH({jL' — ^). Maintenant, si l'on suppose que les nombres X, —\{i—\)\ et

— 2 — ^ expriment les rapports des quantités qui éloignent les expressions du rayon, de la longueur du pendule et du degré du méridien de la loi du carré du sinus de la latitude, aux termes qui suivent cette loi dans ces expressions, il est visible que, pour rendre X et

— y(î — i)X peu sensibles relativement à X, il suffit de prendre

i égal ou plus grand que 6; car, en le supposant, par exemple, égal à 6, les trois nombres précédents deviendront X, — ^X, i4X, c'està-dire que les variations des degrés s'écarteront environ cinq fois plus de la loi du carré du sinus de la latitude que celles de la pesanteur, ce qui est plus que suffisant pour satisfaire aux observations.

Il faudrait un grand nombre de mesures des degrés, faites avec beaucoup de précision, pour déterminer la nature des fonctions Y<'^ Y<'^'\ ...; mais il nous suffit ici d'avoir expliqué pourquoi les variations de la pesanteur suivent à très peu près la loi du carré du sinus de la latitude, tandis que les variations des degrés s'en écartent d'une manière sensible : ce phénomène remarquable tient à ce que les termes de l'expression du rayon qui s'écartent de cette loi sont différentiés une seule fois dans l'expression de la pesanteur et subissent deux différentiations dans l'expression du degré du méridien; et il arrive que ces termes, peu sensibles en eux-mêmes et par une première différentiation, deviennent sensibles par une seconde différentiation.

Nous voilà donc conduits à ce résultat intéressant : savoir que, dans toutes les recherches où l'on ne fait usage que des rayons terrestres et de leurs premières différences, on peut, sans erreur sensible, supposer

que la Terre est un ellipsoïde de révolution dont les axes sont dans le rapport de 32o à 32i; que cette hypothèse est fort approchée relativement aux rayons terrestres; qu'elle l'est un peu moins, relativement à leurs premières différences; que cependant l'erreur est presque insensible; mais que leurs secondes différences s'écartent sensiblement de celles qui résultent de cette hypothèse, et que c'est la raison pour laquelle les degrés du méridien, qui sont donnés par les secondes différences des rayons terrestres, s'éloignent de la loi du carré du sinus de la latitude.

La théorie des parallaxes ne dépend que des rayons terrestres et de leurs premières différences; si l'on nomme u la hauteur d'un astre audessus de l'horizon, s sa distance au centre de gravité de la Terre, 1 -+• ay le rayon mené de ce centre à l'observateur, a étant un très petit coefficient et y étant une fonction quelconque de la longitude et de la latitude; si l'on représente ensuite par y la parallaxe, et par dq l'élément de la courbe que forme l'intersection de la surface du sphéroïde terrestre par le vertical de l'astre, il est facile de s'assurer que, en négligeant les quantités de l'ordre a^, on aura

ây .

— smu i-h a y ôq

siny= ^cosu — a— i >

dy étant la différence des valeurs de y correspondantes aux extrémités de l'arc dq.

Si la parallaxe est horizontale, u = o°, et, dans ce cas,

I + a y siny = —\

les parallaxes horizontales ne dépendent donc que des rayons terrestres; mais les autres parallaxes dépendent encore des premières différences de ces rayons.

De là et de l'article précédent, il suit que l'on peut calculer, sans

erreur sensible, les éclipses et tous les phénomènes dépendants des parallaxes, dans la supposition où la Terre est un ellipsoïde de révolution dont les axes sont dans le rapport de 820 à 32i; quant à la manière de faire entrer l'ellipticité de la Terre dans le calcul de ces phénomènes, la méthode dont M. du Séjour a fait usage dans ses savants Mémoires sur les éclipses me paraît être la plus directe, la plus générale et la plus simple que l'on puisse désirer.

Le phénomène le plus remarquable qui dépende de la figure et de la constitution de la Terre est celui de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe terrestre; il est d'autant plus important d'examiner comment il se lie avec les déterminations précédentes, qu'il est incompatible avec l'ellipticité j~ que l'on a supposée à la Terre, d'après les mesures des degrés de France et du Nord. Dans son bel Ouvrage sur la précession des équinoxes, M. d'Alembert a observé que, quelques hypothèses que l'on fasse sur la densité des couches terrestres supposées elliptiques, il est impossible de concilier l'ellipticité TYï ^ ^^ surface avec les quantités observées de la précession et de la nutation. Ce grand géomètre n'a pas cru cependant devoir abandonner l'hypothèse de l'ellipticité de la Terre; mais il pense que, cette planète étant recouverte en grande partie par la mer, ce fluide ne peut pas, à raison de sa mobilité, influer sur la précession et la nutation, et qu'ainsi, dans le calcul de ces phénomènes, on ne doit tenir compte que de l'action du Soleil et de la Lune sur le noyau solide que la mer recouvre. On peut former alors, sur l'aplatissement de ce noyau, une infinité d'hypothèses qui concilient les quantités observées de la précession et de la nutation avec l'ellipticité ^j^ à la surface de la mer; mais, ayant déterminé avec soin les oscillations de la mer et sa réaction sur le noyau terrestre, j'ai fait voir qu'il ne fallait pas la négliger dans la théorie de la précession et de la nutation, que les quantités de ces deux mouvements sont exactement les mêmes que si la mer for-

mait une masse solide avec la Terre, et que cela est généralement vrai, quelles que soient la figure de la Terre et la loi de la profondeur de la mer. On voit ainsi que la difficulté élevée par M. d'Alembert contre l'ellipticité de la Terre subsiste en entier, et que, pour la résoudre, il faut nécessairement rejeter l'hypothèse elliptique dans le calcul des degrés des méridiens, ce qui vient à l'appui de ce que nous avons dit sur cet objet dans l'article III. Voyons maintenant si l'expression du rayon terrestre