DES SATELLITES
Méritoires de l' Académie royale des Sciences de Paris, année 1784 ; '787.
Les planètes sont assujetties, en vertu de leur action mutuelle, à des inégalités qui troublent l'ellipticité de leurs orbites. Les unes sont périodiques et dépendent de la position de ces corps, soit entre eux, soit à l'égard de leurs aphélies; elles sont peu considérables relativement à l'équation du centre, et se rétablissent d'elles-mêmes après un petit nombre d'années; les autres altèrent les éléments des orbites par des nuances presque insensibles à chaque révolution des planètes; mais ces altérations, en s'accumulant sans cesse, finissent par changer entièrement la nature et la position des orbites; comme la suite des siècles les rend très remarquables, on les a nommées inégalités séculaires.
On peut considérer les inégalités périodiques comme autant d'oscillations très petites que fait chaque planète autour d'un point en mouvement sur l'ellipse qu'elle décrirait par l'action seule du Soleil; et si l'on imagine que les éléments de cette ellipse subissent en mémo temps des variations très lentes et dont les périodes embrassent un grand nombre de siècles, on aura une juste idée des inégalités séculaires.
OEuvret de L. — XI. 7
Parmi ces inégalités, la plus intéressante est celle qui peut altérer les moyens mouvements des planètes. La plupart des astronomes ont admis une équation séculaire proportionnelle aux carrés dès temps dans les moyens mouvements de Jupiter et de Saturne. Les géomètres qui se sont occupés avec le plus de succès de la théorie de ces planètes, MM. Euler et de la Grange, avaient cru en trouver la cause dans l'action mutuelle de ces deux corps; mais leurs résultats différaient tellement entre eux, qu'il y avait lieu d'y soupçonner quelque erreur; c'est ce qui me détermina à reprendre cette matière et à la traiter avec tout le soin que mérite son importance. En portant la précision jusqu'aux troisièmes puissances inclusivement des excentricités et des inclinaisons des orbites, je trouvai que la théorie ne donne aucune inégalité séculaire dans les moyens mouvements et dans les moyennes distances des planètes au Soleil; d'où je conclus que ces inégalités sont nulles ou du moins insensibles depuis l'époque des observations les plus anciennes jusqu'à nos jours.
Ce résultat suffît aux besoins de l'Astronomie, dont les plus anciennes observations qui nous soient parvenues avec quelque vraisemblance ne remontent pas au delà de cinq mille ans. M. de la Grange l'a étendu depuis à un temps illimité, en faisant voir par une analyse ingénieuse et simple que les moyennes distances des planètes au Soleil sont immuables et leurs moyens mouvements uniformes, ce qui est également vrai pour les satellites, puisqu'ils forment autour de leurs planètes principales des systèmes semblables à celui des planètes autour du Soleil. Ainsi les planètes et les satellites conservent toujours les mêmes distances moyennes aux foyers des forces principales qui les animent, du moins lorsque l'on n'a égard qu'à leur action mutuelle et lorsque l'on suppose leurs moyens mouvements incommensurables entre eux, comme cela existe pour les planètes de notre système.
Il est cependant impossible de ne pas reconnaître des variations très sensibles dans les révolutions de Jupiter et de Saturne. Si l'on compare entre elles les observations de ces deux planètes, faites depuis
le renouvellementde rAstronomie, on trouve constamment le mouvement de Jupiter plus rapide et celui de Saturne plus lent que par la comparaison des observations modernes avec les anciennes, llallev, dans les Tables de Jupiter, emploie une équation séculaire, additix* au moyen mouvement, proportionnelle au carré du temps, et de 3**49' en deux mille ans. Cela suppose qu'en comparant les observations modernes entre elles, il a trouvé le mouvement annuel de Jupiter plus grand de 6", 9 que par leur comparaison avec les anciennes observations. Ce grand astronome emploie pareillement, dans ses Tables de Saturne, une équation séculaire, soustractive du moyen mouvement de 9°i6' en deux mille ans, ce qui indique que la comparaison des observations modernes entre elles lui a donné le mouvomont annuel de Saturne moindre de 16", 7 que celui qui résulte de leur comparaison avec les anciennes. En effet, les oppositions de Saturne de 1394, 1595, 1596 et 1597, comparées à celles de 1713, 1714, 1713, 1716 et 1717, donnent un mouvement annuel plus petit de 16" que les oppositions de 17 14 et de 1715, comparées à celle de l'an 228 avant notre ère.
Dans l'impossibilité d'expliquer ces variations par l'action seule des planètes, je soupçonnai d'abord que l'action des comètes en était la cause; mais, en les considérant ensuite avec attention, leur marclif me parut s'accorder si bien avec le résultat de l'action des planètes, que j'abandonnai cette hypothèse. Une propriété générale de l'action des planètes entre elles est que, si l'on n'a égard qu'aux quantités qui ont de très longues périodes, la somme des masses de chaque planète, divisées respectivement par les grands axes de leurs orbites, reste toujours à très peu près .constante, d'où il suit que les carrés des moyens mouvements étant réciproques aux cubes de ces axes, si le mouvement de Saturne se ralentit par l'action de Jupiter, celui de Jupiter doit s'accélérer par l'action de Saturne, ce qui est conforme à ce que l'on observe. De plus, en supposant, avec M. de la Grange, que,
la masse du Soleil étant l'unité, celle de Jupiter est —^ — . et celle
de Saturne est ^o^^o / ■ on trouve que le retardement de Saturne doit
être à l'accélération de Jupiter, à très peu près, comme 7 esta 3; ainsi l'équation séculaire de Saturne étant supposée de 9^16', celle de Jupiter doit être de 3°58', ce qui ne diffère que de 9 minutes du résultat de Halley. Il est donc fort probable que les variations observées dans les mouvements de Jupiter et de Saturne sont un effet de leur action mutuelle, et puisqu'il est constant que cette action ne peut y produire aucune inégalité, soit constamment croissante, soit périodique, mais d'une période très longue et indépendante de la situation de ces planètes, et qu'elle n'y cause que des inégalités dépendantes de leur configuration entre elles, il est naturel de penser qu'il existe dans leur théorie une inégalité considérable de ce genre, dont la période est fort longue et d'où résultent ces variations.
En examinant les circonstances du mouvement de Jupiter et de Saturne, on aperçoit aisément que leurs moyens mouvements approchent beaucoup d'être commensurables, et que cinq fois le moyen mouvement de Saturne est à très peu près égal à deux fois celui de Jupiter; d'où j'ai conclu que les termes qui, dans les équations différentielles du mouvement de ces planètes, ont pour argument cinq fois la longitude moyenne de Saturne, moins deux fois celle de Jupiter, pouvaient devenir sensibles par les intégrations, quoique multipliés par les cubes et les produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites. J'ai regardé conséquemment ces inégalités comme une cause très vraisemblable des variations observées dans les mouvements de Jupiter et de Saturne. La probabilité de cette cause et l'importance de cet objet m'ont déterminé à entreprendre le calcul long et pénible nécessaire pour m'en assurer. Le résultat de ce calcul a pleinement confirmé ma conjecture en me faisant voir : i" qu'il existe dans la théorie de Saturne une grande équation d'environ 47'. dont la période est à peu près de huit cent soixante-dixsept ans, et dépend de cinq fois le moyen mouvement de Saturne, moins deux fois celui de Jupiter; 2° que dans la théorie de Jupiter il
existe une équation d'un signe contraire, d'environ 20', et dont la période est la même.
Si l'on nomme ni le moyen mouvement sidéral de Jupiter depuis 1700, T\!t celui de Saturne, je trouve qu'en n'ayant égard qu'aux inégalités précédentes, la longitude, comptée de l'équinoxe de 1700, est
pour Jupiter
nt-\-t + 2o'sin(5/i'^ — 2nf 4- 49°8'4o"),
et que pour Saturne elle est
n' « -H- s' — 46' So" sin ( 5 n' i — 2 n^ + 49° 8' 4o' ),
£ et i étant deux constantes qui dépendent de la longitude des deux planètes au commencement de 1700.
J'ai déterminé ces valeurs d'après les éléments des Tables de Halley, et en adoptant les déterminations précédentes des masses de Jupiter et de Saturne; j'ai seulement augmenté le mouvement annuel de Saturne, donné par ces Tables, de 16", 7, et j'ai diminué celui de Jupiter de 6", 9 pour ramener ces mouvements à ceux que Halley aurait trouvés par la comparaison des observations modernes avec les anciennes. Les coefficients numériques de ces valeurs cessent d'avoir lieu après un temps considérable, à cause de la variabilité des éléments des orbites; mais ils peuvent servir sans erreur sensible depuis Tycho jusqu'à nous, ce qui suffit pour la comparaison des observations modernes; il est facile d'ailleurs de les étendre à un temps quelconque. On peut observer que le coefficient relatif au mouvement de Jupiter a un signe contraire à celui du coefficient de Saturne, et qu'il est à ce dernier, à très peu près, dans le rapport de 3 à 7.
Si l'on compare les formules précédentes aux observations, on trouve entre les unes et les autres un accord très satisfaisant, et qui fournit une nouvelle preuve de l'admirable théorie de la pesanteur universelle. Ainsi, par exemple, l'opposition de Saturne de l'an 228 avant notre ère, comparée à celles de 1714 et de 1710, doit donner, à peu près, le moyen mouvement de Saturne, parce que l'inégalité précédente est peu sensible dans le grand intervalle qui sépare ces oppo-
sitions; mais, en comparant l'opposition de i5g5 avec celle de 1715, le mouvement annuel de Saturne doit, suivant nos formules, paraître -plus petit que le véritable de 16'', 8; les observations donnent 16"; l'imperfection des observations du xvi^ siècle ne permet pas un plus parfait accord. Le mouvement annuel de Saturne doit donc paraître maintenant se ralentir de 16" à 17", et comme, parles formules précédentes, l'accélération apparente de Jupiter est au ralentissement apparent de Saturne dans le rapport de 3 à 7, le mouvement annuel de Jupiter doit paraître s'accélérer d'environ 7", ce qui est entièrement conforme aux déterminations de Halley. Ces deux phénomènes ont été à leur maximum vers i58o; depuis cette époque, les moyens mouvements apparents se sont rapprochés sans cesse des véritables moyens mouvements.
M. Lambert a publié dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1773 un travail intéressant sur les inégalités de Jupiter et de Saturne. 11 a cherché à déterminer empiriquement la loi des erreurs des Tables de Halley, et il a trouvé qu'il fallait corriger les moyens mouvements des Tables de Saturne en leur ajoutant, à partir de 1640, une équation séculaire proportionnelle au carré des temps, et de 6', 5 pour le premier siècle; et, comme Halley emploie pour cette planète une équation séculaire soustractive du moyen mouvement, et de i',4 pour le premier siècle, il est clair que la correction de M. Lambert revient à ajouter, depuis 1640, au moyen mouvement de Saturne supposé uniforme, une équation séculaire de 5', i pour le premier siècle. Cet illustre géomètre applique pareillement aux mouvements des Tables de Jupiter une équation séculaire soustractive et de 3', 2 pour le premier siècle, à partir de 1657. Ces corrections ont été publiées dans le second Volume du Recueil des Tables astronomiques de l'Académie de Berlin; elles ont une marche contraire à celle des équations séculaires de Halley, et d'ailleurs elles sont incompatibles avec les observations anciennes; mais les savants éditeurs de ces Tables observent « que, selon toute apparence, l'équation empirique de M. Lambert n'augmente pas toujours dans le rapport des carrés des temps, car il semble
qu'elle varie, que ces variations sont périodiques et qu'il faudra une longue suite d'années pour en découvrir la loi; par conséquent cette équation ne servira, pour les temps à venir, que jusqu'à ce qu'on puisse déterminer, par les observations qu'on fera dans la suite, quelle est sa propriété ».
Si l'on transporte à l'époque de 1640 la formule précédente relative h Saturne, et que l'on en réduise le sinus dans une suite ordonnée par rapport aux puissances du temps écoulé depuis cette époque, on trouve que le terme proportionnel au carré du temps est positif et de 5',o pour Je premier siècle, ce qui s'accorde, quant au signe, avec le résultat de M. Lambert, et ce qui n'en diffère que de o', i pour la quantité. La formule relative à Jupiter, transportée à l'époque de 1657 et réduite en série, donne pour le terme proportionnel au carré du temps une quantité négative et de 2', 7 pour le premier siècle, ce qui s'accorde, quant au signe, avec le résultat de M. Lambert et ce qui n'en diffère que de o', 5 pour la quantité. Il n'est donc pas douteux que la vraie loi de l'équation empirique de cet auteur ne soit renfermée dans nos formules, et il est assez remarquable qu'il ait approché aussi près des résultats de la théorie par la comparaison seule de cent douze ans d'observations. Au reste, la réduction des sinus en série, en rejetant les puissances du temps supérieures au carré, ne peut être employée que dans un intervalle de soixante ans.
Les expressions de la longitude de Jupiter et de Saturne renferment encore des termes très sensibles qui coïncideraient avec les termes dus au mouvement elliptique, si l'on avait exactement 5n' = 2n.
Ces termes sont pour Jupiter
s'ag^sinCS/if-o/i'i — 4i°56') + 58"sin(5«'i-«f-34°3i'33''),
et pour Saturne
— i3' 16" sin(2/î^ - fin't — 2'>27'4") — 2'4o' sin{6n't —2nt- 6o»3o'i6'').
On peut les considérer comme le résultat de variations dans les excentricités des orbites et dans la position des absides, et dont la
période est de huit cent soixante-dix-sept ans. Ils expliquent pourquoi, dans le dernier siècle et dans celui-ci, l'accroissement de l'équation du centre de Jupiter, la diminution de celle de Saturne et les mouvements de leurs aphélies ont paru plus grands qu'ils n'ont dû l'être en vertu des seules inégalités séculaires.
Pour avoir la longitude vraie de Jupiter et de Saturne, il faut ajouter aux termes précédents ceux qui appartiennent au mouvement elliptique et ceux que produisent les perturbations, en ayant égard aux premières puissances des excentricités des orbites. Les géomètres ont déjà considéré ces derniers termes; mais les différences que présentent leurs résultats en rend la vérification indispensable. J'ai rempli cet objet dans une nouvelle théorie de ces deux planètes qui paraîtra dans le Volume suivant de ces Mémoires. Il résulte de cette théorie que toutes les oppositions anciennes et modernes de Jupiter et de Saturne peuvent être représentées avec la précision dont elles sont susceptibles, au moyen des inégalités précédentes auxquelles il faut, par conséquent, attribuer les dérangements singuliers observés dans le mouvement de Saturne et dont on ignorait les lois et la cause. Il aurait fallu plusieurs siècles d'observations suivies pour déterminer ernpiriquement ces inégalités, à cause de la longueur de leur période ; ainsi, sur ce point, la théorie de la pesanteur a devancé l'observation.
Je reviens présentement à la loi générale de l'uniformité des moyens mouvements célestes. Ceux des trois premiers satellites de Jupiter offrent un rapport remarquable et qui peut donner lieu de craindre que cette loi ne soit pas observée à leur égard. La discussion de ce rapport, de la cause qui le produit et de son influence sur les mouvements des satellites m'a paru mériter l'attention des géomètres et des astronomes.
Les observations nous apprennent que le moyen mouvement du premier satellite de Jupiter est environ deux fois plus grand que celui du second qui, lui-même, est à peu près le double de celui du troisième satellite, et la théorie de la pesanteur universelle fait voir que ces rapports sont la source des principales inégalités de ces astres. Il suit de là
que la différence des moyens mouvements du premier et du second satellite est égale à deux fois la différence des moyens mouvements du second et du troisième; mais ce rapport est incomparablement plus exact que les précédents, et les moyens mouvements des Tables en approchent tellement qu'il faut un très long intervalle pour que la petite quantité dont elles s'en éloignent puisse devenir sensible. De là naissent plusieurs phénomènes constants dans la configuration des trois premiers satellites ;. telle est, entre autres, l'impossibilité de les voir s'éclipser à la fois, d'ici à un grand nombre de siècles, et, si l'on part des moyens mouvements et des époques que M. Wargentin a employées dans ses Tables, on trouve que cela ne peut arriver qu'après I 317900 ans {Mémoires d'Upsal, année 1743, p. t\i). Une différence de six tierces dans le mouvement annuel du second satellite suffirait pour rendre ce phénomène à jamais impossible, et M. Wargentin ne répond qu'à une ou deux secondes près des mouvements annuels dont il a fait usage.
Maintenant on peut établir comme une règle générale que, si le résultat d'une longue suite d'observations précises approche d'un rapport simple de manière que la différence soit inappréciable par les observations et puisse être attribuée aux erreurs dont elles sont susceptibles, ce rapport est probablement celui de la nature. Ainsi les observations n'ayant fait apercevoir aucune différence entre les moyens mouvements de révolution de la Lune sur elle-même et autour de la Terre, on est fondé à supposer que ces deux mouvements sont rigoureusement les mêmes. En appliquant cette règle aux mouvements des trois premiers satellites de Jupiter, nous pouvons en conclure, avec une grande probabilité, que la différence des moyens mouvements du premier et du second est exactement égale au double de la différence des moyens mouvements du second et du troisième. Cette égalité n'est pas l'effet du hasard, et il est contre toute vraisemblance de supposer que ces trois corps ont été placés primitivement aux distances qu'elle exige; il est donc naturel de penser que leur attraction mutuelle en est la véritable cause. C'est ainsi que l'action
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de la Terre sur la Lune établit entre les moyens mouvements de rotation et de révolution de ce satellite une égalité rigoureuse, quoiqu'à l'origine ces deux mouvements aient pu différer entre eux. Je me propose dans ce Mémoire de discuter ce point important du système du monde et d'examiner si le rapport que présentent les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter doit se maintenir sans cesse en vertu des lois de la pesanteur universelle. Cette recherche est très intéressante pour la théorie du second satellite; les principales inégalités qu'il éprouve dépendent des actions du premier et du troisième; mais le rapport précédent donne à ces inégalités la même période et les fond en une seule qui, dans les Tables, forme la grande équation de ce satellite. Si ce rapport n'était pas rigoureux, ces deux inégalités se sépareraient dans la suite des siècles et les Tables du second satellite cesseraient de représenter son mouvement. Voici maintenant ce qui résulte de mon analyse.
J'observe d'abord que les termes proportionnels aux premières puissances des masses perturbatrices ne pouvant pas donner l'explication du rapport dont je viens de parler, il faut la chercher dans les termes qui dépendent des carrés et des produits de ces masses; je discute, en conséquence, les termes de cet ordre qui peuvent produire ce rapport. En nommant l le temps, nt, n' t, n"t les moyens mouvements du premier, du second et du troisième satellite; en désignant par s la quantité n — 3/2' -h in", et par V la longitude moyenne du premier satellite, comptée d'un point fixe sur l'orbite de Jupiter, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, je trouve que les termes multipliés par les produits deux à deux des masses de ces satellites introduisent dans les valeurs de ^ et de V des quantités proportionnelles au temps. En les faisant ensuite disparaître par la méthode que j'ai donnée ailleurs pour cet objet, je parviens à deux équations différentielles du premier ordre entre s, V et /. Leurs intégrales comparées aux observations donnent une explication complète du phénomène dont il s'agit, et présentent en même temps plusieurs conséquences intéressantes.
La première est que s et V sont des quantités périodiqiK-, rt qu'ainsi, en faisant abstraction des quantités de cette nature, on a rigoureusement n -+- 2n"= 3n'. On est donc assuré par là que la diflV'rence des moyens mouvements du premier et du second satellite est rigoureusement égale à deux fois la différence des moyens mouvements du second et du troisième. C'est une condition à laquelle les moyens mouvements des Tai)les doivent satisfaire, et, eonnne ceux dont M. Wargentin a fait usage la remplissent à dès peu près, on doit en conclure qu'ils sont fort approchés et qu'ils n'ont besoin que de très légères corrections.
La seconde conséquence est que la condition précédeulc nCvige point qu'il l'origine les trois satellites aient été exactement placés aux distances respectives, qui, par les lois de Kepler, donnent l'équation n-+- 2n"= 3/î'; il suffît qu'ils en aient été peu éloignés, et alors leur attraction mutuelle établit entre leurs moyens mouvements cette égalité rigoureuse.
Une troisième conséquence est que l'on ne doit point craindre que, dans la suite des siècles, les Tables du second satellite cessent d'être exactes, du moins relativement à leur équation principale.
Enfin, la quatrième conséquence que je tire de mon analyse est que, si l'on fait abstraction des quantités périodiques, l'angle V est de six signes, c'est-à-dire que la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est égale à i8o°; c'est une nouvelle condition que les Tables doivent remplir exactement. Celles de M. Wargentin donnent, au commencement de 1760, V = 180''-+- 3o', ce qui s'éloigne peu de 180°; suivant les Tables de M. Bailly, la valeur moyenne de V ne s'en éloignait que de 12' à la même époque. Ces écarts sont une imperfection des Tables et doivent être comptés parmi les causes des erreurs dont elles sont encore susceptibles.
L'angle V est soumis à une inégalité périodique analogue aux oscillations d'un pendule; elle affecte inégalement les mouvements des trois satellites, suivant des rapports dépendant de leurs masses ef tit'
leurs distances au centre de Jupiter; la durée de sa période dépend des mêmes quantités. La masse du second satellite est assez bien déterminée par les inégalités qu'elle produit dans le mouvement du premier; mais les masses du premier et du troisième satellite sont encore inconnues : il existe seulement entre elles un rapport que -donnent les inégalités du second satellite, et c'est par son moyen que j'ai trouvé que le temps de la libration de V est compris entre 4 ans| et 1 1 ans l. L'instant où cette libration est nulle et son étendue sont des arbitraires que l'observation peut seule déterminer. Si l'on ne considère que l'action des trois premiers satellites de Jupiter, leur mouvement dépend de neuf équations différentielles du second ordre, dont les intégrales finies renferment dix-huit constantes arbitraires. Les excentricités et les inclinaisons des orbites, les positions des nœuds et des aphélies déterminent douze de ces constantes; les moyens mouvements et leurs époques formeraient les six autres, sans les deux conditions auxquelles ces six arbitraires sont assujetties, et qui les réduisent à quatre : c'est pour y suppléer que l'expression de V renferme deux arbitraires.
Puisque les Tables représentent assez bien les observations, sans avoir égard à l'inégalité précédente, elle doit être peu considérable ; mais l'incertitude qui règne encore sur la plupart des éléments de la théorie des satellites de Jupiter rend sa détermination très difficile. C'est un point que je laisse à discuter aux astronomes; il me suffît ici de leur indiquer cette inégalité comme un objet digne de leur attention, et d'établir que les moyens mouvements et les époques des Tables doivent remplir exactement les deux conditions suivantes :
1° Le moyen mouvement du premier satellite, plus deux fois celui du troisième, est égal à trois fois celui du second.
2** La longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est constamment égale à 1 8o°.
Ces conditions subsisteraient encore, en supposant dans les moyens mouvements des satellites des accélérations semblables à celle que les observations paraissent indiquer dans le moyen mouvement de la
Lune. L'action mutuelle des trois premiers satellites les maintiendrait sans cesse, en sorte que le système de ces corps, en descendant insensiblement vers Jupiter, en vertu de ces accélérations, conserverait toujours les rapports nécessaires à l'existence des conditions précédentes. Ainsi l'action de la Terre sur la Lune maintient l'égalité rigoureuse des deux mouvements de rotation et de révolution de ce satellite, malgré l'accélération continuelle du second de ces deux mouvements, parce que le premier devient en même raison plus rapide. De là résulte cette conséquence, savoir que, si, pour mieux représenter les observations, on admet une équation séculaire dans le moyen mouvement de l'un des trois premiers satellites de Jupiter, ainsi que M. Bailly l'a fait dans ses Tables du premier satellite, il faut en supposer de semblables dans les moyens mouvements des deux autres, et les ordonner de manière que l'équation du premier, plus deux fois celle du troisième, soit égale à trois fois l'équation du second satellite. On voit, par ce que nous venons de dire, que l'action mutuelle des satellites de Jupiter ne produit dans leurs mouvements que des inégalités périodiques; et nous pouvons généralement en conclure que, si l'on n'a égard qu'aux lois de la gravitation universelle, les moyennes distances des corps célestes aux foyers de leurs forces principales sont immuables. Il n'en est pas ainsi des autres éléments de leurs orbites : on sait que leurs excentricités, leurs inclinaisons, les positions de leurs nœuds et de leurs aphélies varient sans cesse; et il existe des méthodes fort simples pour déterminer ces variations, en supposant les orbites peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres. Mais les excentricités et les inclinaisons sont-elles renfermées constamment dans d'étroites limites? C'est un point important du système du monde qui reste encore à éclaircir, et dont la discussion est la seule chose que laisse maintenant à désirer la théorie des inégalités séculaires. J'ai prouvé, dans la seconde Partie de nos Mémoires pour l'année 1772 ('), que, si l'on ne considère que l'action de deux planètes, les excentricités et les inclinaisons de leurs orbites sont toujours très
(*) OEuvres de Laplace, T. VIU, p. 419 et 8uiv.
petites; et M. de la Grange a fait voir, dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1782, que cela est également vrai pour les orbites des planètes de notre système, en partant des suppositions les plus vraisemblables sur leurs masses. Cependant l'incertitude où l'on est encore à l'égard de plusieurs de ces masses peut laisser quelques doutes sur ce résultat, et il est nécessaire de s'assurer par une méthode indépendante de toute hypothèse, que, en vertu de l'action mutuelle des planètes, les excentricités et les inclinaisons de leurs orbites sont toujours peu considérables. Je me propose encore de remplir cet objet dans ce Mémoire, en établissant d'une manière générale que les inégalités séculaires des excentricités et des inclinaisons des orbites des planètes ne renferment ni arcs de cercle, ni exponentielles; d'où il suit que, en vertu de l'action de ces corps, leurs orbites s'aplatissent plus ou moins, mais en ne s'écartant que très peu de la forme circulaire et en conservant toujours les mêmes grands axes. Les positions respectives de leurs plans et de leurs aphélies varient sans cesse; elles s'inclinent plus ou moins les unes aux autres, mais elles sont toujours renfermées dans une zone d'un petit nombre de degrés.
Equations générales du mouvement d'un système de corps qui s'attirent mutuellement.
Considérons le mouvement d'un système de corps m, m', m", . . . autour d'un corps M dont nous prendrons la masse pour unité de masse. Soient x, y, z les trois coordonnées rectangles de m et r sa distance à M ou son rayon vecteur, l'origine des coordonnées étant au centre de M.
Marquons d'un trait, de deux traits, ... les mêmes lettres relatives m', m", ... et nommons X la fonction
mm' mm" ■
sJ{x'-xY-\-{y'—yy-^ {z'—zY \J {x" — xf -h {y" — yY + {z" — zY
sj{x" — x'Y-^ {y" — y'y+ {z" — ^'Y
cette fonction étant la somme des produits des masses m, ni, m", . . . prises deux à deux, divisés par les distances mutuelles de ces masses. Cela posé, si l'on transporte en sens contraire au corps m la force dont M est animé par l'action du système, on trouvera facilement que, dans son mouvement relatif autour de M, il sera animé parallt^lement aux axes des x, des/ et des z par les trois forces suivantes :
m Ox
1 dl m df
m dz
f.ll3
Ces trois forces tendent à augmenter les coordonnées oc, y, z; en désignant donc par dt l'élément du temps supposé constant, on aura, par les principes connus de Dynamique, les trois équations différentielles
{i-hm)x m'x'
d'y ""= dï^
d'-z ""= dt^
dl
dx
dl
ày
dl
dz'
En changeant successivement dans ces équations m, x, y, z, r dans m', x'yfy z' y t' , /w" , x'^f, z\ /',.,. ct r é c i p r 0 q u c ffi c tt t , on aura les équations différentielles relatives à w', m", etc.
Si l'on multiplie l'équation (i) par
, imimdx -{- m.' dx' -\-^ , .)
imdx ^^ ; y
l'équation (2) par
imimdv -\- m.' dy' ->r- . . .)
imdy î^ ^ 1-^ ■ >
et l'équation (3) par
. im{mdz -\- m! dz' 4- . . . )
imdz — — -, ;
si l'on multiplie pareillement la première des équations différentielles
relatives à m' par
, , , 2m' [m dx 4- m' dx' -h . . . )
im dx ; >
la seconde par
, , , im' (mdY -+- m' dv' -\- . . .)
2 m' dv ^ T^ -y
et la troisième par
, -, 2m'(m dz -+- m' dz' -+-...)
2 m' dz' ^^ ; -i
et ainsi du reste; si l'on ajoute ensuite toutes ces équations et si l'on
observe que
dl ^ ^ dx dx' dx"
dl dl dl ^~ dy'^ dy' ~^ dy"'^'"'
dl dl dl
r z=zs/x^ -HJ^ H--S r'=z^x'^-i-y'- + z'\
on formera l'équation suivante :
dxd^x + dyd'-y-i-dzd^z , dx' d^x' 4- dy' d^ y' 4- dz' d^ z' o^2m -^ ^,rn' '^
mdx -hm' dx' 4- . . . m d^x ^ m' d'^x' -h . . .
1 4- m 4- m' 4- . . . dt^
2 f^ (^y -+- m' dy' -h . . . m d-y 4- m' d^y' 4- . . - I 4- m 4- m' 4- . . . 'dV-
^m dz -^ m' dz' -\- . .. md^z + m' d-z' -\- . . . 1 4- m 4- m'4-. . . 'dt^ ~
(mdr m' dr' \
Cette équation donne, en l'intégrant,
dx^-^dy^+dz^ ,dx'*+ dv'^ + dz'*
{mdx -\- m' dx' + . . .y (mdy -h ni'dy' -h. . .)*
( 1-4- »t + m' 4- . . . ) dt^ {i -h m -\- m' -h . . .) dt*
(mdz -\- m' dz' -\- . . .)■ (m m' \
(i 4- /n + m' -h . . . ) de- '\r /
/étant une constante arbitraire.
On peut encore obtenir trois intégrales des équations différentielles du mouvement du système, de la manière suivante.
Si l'on multiplie l'équation (i) par
et l'équation (2) par
mimx H- m' x' -\- . . .)
mx r— — — :
si l'on multiplie pareillement la première des équations relatives à m' par
et la seconde par
, , m (mx -h m X -h. . .)
et ainsi du reste; si Ton ajoute ensuite toutes ces équations, en observant que
dl dl , dl , dl ''='''d}-^'dx^^dy'-^dx'^'--
dl dl dl dl
dx dx' dy dy'
(ouvres de L. — XI. 9
on aura
a;d^Y—yd^œ , x' d- y' — y' d^ x'
mx^ m'x'-h. . . md^y ^m' d''y'-+-.. .
I + m H- w'-H. . . dt-
my -+- m'y' -h. . . m d^ x -\- m' d^ x'
I ■+■ m ■+■ m' -t . . ' dt^
équation dont l'intégrale est
X dy — Y dx , x' dy' — y' dx'
cz^m — ^^—rr ^ "^ ^/ ^
dt dt
m X -\- m' x' -{- . . . mdy -\- m! dy' -+- ,
I 4- m 4- m' H- . . . dt
m y -h fn'y' -+-... m dx -h m' dx' -+- . i -{- m -^ m' -h . . . dt
c étant une constante arbitraire.
On parviendra de la même manière aux deux intégrales suivantes
, X dz — z dx , x' dz' — s' dx'
c' := m :j- 1- ni' -j- h . . .
dt dt
mx -\- m' x' -\- . . . ïn dz -{- m' dz' -{- . . . I H- m + m' + . . . dt
niz -\- m' z' 4- . . . jndx -\- m' dx' -\- . . . i -{- m -\- m' -\- . . . dt
ydz — zdy , y' dz' — z' dy'
c"=. m ^ -, 4- mJ -i — 4- . . .
dt dt
my 4- m' y' 4- . . . m dz -\- m! dz' 4- . . .
\ -\- m -\- m! -\- . . . dt
mz -\- m'z' -i- . . . m dy -\- m' dy' -i- . . . I 4- w 4- m' 4- . . . dt
c' et c" étant deux arbitraires. Ces quatre intégrales sont les seules que l'on peut obtenir dans l'état actuel de l'Analyse.
Si l'on suppose les masses m, m! , ... extrêmement petites, chacune d'elles décrira à très peu près à chaque révolution une ellipse autour
de M. En vertu des inégalités séculaires, les éléments de ces ellipses varieront par des nuances imperceptibles; mais la suite des siècles rendra ces variations très sensibles. Les intégrales précédentes établissent entre elles des rapports constants que nous allons déterminer.
Soit a le demi grand axe de l'ellipse que m décrirait autour de M, si Ton ne considérait que l'action de ces deux corps; on aura, comme
l'on sait,
dx^ -t- dy^ H- dz- 2(i-nn) i -h m df" ~ r ~â~ '
Cette équation n'aura plus lieu, si Ton a égard à l'action des autres corps m\ m'\ ...; cependant, si l'on observe que l'orbite de m peut toujours être considérée à chaque révolution comme une ellipse, aux quantités périodiques près qui troublent le mouvement de ce corps, on verra que cette équation est encore à très peu près exacte après un temps quelconque; mais le demi grand axe a pourra n'être plus le même qu'à l'origine.
Il suit de là que, en ayant égard à l'action de tous les corps du système, on a
dx^ -+- dy^ -+- dz^ 2(n-m> i-t-m ,
dt^
4» étant une fonction périodique de l'ordre des masses perturbatrices. Si l'on nomme pareillement a', a", ... les demi grands axes des orbites que m', m", ... décriraient à chaque révolution, sans les perturbations qu'ils éprouvent, on aura
dx'^ -+- dy'^ -f- dz'-^ -2(1 -{-m') i -{- m' d? ■" /•' a'~
dx"^ -^ dy ^ dz"" 2(i + m^0 x^m' dt^ ~ r' a'
^', ^", . . . étant des quantités périodiques de l'ordre m. En substituant ces valeurs dans l'équation (4) de l'article précédent, elle do-
viendra
( 1 mm' dx dx'+ 9. mm" dx dx"-\- i m,' m" dx'dx"-\- . . .)
'^ {i + m H- m'-t- . . .)dt^
( 2 mm'dy dy' + 2 ?nm"dy dy" -h 2 m' m" dy'dy" 4- . . . )
( iH- m + m'4- . . .)dt^
{imm' dzdz' -\- 0. mm" dz dz" -\- im' m" dz ' dz" -+-...) (i + m H- /«'+. . .)dt^
+ 2X ^ j -di ^ ; ■ -' di'—
Les quantités
mm' dx dx' mm"dx dx" mm' dy dy' ^^ ' dt^ ' dt^~^~'
sont périodiques, dans la supposition du mouvement elliptique, et les termes que les perturbations y introduiraient seraient de l'ordre /??■'; en négligeant donc les quantités de cet ordre et celles de l'ordre ni^, qui ne sont que périodiques ou constantes, l'équation précédente prendra cette forme très simple
'/os j- rii m' m"
Ainsi, en supposant que la suite des siècles amène des changements remarquables dans les demi grands axes a, a! , ... des orbites, ils doivent toujours satisfaire à l'équation précédente dans laquelle la constante / est invariable.
On voit par là que, pour avoir entre les éléments des orbites supposées elliptiques les relations que donnent les intégrales précédentes des équations différentielles du mouvement du système, il suffit de
substituer dans ces intégrales les valeurs des coordonnées relatives au mouvement elliptique; en négligeant ensuite les quantités constantes ou périodiques de l'ordre m*, on aura entre les éléments des ellipses autant d'équations qu'il y a d'intégrales.
Déterminons d'après ce principe les relations entre les éléments qui résultent des intégrales (5), (6) et (7) de l'article précédent. Si l'on nomme ea l'excentricité de l'orbite de m, et si l'on néglige m vis-à-vis (le l'unité, l'aire que son rayon vecteur trace autour de M, durant l'instant dt, sera, par la théorie du mouvement elliptique, r^dt \Jct(i — e^). Cette aire projetée sur le plan des x et des y est diminuée dans le rapport du cosinus de l'inclinaison de l'orbite de m sur ce plan au rayon. Soit 6 la tangente de cette inclinaison; l'aire projetée sera
dt
ce sera, dans l'hypothèse elliptique, la valeur de \(xdy — ydx).
Si l'on nomme pareillement e' , a! , e", a", ... les excentricités des orbites de m', m", ..., 6, G', 0", ... les tangentes des inclinaisons de leurs orbites,
seront, dans l'hypothèse elliptique, les valeurs de
-lix'dy'-y'dœ'), \{x" df- y" dx"), ....
En substituant ces valeurs dans l'équation (5) de l'article précédent, et en négligeant les quantités constantes ou périodiques de l'ordre /«', on aura
/a{i — e') , Ja'(\ — e''^) „^ /a"{\
Qn
en supposant donc que, après un temps considérable, les excentricités et les inclinaisons des orbites subissent des changements remarquables, elles doivent toujours satisfaire à l'équation précédente dans laquelle la constante c est invariable. - ■' ••
Les équations (6) et (7) de l'article précédent fournissent encore deux relations entre les éléments des orbites; mais il est plus facile de les tirer immédiatement de l'équation (9), en y substituant successivement, au lieu de 6, 6', . . ., les tangentes des inclinaisons des orbites sur le plan des x et des z et sur celui des y et des z. Nommons I l'angle que forme avec l'axe des x l'intersection du plan de l'orbite de m et du plan des x et desy. Il est aisé de voir, par la Trigonométrie sphérique, que la tangente de l'inclinaison de cette orbite sur le plan
des ^ et des z sera \/ ù-i . 21 > ^t que la tangente de l'inclinaison
de la même orbite sur le plan des y et des z sera t/ — m— ~2f~^ soit
donc
ôsinI=:/>, 9cosI = ç;
ces tangentes seront -y^n-/?-, -y/iH-^^. En marquant d'un trait, de deux traits, etc. les lettres I, />, q relatives à m\ m", . . ., on aura les tangentes des inclinaisons des orbites de ces corps sur le plan des X et des z et sur celui des v et des z. En substituant ensuite ces tangentes, au lieu de 6, ô', . . ., dans l'équation (9), on aura les deux équations suivantes
(10) c'=mg^/-\-^+m'g'^/ ) ^ ^, > ^ m" q" ^ -^^-
dans lesquelles les constantes c' et c" sont invariables.
Sur les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter,
Considérons présentement les mouvements des trois premiers satellites de Jupiter. Nous observerons d'abord que, le mouvement du quatrième n'offrant aucun rapport de commensurabilité avec ceux des trois autres, on peut négliger ici son action. On peut par la même
raison négliger l'action du Soleil; enfin, on peut faire abstraction de la figure de Jupiter, dont l'influence sur les variations des grands axes est nulle. Soient donc m, m', m" les masses du premier, du second et du troisième satellite de Jupiter, dont nous prendrons la masse M pour unité de masse. Supposons que, après un temps considérable, les demi grands axes a, a', a\ ... se changent dans
a H- ôa, a'->roa', «"-t-âa";
si Ton prend pour le plan des x et des y celui de l'orbite de Jupiter, et que l'on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites et ceux de 5«, Za\ Ba\ les équations (8) et (9) de l'article précédent donneront, en les diflTérentiant par rapport à la caractéristique B,
mèa m' èa' m" àa' 0:=
d'où l'on tire
m àa m' Ba' m" da"
o — — — - H — - -\ -.zr.-;
\Ja \/a' sja"
^ „ mèa a"* à^ — a
oa — — — ,, r — i
ni" a^ À-
Soient /»/, n't, n"t les moyens mouvements des satellites w, m', m"; on aura, comme l'on sait.
partant
S da dn= n — )
OW'rn 1 en — j »
ainsi, pour avoir les variations séculaires des moyens mouvements des trois satellites, il ne s'agit que de déterminer Sa, ou, ce qui revient au même, le terme proportionnel au temps qui entre dans l'expression du demi grand axe a du premier satellite.
Si l'on ajoute ensemble les équations (i), (2) et (3) de l'article II, après avoir multiplié la première par dx, la seconde par dy, et la troisième par dz, et que, pour abréger, on suppose
m' ( xx'-\- yy'-\- zz') m" ( xx"-\- yf''-h zz" ) 1
enfin, si l'on désigne par la caractéristique d les différences prises en ne faisant varier que les coordonnées relatives au satellite m, on aura
dx d}x -\- dy d'^y -{- dz d-z dr
+ (i + m)— + dR;
dû d'où l'on tire, en intégrant,
o ■= ^, ^ -' H h 3 / dR.
Si la différentielle 2dR renferme un terme constant kdt, l'intégrale 2 y dR renfermera le terme kt proportionnel au temps; on aura donc après le temps /, en négligeant les quantités périodiques de l'ordre m,
dx^ -\- dy- -\- dz- 2(1 + m) i -\- m
o m; ^^ -A 1- kt'
dt^ r ^ a ^ '
mais, si l'on nomme a + Sa ce que devient le demi grand axe a après ce temps, on a
dx^ -+- dy^ + dz^ 2(1 -\- m) i -h m
at^ r a + oa
partant
kt.
a-\- èa a
ce qui donne, en négligeant le carré de Ba et m vis-à-vis de l'unité,
àa = — a^ kt ;
la question se réduit ainsi à déterminer k.
Pour y parvenir, nous observerons que, si l'on n'a égard qu'aux quantités de l'ordre des masses perturbatrices, la différentielle dR ne renferme aucun terme constant (voir, sur cela, les Mémoires de Berlin pour Tannée 1776, page 210). Il faut conséquemment, pour y trouver des termes semblables, avoir égard aux produits de ces masses. Si l'on nomme p, v'y v" les angles formés par l'axe des œ et par les projections des rayons vecteurs r, r', r" sur le plan de l'orbite de Jupiter; si l'on nomme, de plus, ni -h £, n't + e', n"t -h t" les longitudes moyennes des trois satellites, rapportées au même plan et comptées de l'axe
des Xf l'angle
sera à très peu près constant, suivant les observations, en vertu du rapport qu'elles indiquent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites, comme on l'a vu dans l'article I. Soit V cet angle ; on doit donc chercher les termes constants de dR parmi ceux qui sont multipliés par les sinus de V et de ses multiples; et il est clair que, l'angle Vêtant composé des mouvements des trois satellites, il ne peut se rencontrer que parmi les termes de dR affectés du produit m', m".
Nous négligerons les excentricités et les inclinaisons des orbites ; nous aurons ainsi
X z=r cos V, y ^=r sin v, 5 =: o,
^' zz: r' cos p', y' z=z r' s,\nv' , z'=zo, x" = r" cos v", y"^=- r" sin v"y s"= o,
et, par conséquent,
m'r cosCp' — p) m''/-cos((^ — v^
v/r* — 2rr'cos(f'— v) -h r'* sjr"^— 2rr''cos{v'— v) ■+■ r**
OEuvres de L. — W. lO
Supposons que, en réduisant R dans une suite ordonnée par rapport aux cosinus de i^' — v, v" — v et de leurs multiples, on ait
R =r m' [A(«) + A'') cos((^'— v) + A^^^ coS2(/ — p) +. . .] + m"[B"')H-B(»)cos(('"— (0 + B'*' cos 2 (p"—p) +...], •
on aura dR en différentiant R uniquement par rapport à r et ^, ce qui donne
dR = m'àv^k^^^ %\xi{v' —v) 4- aA^^^ sin2(t^'— p) +. . .]
-\-m' dr\ — T 1 3 — cos(p''— v) -\ 3 — cos2(p'— f ) 4- . . .
L <?/" ar ^ ' or J
+ m"rfp[B(')sin((^"— (-') -h 2B(«) sin2((^"— t^) +. . .]
\~dF ^~dF sin((^"-p)4--^^sin2(p"-(;) + ...J.
Il faut maintenant substituer, dans cette expression de dR, au lieu de r, r', r\ v^ k>\ /, leurs valeurs approchées jusqu'aux premières puissances inclusivement de m, nï, m", en distinguant avec soin les termes constants de ceux qui ne sont que périodiques.
Pour cela, nous allons rappeler ici quelques résultats de la théorie des perturbations des satellites de Jupiter; nous les tirerons de l'excellente pièce de M. de la Grange, qui a remporté le prix de l'Académie pour l'année 1766, et qui est imprimée dans le tome IX du recueil des Prix de l'Académie.
Si l'on désigne par l'unité le demi-diamètre de Jupiter, on aura, en n'ayant égard qu'à l'action des trois premiers satellites,
r := 5,67 -H W'[ 4,19 COS(«'^—«i + £'—£) — 1014,93 ces 2 (/2'i—«i + £' — £)
— 3,87 cos3 {n' t — nt + b' — t) — i ,02 cos4(n'i — «^ + £'£)., .]
4- m" [0,75 cos(/i"< — nt + £"— £) - I ,o6cos2 (n"/ — nt + i" — e)
— o,i3cos3(/i"i — «i 4- e"— s) 0,02 cos4(n"f — nf4-£" — £) — ...],
r' = 9,00 4-/n [5i8,78cos(/i'f — ni -he'— g) -+- 5,73cos2(n'< — ni-he' — e)
H-i,36cos3(n'i — ni-t-e'— e)-i-o,49cos4('i'^ — w^ + e'— e) 4-. . .] + m" [7, i6 cos(n"i ~n't-^ s"— s') — 824, 07 ces 2 («"i — n't + e"— e)
— 6,29COs3(«"/— «i + e" — e') — i,66cos4(«"i — n'i-He" — s') — ...],
/^=: 14, 38 4- m [5,88 cos(/i"i — nt ■+- e"— e) + o, 19 cos2{n"t — nt -\- s" — e)
+ o,o3cos3 {n"t — nt-+-e''—t) -ho,oocos^{n"t — nt -ht"— e') -h . . .]
-\-m' [452,98cos(n"/— n'i + e"— e') + 9,i3cos2(/i"i — n'i + e"— e')
-i-2,i6cos3(/i"/ — n'; + e"— e') 4-o,59COs4(/i"i— /i'i-+-e" — e') + ...],
t^ = ni -4-6 H-/n'[93oo'sin(/i'i — ni-t-e'— e)— I 227 2i4'sin2(n'i — /îi4-e' — e)
— 3526'sin3(/i'i — nt-hs' — e) — 706' sin4(«'i — nt -h e' — e) — . . .]
-h m''[ii5B' s'in(n" t — nt + s" — e) — looj' sin2{n" t — nt + e" — e)
— loi' sm3 (n" t — nt -h s" — s) — 18' sin^ {n" t — nt + e" — e) — . . .],
v' z=: n' t -h e' -^ m [887482' sin ( n' i — ni + e' — e) + 2727'sin2(n'i — ni + e'— e)
4- 5o9'sin3(n'/ — nt -{- s' — s) -h 12' sin !iin' t — nt -\- e' — e) -^ .. .]
-hni"[ioo6ysin(n"t — n' t -h s"— s') — 626 2!i6's\n 2 {n"t — n't -h e" — t')
— 371 7'sin 3 {n" t — n't + s"— e' ) — 826' sin 4 K i — n' 1 4- e"— s') - • . • ],
(;"=«"< + £" 4- m [— i3o6'sin(n"i — ni4-6"— e) 4- 38'sin2(n"i — ni4- e"— e)
