sin3(n"i — n'i4-£"— e)4-i'sin4(n"i — ni4-£" — e

4-m'[207375'sin(«"i — n'i4-s"— £')4-276o'sin2(n"i — n'i4-£" — e')

4-559'sin3(/i"i — n'i4-s" — £')4-i42'sin4(n''i — ni4-£"— £') 4-. . .].

( Voir la pièce citée, p. 63 et suivantes.)

Cela posé, considérons d'abord le termem'</^A^*^sin((''— v)àe l'expression de o?R. Si l'on y substitue au lieu de v sa valeur précédente, il est aisé de voir qu'il n'en peut résulter aucun terme constant ou proportionnel à sinV. Il n'en est pas ainsi de la substitution de la valeur de v\ et l'on voit facilement que le terme

— m" 626 246' sin 2 (/i"i — n't + t"—t)

de cette valeur produira dans m'dçA^'^ sin(^' — ç) le suivant

— An'm"626 246'A(»Uc?icos(n'i — /ii4-e'— e)sin2(n"i — n'i4-£''— £')

et, par conséquent, celui-ci

Pour réduire en parties du rayon le coefficient 626 246', il faut le diviser par 5'j°i']'^^"; en désignant donc par h le quotient de cette division, le terme précédent deviendra

hk^^hidt smY,

et il produira dans 2dR le terme constant

— m' m" h A^^^ ndt sinY.

A''^ étant une fonction de r et de r', la substitution de leurs valeurs peut produire encore des termes constants dans m'^/ç'A^'^ sin(ç''— v); or il est facile de s'assurer que la valeur de r ne produira aucun terme semblable, et que la valeur de r' produira le terme

— m'm"ndt , , 824,07 cos2{n" t -^ n' t -i- 1" — s') s,m{n' t — nt-\-e' — e),

ce qui donne le terme constant

/idt -, 824,07 sinV;

2 or '

en désignant donc par / le coefficient numérique 824,07, il en résultera dans 2 dR le terme constant

m'm"ndt ^ , ^sinV.

or

On voit ainsi que le terme m'dvA^*^ sin(v' — v), de l'expression de dR, produit dans 2 dR la quantité constante

i'm"ndtsmY(l^^ —hk^A

Si l'on analyse de la même manière les autres termes de l'expression de dR, on verra que les termes constants qui en résultent sont

insensibles par rapport à la quantité précédente, à cause de la grandeur des coefficients numériques h et /, qui multiplient ses deux termes. On peut donc supposer que la partie constante de 2dR se réduit à cette quantité, et qu'ainsi l'on a

d'où l'on tire, par l'article précédent,

aa = - m'/n"a*/if sinV n î^ - AAC) J

et, par conséquent,

hn=\m! m" an}t%mS [r-^, AA'') ).

De là il est aisé de conclure, par l'article V,

3 ô«" — 3 On' -H- ô«

= |an«< sin V ( / -^ - hk^'^

ï' m" -\- 3 mm" —^ + 2 mm

Soit a la fonction qui, dans le second membre de cette équation, multiplie n^t s'm\, et que l'on désigne par* la quantité 2/?"— 3n' -\- n,

on aura

$s = «n'f sinV.

L'équation- précédente donne la variation Bs, correspondante au temps t; mais elle ne peut servir que pour un intervalle dans lequel ctn^t sinY est peu considérable; on peut cependant en tirer la valeur de s, pour un temps illimité, au moyen de la méthode que j'ai donnée dans la seconde Partie de nos Mémoires pour l'année 1772 ('). Suivant cette méthode, on doit considérer s comme une fonction de a/, qui,

( ' ) Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 369 et suiv.

réduite dans une série ordonnée par rapport aux puissances de a/, est de cette forme

ds a^f^ d^s s -\- at

a.dt i .2 a} df^

les quantités s, —^5 -riTt' "' étant relatives à l'instant que l'on choisit pour époque. Le second terme de cette série exprime la variation Bs lorsque a/ est très petit; en comparant donc cette variation à celle-ci, OLn^t sinYy on aura

-y = ocn^ sin V, dt

et, comme l'instant de l'époque est arbitraire, cette équation différentielle a lieu pour un instant quelconque. Maintenant, V étant, par l'article VI, égal à

'in"t — 3n't + nt-\- 2e"— 3e' 4- e,

on a

dV = dt{2n"—^n'-h n) = sdt;

on aura ainsi, entrer, V et t, deux équations différentielles du premier ordre, dont les intégrales donneront les valeurs de 5 et V pour un temps quelconque.

De ces équations, on tire la suivante

en la multipliant par ^V et en l'intégrant, on aura

(a) . = dt,

yX — 2(x/i^ cosV

X étant une constante arbitraire. Les différentes valeurs que l'on peut supposer à cette constante donnent lieu aux trois cas suivants :

Premier cas. — Si X est positif et plus grand que d= 2.a.n^, il est visible que l'angle ± V croîtra sans cesse, et cela doit arriver si l'origine du mouvement, 2n" — 3n'-}- n, est positive ou négative et d'un ordre supérieur à nsjdz a.

Deuxième cas. — Si a est positif et X moindre que idn}, le radical

sj'k — aan'cosV

devient imaginaire dans la supposition de V = o; l'angle V sera donc alors périodique et ne pourra jamais être nul; il ne fera qu'osciller de part et d'autre de i8o°, en sorte que sa valeur moyenne sera do six signes.

Troisième cas. — Si a est négatif et X moindre que — 2aw', le

radical

s/X — 2a«' cosV

devient imaginaire dans la supposition de V = i8o°; l'angle V ne peut donc jamais, dans ce cas, atteindre i8o°; il ne fera qu'osciller de part et d'autre de zéro, en devenant alternativement positif et négatif, et sa valeur moyenne sera nulle.

Voyons lequel de ces trois cas a lieu dans la nature.

En prenant pour unité le demi-diamètre de Jupiter, les observations donnent

« = 5,67, a'=:9,oo, a"=i4>38.

De là j'ai conclu

^fn o>0952 (?A<^) 0,594

Mais on a, par l'article VII,

dr' a'

on aura, par conséquent,

dr' a

ce qui donne

Nous sommes ainsi assurés que a est positif; d'où il suit que le dernier des trois cas précédents ne peut pas exister. Il faut donc ou que l'angle ± V croisse sans cesse, ou, si sa valeur est périodique, qu'il ne puisse qu'osciller de part et d'autre de i8o**.

Si l'angle ± V croît indéfiniment, X est positif et plus grand que 2a7z^; or, si l'on suppose V = i8o°± cy, le signe de cy étant le même que celui de dY dans l'équation différentielle (a) de l'article VIII, cette équation donnera

drn = dt \J\ + 2c3cn^cosnj .

On aura donc, dans l'intervalle compris depuis cr = o jusqu'à cr = 90°,

cT>zv/)i et, par conséquent, jjs^ nt\pïâ.\

ainsi le temps t que cr emploiera à parvenir de o*' à 90*^ sera moindre que — ^7=- Si l'on nomme T le temps de la révolution du premier

satellite, on aura «T = 36o", ce qui donne n = -7p-; donc le temps t

que CT emploiera à parvenir de o*^ à 90'' sera moindre que

4v2a La valeur de a dépend des masses des trois premiers satellites de

Jupiter; la masse m' du second paraît assez bien déterminée par l'inégalité du premier satellite, et, si l'on prend pour unité la masse de Jupiter, on a

Quant aux masses m et m" du premier et du troisième satellite, la théorie des inégalités du second est insuffisante pour les déterminer, mais elle donne entre elles la relation suivante

9i8iom + i48383w"=i6,5

(voir la pièce citée de M. de la Grange, p. 74 et 78). En supposant donc m = [j.m', on aura

m"— 0,0001 1 1 199 — 0,0000 14955 |ji.

Les temps des révolutions des trois premiers satellites sont

iJi8»'28™36% 3ii3»'i7'"54s 7J3''59™36»,

et il est clair que les valeurs de n, n\ n" sont réciproques à ces temps, d'où il suit que ces valeurs sont entre elles comme les nombres

on aura ainsi

Zn'^n-n")

d'où l'on tire

a = 0,000000182187(1+ 3, 55263 /JL — 0,477756 jji*).

La valeur de \l est comprise entre les deux limites jx = o et [ji = "",^^>

dont la première répond à m = o et dont la seconde répond à m" = o ; or il est aisé de voir que la plus petite valeur dont a est susceptible répond à [x = o; ainsi le temps t que l'angle zs doit employer dans le cas que nous discutons ici à parvenir de 0° à 90° est nécessairement moindre que

4 V^o , oooooo364 374

et comme T, réduit en décimales de jours, est égal à 1^76986, il en résulte que t est moindre que 733^,002 ou au-dessous de deux ans.

Maintenant, si l'on compare ce résultat aux observations, on verra qu'il leur est entièrement contraire, car les Tables des trois premiers satellites, qui satisfont assez bien aux observations depuis plus d'un siècle, donnent, à toutes les époques, V peu différent de 180°, et par conséquent vs peu considérable. Suivant celles que M. Bailly a insérées à la fin de son Ouvrage sur les satellites de Jupiter, les quantités dont V surpassait 180°, aux époques de 1671 et 1763, étaient de 9'3i'' et de i2'3i"; dans toutes les époques intermédiaires, elles étaient

Œuvres de L. —XL 1 1 -

comprises entre ces limites. Il est donc certain que, depuis la découverte des satellites de Jupiter, cr ne s'est jamais élevé à 90°; ainsi la supposition de l'angle ts croissant sans cesse est entièrement contraire aux observations. Le second des trois cas de l'article VIII est donc le seul qui puisse avoir lieu dans la nature, c'est-à-dire que l'angle V est nécessairement périodique et ne fait qu'osciller de part et d'autre de 180^, en sorte que sa valeur moyenne est de six signes.

Reprenons l'équation différentielle de l'article précédent

dt.

y/X-i- 2an* coscj

Si l'on nomme g l'espace que la pesanteur terrestre fait parcourir dans la première seconde; si l'on imagine ensuite un pendule dont la longueur soit -^j i étant le nombre de secondes que renferme le temps de la révolution du premier satellite; enfin si l'on suppose à l'origine du mouvement ce pe-ndule éloigné de la verticale d'un angle dont le cosinus soit — -^ ses oscillations représenteront les variations de l'angle cj.

Puisque les Tables des satellites satisfont assez bien aux observations, sans avoir égard aux variations de cet angle, il doit être peu considérable; on peut donc supposer

COSGT = 1

ainsi, en faisant

on aura

X + aaw^

dxs , /—

^=z n dt \J(X

Cette équation donne, en l'intégrant,

CT = êsin(n«y/a + y),

ê et Y étant deux constantes arbitraire^ que l'observation peut seule

dt 5 = ±: nêv/âcos(«f v^ -t- y),

déterminer. L'équation — =^ds donne

d'où l'on voit que s est, ainsi que ct, une quantité périodique ; en faisant donc abstraction de ces quantités, c'est-à-dire en supposant que nt^ rit, n"t représentent les vrais moyens mouvements des satellites, on a rigoureusement * = o, ou

n + in"^z 3/i'.

On voit encore que cette équation n'exige point qu'à l'origine du mouvement s ou n-\- in" — 3/i' ait été rigoureusement nul : il suffit qu'il ait été compris dans les limites — n^y/â et -+- n6\fôi.

On aura le temps t de la période des variations de s et de cr, au moyen de l'équation nt\/ôi. = 36o°, ce qui donne

mais, T étant le temps de la révolution du premier satellite, on a

nT = 36o°. On aura donc

les deux limites de t répondent conséquemment aux deux limites de a. Or la plus petite valeur de a est

et sa plus grande valeur est

a rr 0,00000 1 38542 ; ainsi les deux limites de t sont

iSoSJo^'sS et 4i46j'""^»5»

c'est-à-dire que le temps de la période des valeurs de 5 et de 6 est compris entre 4 ans ^ et 11 ans ^ , ,

Les mouvements des trois satellites ont des variations analogues à celles de l'angle u; ces variations sont dans le rapport des quantités Bn, Bn\ Bn'\ qui, par l'article V, sont entre elles comme les quantités

"^ nHn'—n") n^n'— n")

En nommant donc ks'm(nts/x-\-y) l'équation qui en résulte dans le mouvement du premier satellite, les équations correspondantes du second et du troisième satellite seront

et l'on aura

i,i84i4 — ; ksm(nt\fôc -+- y\ 0,809895 — Y,ks,in{nt\/â -t- y),

Il est impossible, dans l'état actuel de la théorie des satellites de Jupiter, de prononcer sur la véritable valeur de ê ; on voit seulement, par l'inspection des erreurs des meilleures Tables, qu'il n'est pas impossible que cette valeur excède 4o'; mais c'est un point que je laisse à discuter aux astronomes qui cherchent à perfectionner cette théorie.

Il suit de ce qui précède que, si l'on néglige les quantités périodiques et que l'on n'ait égard qu'aux moyens mouvements et à leurs époques, on a les deux équations suivantes ;

£ — Ze'-h 2e"=o, n — 3/i'+ 2/i"= o.

Ces équations subsisteraient encore dans le cas où, par des causes inconnues, telles que la résistance d'un milieu, les moyens mouvements des satellites de Jupiter seraient assujettis à des équations séculaires. En vertu de ces causes, les expressions des grands axes des orbites et, par conséquent, les valeurs de n, n', n" renfermeraient des termes

proportionnels au temps. Soient!/, i' t^ i"t ces termes, i, i', i" étant des coefficients constants ou, du moins, que l'on peut traiter comme tels pendant un très long intervalle. Si l'on nomme, pour abréger, q la

quantité

/ dA<'' \

\m'm'a(r~^-hk^'A,

on aura, par les articles V et VI,

en = qii* t sin V h- it,

. , m n'^(n — n") , . ,r ., ôn'= -, —j^ qn* t smY -\- l't,

> - ,, m n"^(n — n') . . , ... dn"= -^ -^-^ qn*tsm\ -h i"t\

d'où l'on tire, par l'article VIII, les équations

dn

dt ~

qn^ sinV + i,

dn'

dt ~

4 qn s,m y \ i , "^ n^n'-n")

dn"

dt ~~

— r, —r-^ — qn^ sm V -f- 1".

En supposant donc, comme dans l'article VII,

r 3m n'hn — n") 2m n"^(n — n')\ | '^ n3(„/^.) "^ n^n'-n")J

on aura

— = an* sin V -+- / — 3 i'-+- 2 f ; dt

on a ensuite -7- =s, partant

dt

, ^ txn^ sin V -ht — 3i'-+- 21".

dt*

Supposons V — i8o**+ cj, ct étant peu cons^idérable ; l'équation précédente donnera

-^-r- + a«^5J= i — 6i'-\- Il ;

d'où l'on tire, en intégrant,

r. . / /- \ i — 3 i' + 2 i" CT = bsm( ni V« + yy-^ 5 '

6 et Y étant deux constantes arbitraires, et, comme on a*= -^ = -^>

on aura

n — 3/i'4- in"=: nS cos {ni \/ oc + y);

ainsi, en négligeant les quantités périodiques, on aura

On voit par là que les causes qui peuvent altérer les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter ne troublent point le rapport précédent entre ces mouvements ; d'où il suit que, si ces corps sont assujettis à des équations séculaires, celle du premier, plus deux fois celle du troisième, doit être égale à trois fois l'équation séculaire du second.

Pour déterminer ces équations, nous observerons que l'on a, par ce qui précède,

^ adt (X

d$ on aura donc, en rejetant la quantité périodique -^>

du . q , ■ 'i -, 7/x

Ht r/ m' ^ ' ±

Si l'on intègre deux fois de suite ces valeurs de dn, dn', dn'\ les termes proportionnels au carré du temps t seront les équations sécu-

laires des satellites; les valeurs de ces équations seront, par conséquent,

[., qm , . - ., ...n'*(n — n')\ l'+ -^(i-3f'+2l')-T-i ' \

[.„ qm , . ., ..^ «"'(n — n') 1 n' (w — « )J

La valeur moyenne de V est i8o°h ^ ; ainsi, en supposant

i — 3ï'h- ii" positif, V serait plus grand que i8o°, et l'on pourrait expliquer par là pourquoi toutes les Tables des satellites de Jupiter donnent V>i8o°; mais on doit observer que les quantités i, i\ i" doivent être insensibles relativement à an^, puisque, autrement, elles produiraient, dans les moyens mouvements des satellites, des équations séculaires que l'intervalle de temps écoulé depuis leur découverte jusqu'à nos jours aurait rendues très sensibles. On pourrait, à la vérité, diminuer ces équations par différentes suppositions sur les valeurs de rriy m\ m", i, i', i". Supposons, par exemple, le satellite m extrêmement petit relativement à m' et à m'\ et qu'il se meuve dans un milieu résistant qui ne s'étende pas jusqu'à l'orbite du second satellite; on aura q = (x.f i— G, i"=o. Les équations séculaires des trois satellites seront

nulles, et V sera égal à iBo^'h -,• On pourra donc supposer — j

égal à plusieurs minutes, sans qu'il en résulte aucujie équation séculaire sensible dans les mouvements des satellites; car, si, d'un côté, le milieu dans lequel se meut le premier satellite tend à accélérer son mouvement en l'approchant de Jupiter, d'un autre côté, l'action des deux autres satellites détruit l'effet de ce milieu et conserve au premier satellite son moyen mouvement et sa moyenne distance. Mais ces hypothèses et toutes celles du même genre sont trop peu vraisemblables pour être admises; on doit donc regarder l'équation

comme une condition à laquelle les époques des Tables doivent nécessairement satisfaire.

Sur les excentricités et les inclinaisons des orbites des planètes.

Considérons présentement le second objet que nous nous sommes proposé de traiter dans ce Mémoire, et cherchons à établir d'une manière générale que les excentricités et les inclinaisons des orbites des planètes sont constamment renfermées dans d'étroites limites; pour cela, nous allons rappeler ici les principaux résultats de la théorie connue des inégalités séculaires.

Si l'on prend pour plan fixe celui de l'écliptique à une époque donnée, et que l'on compte les longitudes de l'équinoxe correspondant supposé invariable; si l'on nomme ensuite m, m', m", ... les masses des planètes, celle du Soleil étant prise pour l'unité; a, a', a" les demi grands axes de leurs orbites; ea, e'a', e"a", ... leurs excentricités; V, V, V", ... les longitudes de leurs aphélies; 6, 6', Ô", ... les tangentes des inclinaisons de leurs orbites sur le plan fixe; enfin I, T, l", ... les longitudes de leurs nœuds ascendants; les quantités esinV, ecosV, e'sinV, e'cosV, .. ., ô sini, 6cosI, ô'sinF, G'cosT, .. . seront données par des équations différentielles linéaires du premier ordre, dont les coefficients sont constants. Les excentricités et les inclinaisons étant fort petites, le système des équations relatives aux excentricités est indépendant du système des équations relatives aux inclinaisons; en sorte que le premier système est le même que si les orbites étaient dans le même plan, et le second est le même que si les orbites étaient circulaires.

^n intégrant le premier système, chacune des quantités esinV, ccosV, e'sinV, e'cosV, ... est exprimée par la somme d'un nombre fini de sinus et de cosinus d'angles proportionnels au temps t; les nombres par lesquels il faut multiplier ce temps, pour former ces angles, étant les racines d'une équation algébrique d'un degré égal

au nombre des planètes, nous représenterons eette équation par (k). La même chose a lieu relativement aux équations du second système; mais l'équation dont dépend la formation des angles n'est pas la même que pour le premier système; nous la représenterons par (kf). On peut consulter, sur cet objet, les Mémoires de cette Académie pour l'année 1772, deuxième Partie, page 36i ('), et les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1782, pages 243 et 262.

Si toutes les racines des équations (^) et {k) sont réelles et inégales, les valeurs des quantités précédentes ne renfermeront ni arcs de cercle ni exponentielles, et par conséquent elles resteront toujours fort petites; il n'en sera pas de même si quelques-unes de ces racines sont égales ou imaginaires, car on sait qu'alors les sinus et les cosinus se changent en arcs de cercle ou en exponentielles; mais, quelle que soit la nature des racines de ces équations, les valeurs de esinV, ecosV, e'sinV, e'cosV, . . . seront toujours comprises dans les formes suivantes :

e sinV = a/'' -h ê/'' + . . . + y <'• -4-Xr-»+. e cos V ~ jx/' +£/'■'+... + ^V + i|> V-"^ -\- . e' sin V = a'/" -+■ 6'/'' + . . . -h y' /'" -h V t'-' + . e' cos V = fx'/' H- s'/"' + ...-\-<i>' f-\-^' r-i -h .

f étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Les coefficients a, ê, p., £, .. . , a', ^\ [x', t' , ... des exponentielles sont des quantités réelles sans exponentielles, mais qui peuvent être fonctions de l'arc t et de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à cet arc; les quantités y, X, $, 'j», . . . , A, /, y', V, O', -y, . . . , h\ /', ... sont réelles, sans arcs de cercle ni exponentielles, et par conséquent constantes ou périodiques.

Supposons que, abstraction faite du signe, on ait i > i\ i' > i", . . . , e étant égal à (esinV)^-h (ecosV)'^; on aura

e^— («24- |jt2)/"'-h. . .+ (yî4-0»)r-'-4-. . .-h /i*-h /».

( ' ) Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 4o6'

OEuuresde L. ~ XI. 12

On aura pareillement

et ainsi de suite; on aura donc ainsi les valeurs des excentricités des orbites.

Ces valeurs ne peuvent servir que pour un temps limité, après lequel, les excentricités devenant fort grandes, la supposition qu'elles sont peu considérables et d'après laquelle elles ont été trouvées cesse d'être exacte; on ne peut donc étendre à un temps quelconque les résultats obtenus dans cette supposition, qu'autant que l'on est assuré que les racines de l'équation {k) sont toutes réelles et inégales; mais il serait très difficile d'y parvenir par la considération directe de cette équation. Voici un moyen fort simple de prouver que ni les exponentielles/'^y^'S . . . , ni l'arc t et ses puissances ne se rencontrent point dans les valeurs de esinV, ecosV; e'sinV, e'cosV,

XÏV.

Reprenons l'équation (9) de l'article IV; si l'on suppose e et 6 très petits et que l'on néglige les quantités des ordres e\ e^O^ et 6% elle donnera

cr=zm\/~â + m'\i'a' +...--\m{e'^-^B'-)\Ja — \m'{ e'-' -+- Ô'^ ) \fâ' — ... ;

mais les moyennes distances des planètes au Soleil ne sont point troublées par leur action mutuelle; on aura donc

m ( e^+Q'-)s/a-\- m' {e''-^ Q'-)\Ja' -^ . . .=. const.

Nous avons observé, dans l'article précédent, que les valeurs de e, e\ e\ . . . sont données par des équations indépendantes de celles qui donnent les valeurs de G, 6', 6", . . . , en sorte qu'elles sont les mêmes que si 0, ô', 6", . . . étaient nuls; mais l'équation précédente devient, dans cette hypothèse,

const. = we* \ja + m'e'^ ^ja'^

Les valeurs de e, e! , ... doivent donc satisfaire à cette équation, après un temps quelconque.

Si l'on y substitue les expressions générales de ces quantités, que nous avons données dans l'article précédent, on aura

[ const.= [/nv/â(a»4-fjt-)-»-m'v^rt'(a'*-hfJi") -+-.. .]/*''4-...

( -h mv/â(A«-i-/2) -t-m'v/â^(/i"+/") -H...;

cette équation devant avoir lieu quel que soit t, il est nécessaire que les coefficients des exponentielles et des puissances semblables de / disparaissent d'eux-mêmes ; en égalant donc à zéro le coefficient de/"S on aura

o == m\/â (a^+ fJL^) H- m' v/«' («'■-!- /^'") 4-. . .;

mais m sja^ m' y/a', . . . sont des quantités positives, et a, [x, a', ix', . . . sont des quantités réelles; l'équation précédente ne peut conséquemment subsister qu'en supposant a -= o, pt. — o, a =^ o, (x— o, ..., d'où il suit que les exponentielles ne se rencontrent point dans les

valeurs àee, e',

L'équation (h) donne encore, en égalant à zéro le coefficient de z*'",

o = m\/a{y--h(f-)-\- m' ^a' {y'^-h 9'-) + . . ., d'où l'on tire

-Ainsi, les valeurs de e, e\ ... ne renferment point d'arcs de cercle; elles se réduisent par conséquent aux quantités périodiques

et ces quantités ont entre elles, en vertu de l'équation (b), la relation

suivante

const. = m\/a {h'^+l') -h m'\Ja' (A" H- /'») -h. . .,

de manière que, dans le développement du second membre de cette

équation en sinus et en cosinus, les coefficients de chaque sinus et de chaque cosinus doivent disparaître d'eux-mêmes.

Si l'on applique les mêmes raisonnements aux expressions de 0, 6', 6", . . . , on s'assurera qu'elles ne renferment ni exponentielles ni arcs de cercle, et qu'elles se réduisent à des quantités périodiques. En supposant, comme dans l'article IV,

9 sini =^Pt Q cosi =:^, Ô'sinl'^:/)', B'C0il'=:q',

on trouvera que les quantités/?, q, p, q' , . .. ont entre elles la relation

const. = m\ja (/?-+ q"^) -h m' \j a' {p'- -^ ^'^) + • • • ;

les équations (lo) et (ii) de l'article IV donnent encore, dans la supposition de/?» <7»/?', q\ '" très petits, les relations suivantes entre ces

quantités

const. = mq \Ja + m' q' \fa' -\- . . . ,

const. =: mp sja -f- m' p' \Ja'-\- ....

De là nous pouvons généralement conclure que les expressions des excentricités et des inclinaisons des orbites des planètes ne renferment ni arcs de cercle ni exponentielles, et qu'ainsi le système des planètes est renfermé dans des limites invariables, du moins lorsque l'on n'a égard qu'à leur action mutuelle.

THÉORIE

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1785; 1788.

Les observations ont fait apercevoir dans les mouvements de Jupiter et de Saturne des variations considérables dont on ignore les lois et la cause. La comparaison des observations modernes aux anciennes paraît indiquer une accélération dans le mouvement de Jupiter et un ralentissement dans celui de Saturne; mais les observations modernes comparées entre elles offrent un résultat contraire, et M. Lambert a remarqué que, depuis Hevelius jusqu'à nous, le mouvement de Jupiter s'est ralenti et que celui de Saturne s'est accéléré d'une manière sensible. M. de la Lande a, de plus, observé que le moyen mouvement de Saturne, conclu des oppositions de cette planète, vers l'équinoxe du printemps, est depuis un siècle plus rapide que celui qui résulte des oppositions observées vers l'équinoxe d'automne, et, pour prouver que cette différence ne dépend point de l'attraction de Jupiter, il l'a établie sur des oppositions dans lesquelles les circonstances des mouvements de Jupiter et de Saturne étaient à peu près semblables.

Jusqu'à présent la théorie de la pesanteur universelle n'a pu rendre raison de ces phénomènes; on ne voit même rien dans les résultats analytiques auxquels les géomètres sont parvenus sur ce sujet qui puisse conduire à les expliquer. Je me propose ici de faire voir que, loin d'être une exception au principe de la pesanteur, ils en sont une suite nécessaire, et qu'ils présentent une nouvelle confirmation de ce principe admirable.

Cet Ouvrage est divisé en trois Sections; j'expose dans la première une théorie analytique des inégalités périodiques et séculaires de Jupiter et de Saturne qui naissent de leur action mutuelle. Je me suis surtout attaché à donner à mes résultats une forme simple et commode pour le calcul, et, comme je les ai vérifiés avec beaucoup de soin et par différentes méthodes, je crois pouvoir répondre de leur exactitude. Ce qui distingue principalement cette théorie de celles qui l'ont précédée est la considération des inégalités dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. Les géomètres n'avaient eu égard, dans ces recherches, qu'aux premières puissances de ces quantités; mais j'ai reconnu que cette approximation est insuffisante dans la théorie de Jupiter et de Saturne, et que leurs principales inégalités sont données par les approximations suivantes, qu'il faut étendre jusqu'aux quatrièmes puissances des excentricités. Les moyens mouvements de ces deux planètes sont tels que cinq fois celui de Saturne est à fort peu près égal à deux fois celui de Jupiter, et ce rapport produit dans les éléments de leurs orbites des variations considérables dont les périodes embrassent plus de neuf siècles et qui sont la source des grands dérangements observés par les astronomes. Les méthodes ordinaires conduiraient pour les déterminer à des calculs d'une excessive longueur; heureusement, la même considération qui force de recourir à ces inégalités simplifie leur détermination : je donne, pour y parvenir, une méthode facile et très approchée.

La seconde Section a pour objet la théorie de Saturne. Pour avoir ses inégalités, il suffît de substituer ses éléments et ceux de Jupiter dans les formules analytiques de la première Section; mais les éléments des Tables astronomiques n'ont pas la précision nécessaire dans une recherche aussi délicate, parce que, dans la formation de ces Tables, on n'a point fait entrer les différentes inégalités de Jupiter et de Saturne. Une première approximation m'a fait connaître à fort peu près les changements qu'ils doivent subir, et ces éléments ainsi rectifiés m'ont donné les valeurs exactes des inégalités de Saturne.

La plus considérable de toutes ces inégalités dépend de cinq fois le moyen mouvement de Saturne moins deux fois celui de Jupiter; sa période est d'environ neuf cent dix-neuf ans, et sa valeur, qui diminue par des degrés insensibles, était au milieu de ce siècle de 48' 44". Le mouvement de Jupiter est soumis à une inégalité correspondante dont la période est exactement la même, mais dont la valeur affectée d'un signe contraire est plus petite dans la raison de 3 à 7. On doit rapporter à ces deux grandes inégalités, jusqu'à présent inconnues, le ralentissement apparent de Saturne et l'accélération apparente de Jupiter. Ces phénomènes ont atteint leur maximum vers i56o; depuis cette époque, les moyens mouvements apparents des deux planètes se sont rapprochés sans cesse de leurs véritables moyens mouvements. Voilà pourquoi, lorsque l'on a comparé les observations modernes aux anciennes, le moyen mouvement de Saturne a paru plus lent et celui de Jupiter plus rapide que par la comparaison des observations modernes entre elles, tandis que ces dernières ont indiqué une accélération dans le mouvement de Saturne et un ralentissement dans celui de Jupiter : si l'Astronomie eût été renouvelée trois siècles plus tard, les observations auraient présenté des phénomènes contraires. Les mouvements que l'astronomie d'un peuple assigne à Jupiter et à Saturne peuvent donc nous éclairer sur le temps où elle a été fondée; je trouve ainsi, par mon analyse, que les Indiens ont déterminé les moyens mouvements de ces deux planètes dans la partie de la période des deux inégalités précédentes où le moyen mouvement apparent de Saturne était'fort lent et celui de Jupiter très rapide. Deux de leurs principales époques astronomiques, dont l'une remonte à l'an 3io2 avant notre ère et dont l'autre se rapporte à l'an 1491» remplissent à peu près cette condition.

La théorie de Saturne renferme encore une inégalité remarquable dont la valeur est à peu près de 10 minutes et qui coïnciderait avec les inégalités du mouvement elliptique si le double du moyen mouvement de Jupiter était parfaitement égal à cinq fois celui de Saturne. C'est d'elle que vient, en grande partie, le dérangement observé

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par M. de la Lande dans le mouvement de Saturne et le peu d'accord des variations de l'aphélie de cette planète avec la théorie de ses inégalités séculaires.

La réunion des inégalités produites par l'action de Jupiter avec celles du mouvement elliptique forme la théorie complète de Saturne, mais les éléments de son orbite, quoique fort approchés, avaient encore besoin de légères corrections. J'ai choisi, pour cet objet, vingt-quatre observations disposées d'une manière avantageuse, et je suis parvenu aux véritables expressions du rayon vecteur de Saturne et de son mouvement en longitude et en latitude. On peut, sans erreur sensible, étendre ces formules à plus de deux mille ans dans le passé et à mille ou douze cents ans dans l'avenir. Leur accord avec un srrand nombre d'oppositions modernes et avec les observations anciennes prouve à la fois la justesse et la nécessité des grandes équations que j'ai introduites dans la théorie de Saturne, et que les siècles suivants rendront de plus en plus sensibles; il fait voir encore le peu d'influence des comètes sur notre système planétaire, puisque Saturne, à raison de son éloignement du Soleil, en aurait éprouvé des dérangements remarquables si leurs masses étaient comparables à celles des planètes.

Un résultat intéressant de ces recherches est la détermination du moyen mouvement sidéral de Saturne et son uniformité. Vingt-quatre oppositions modernes, comparées deux à deux et respectivement éloignées de deux, de quatre et de six révolutions de Saturne, m'ont donné ce mouvement égal à i2°i2'46'',6 dans l'intervalle de 365 jours. L'observation la plus ancienne et la meilleure de Saturne que Ptolémée nous ait transmise et que les Ghaldéens firent le i^'' mars de l'an 228 avant notre ère conduit, à ^ de seconde près, au même résultat; ainsi les observations se réunissent avec la théorie de la pesanteur pour bannir l'équation séculaire de Saturne qui, de toutes les planètes, avait paru aux astronomes exiger la plus grande équation séculaire.

La théorie de Jupiter, exposée dans la troisième Section et comparée aux observations anciennes et modernes, présente des résultats

semblables et le même accord; la pesanteur universelle est donc la véritable cause des variations observées dans les mouvements de Jupiter et de Saturne. La précision avec laquelle ces deux planètes ont obéi dans tous les temps aux lois que la Géométrie leur assigne en vertu de leur action mutuelle est un des objets les plus curieux du système du monde. Il aurait fallu plusieurs siècles d'observations suivies pour déterminer empiriquement ces inégalités à cause de la longueur de leurs périodes; ainsi, sur ce point, la théorie de la pesanteur a devancé l'observation. Cette confirmation nouvelle d'une loi qui s'accorde admirablement avec tous les phénomènes célestes, et à laquelle les seuls dérangements de Jupiter et de Saturne semblaient faire exception, ne laisse aucun doute sur son existence et sur ses avantages, en sorte que ses résultats doivent obtenir la même confiance que les observations les plus précises.

Il restait cependant encore un phénomène céleste, l'accélération du moyen mouvement de la Lune que l'on n'avait pu, jusqu'ici, ramener aux lois de la pesanteur : les géomètres qui s'en étaient occupés avaient conclu de leurs recherches qu'il ne peut être produit par la gravitation universelle, et, pour l'expliquer, on avait eu recours à différentes hypothèses, telles que la résistance de Téther, la transmission successive de la gravité, l'action des comètes, etc. Mais, après diverses tentatives, je suis enfin parvenu à découvrir la véritable cause de ce phénomène. J'ai trouvé que l'équation séculaire de la Lune résulte de l'action du Soleil sur ce satellite, combinée avec la variation de l'excentricité de l'orbite terrestre. Elle est périodique et dépend des mêmes arguments que le carré de cette excentricité : quand celle-ci diminue, comme cela a lieu constamment depuis les observations les plus anciennes jusqu'à nous, cette équation accélère le moyen mouvement de la Lune; elle le ralentit quand l'excentricité vient à croître. Cette théorie s'accorde aussi exactement qu*on peut le désirer avec les observations les plus anciennes, et, par là, elle complète le système de la pesanteur universelle dont tous les phénomènes célestes, sans exception, concourent maintenant à démontrer la vérité.