THEORIE DE JUPITER
Nous suivrons, pour déterminer les inégalités de Jupiter, le même procédé qui nous a servi pour avoir les inégalités de Saturne. En substituant donc dans les expressions analytiques de m et de V de l'article IX les valeurs numériques des éléments de Jupiter et de Saturne que nous avons données dans l'article XXIX, on trouve d'abord, en n'ayant égard qu'aux inégalités indépendantes des excentricités des
orbites,
^'' / fi
+ 0,436670008 {nt — n' t -h £ — e')
— r,869i25 C0S2(ni — n't-v-t — t')
— 0,194915 cos3(«i — II' t -[- B — e')
— o,o5o484cos4(«^ — «'^ + s — s') • 1
ôc = — 1,347117 sin {nt — n' t -\- e — s') -t- 3,325964 sin 2 («^ — n' t -\- t — s') -H 0,277593 sin 3 (ni — n't-\-£ — s') -h o,o63847 sin4('î^ — n't-\-z — e') +
Pour avoir égard aux inégalités dépendantes des excentricités des orbites, on fera « successivement égal à i, 2, 3, ..., — i, —2, ... dans les valeurs de m, et de V, de l'article X, et l'on trouvera, dans la supposition de i == i ,
— = 1,067001e cos(«'^ + e' — CT ) — o,5646i4e'cos(/i'i + e' — xs'),
ôp = — 2,912268e sin {n' t -\-z' — cr ) + 2,8o42i4e' sin (/l'f + e' — m');
dans la supposition de i= 2,
— = 3,921972e cos (2 n'^ — ni 4-2 £'— 2 — GJ )
— 1,936758e' cos(2n'/ — nt -h 2e'— e — ct'),
dv =z 46,83 1 1 83 e sin ( 2 n' i — /if -1- 2 e' — e — cr )
— 16,383921 e'sin {in' t— nt -+■ it' — e — ni');
dans la supposition de i= 3,
èr
— = 6,179689e cos(3n'i — 2nt-h3e'— 2£ — Tx! )
— io,3843i8e'cos(3/i'i — 2nt -h 3s' — 2e — vj'),
èv = i5,o4255oe s\n{3n't— 2nt -hSe'— 2e — cj )
— 24,582706e' sin (3/i'i— 2nt-+- 3e'— 25 — cr');
dans la supposition de i= 4,
— =— 1,689958e cos(4«'^— 3/i<-f-4e'— 3e — 5T )
H- 2,781392e' cos(4«'< — 3/ii -+- 4e'— 3e — m'),
di> =r— 2,68i6i5e sin{^n't — 3nt-h ^e'— 3s — rs) 4- 4,52i536e' sin {/\n't — 3nt + 4e'— 3e — zs').
Je n'ai pas poussé plus loin les approximations relatives aux valeurs positives de i, parce que les termes suivants sont presque insensibles.
En faisant successivement « = — i , « = — 2, . . . , on trouve, dans la supposition de ? = — 1 ,
— rr: — 0,777084e C0S(2/li — n' t -\- 2t — e' — TS )
— 0,102748e' cos(2/ii— n' t 4- 2e — e'- cj'),
àv := 1,762156e sin (2nf — n't-h2£ — e' — nr ) -+- o,i65o32 e'sin {2nt — n' t ■+- 2e — s'—w');
dans la supposition de i= — 2,
èr
— =: 1,807069e cos(3nt — 2n't-\- 3e — 2e' — vs )
— 0,075906e' cos(3ni — 2/i'i 4- 3e — 2e' — cr'),
èv =^ — 4>357375e sin {3nt — 2/1' t -+- 3s — 2e' — ns ) 4- o,io2o55 e'sin {3ne — 2n'i 4- 3e — 2e' — ©').
Les suppositions suivantes donnent des résultats insensibles.
Si l'on multiplie par ml chaque valeur de §(^, que l'on réduise en un seul les deux termes de '^v correspondants à une même supposition sur i\ enfin si l'on évalue les coefficients de chaque terme en secondes de degré, on trouvera, en rassemblant tous ces termes,
m'hv = — 82",737sin {nt ^ n' t -v z — t') -h 2o4", 272 sin2(7i< — n't-\-z — e') + i7",o49sin3(ni — /i'^ + e — e') 4- 3",92i sin4(/î< — nJt-\-t — e') -4- ii",558sin(n'i+e'+45°4')
— i38",369sin(2/i'i— nt-\~ii'~ £H-i3°33'7")
— 87",369sin(3w'f — 2«« +3e'— 2£ H-6i°59'48") + i5",994sin(4«'i— 3/1^ + 4s'— 3s + 62°5i'i9")
— 5",358sin(2Ai« — n't-^it— e'+ 16° i'27")
— i2",8i8sin(2/i'< — 3/ii +26'— 3s + 8°3o'i5'').
Ces différentes inégalités ne sont pas les mêmes dans tous les siècles : leurs coefficients et les angles constants renfermés sous le signe sin varient à raison de la variabilité des éléments des orbites de Jupiter et de Saturne. Les inégalités qui dépendent de l'angle nt — Ti!t-\-t — € et de ses multiples sont toujours les mêmes; nous n'aurons égard, parmi les autres inégalités, qu'aux variations des deux plus considérables. Pour cela, j'ai calculé les valeurs de ces deux inégalités pour le commencement de l'an lySo, et j'ai trouvé d'abord que l'inégalité qui dépend de l'angle in! t — nt -\- it' — z
était alors
— i32",8i6 sin(2n'i -- nt -\- it' — z -\- i7<'2i'46") ;
ainsi, dans l'intervalle de mille ans, le coefficient de cette inégalité a augmenté de o",oo555, et l'angle constant sous le signe sin a diminué
de 3**48'39"; on peut donc représenter cette inégalité de cette manière
— (i38",369 + ro",oo555) sin(2/i'< — nt+i&'—z-h iZ°^Z'f—i. i3",7),
et, sous cette forme, elle peut s'étendre à deux mille ans auparavant et à mille ou douze cents ans après 1750.
J'ai trouvé de la même manière que l'inégalité dépendante de l'angle "in't — int + 3e' — 2£ pouvait être représentée ainsi
— (87%369— f.o",ooi28)sin(3/i7— 2n<H- 3e'— 2e + 6i°59'48"— f.2i'',9).
LVÏ.
Considérons maintenant les inégalités de Jupiter dépendantes des carrés et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons des orbites. On a vu d'abord, dans l'article XXXVI, qu'il faut corriger la longitude moyenne de Jupiter au moyen de l'inégalité
(2o'49^5 — i.o",o42733)sin(5/î'f — 2/i<+5e'— 2e4-5°34'8"— f.58'88);
et, comme nous avons donné, dans l'article XXXV, la valeur de cette inégalité pour Saturne, aux quatre époques de l'an 228 avant notre ère et des années i32, 1750 et igSo, on aura la même inégalité pour Jupiter en diminuant celle de Saturne dans le rapport de 3 à 7 et en la prenant avec un signe contraire.
Si l'on réduit en nombres l'inégalité de Jupiter dépendante de l'angle 3nt — ^n't -1- 3s — 5e', et dont nous avons donné l'expression analytique dans l'article XXV, on trouve que cette inégalité, en 1750,
était
+ 160", 29 sin(3nf — 5/i'< -f- 3e — 5e' -h 55° 19' 21");
en calculant cette même inégalité pour l'an 700, j'en ai conclu l'expression suivante
-f- (160", 29 — i.o,oo44)sin(3/if — 5n7 + 36 — 5e'+ 55°i9'2i''+ i.43*),
et, sous cette forme, elle peut s'étendre à plus de deux mille ans auparavant et à mille ou douze cents ans après 1750.
Enfin, en suivant l'analyse de l'article LIÏ, on trouve qu'il faut augmenter (le ^ le coefficient i6o", 29, ce qui réduit l'inégalité précédente à celle-ci
(i66",96— i.o",oo/i4) sin(3/ii — 5/i'< + 3s - 5£'+ 55°i9'2i"H- Ï.43").
Parmi les quantités du second ordre, l'inégalité dépendante de l'angle Zn!t — nt-\-Z^' — t peut être sensible à cause de la longueur de sa période qui est d'environ soixante ans; il importe donc de la déterminer. Pour cela, je reprends l'équation (10) de l'article VII et je suppose que Q cos(3«'/ — w/ -h 3e' — £ -f- A) soit un terme de R dépendant de l'angle dont il s'agit; l'équation (10) donnera
+ ^2/^2 ^ ^^^^ \ cos(3«'i -nt + 3e'- e + A). \ oa in' — n j
Il faut substituer pour — la partie de sa valeur qui, multipliée par
2ecos(/i<f + £ — ns) — |e^ cos2(«^ H- £ — nr),
donne des quantités dépendantes de l'angle "^n't — nt + 3e'— s; or,
parmi les termes de — qui sont indépendants des excentricités, il
n'y a que celui qui est relatif à l'angle 'in't— 3^/4- 3e'— 3e' qui soit dans ce cas, et il est aisé de voir que le terme dépendant de l'angle 3/i'/ — /iZ + Se'- e qui en résulte, dans l'équation différen-
tielle précédente, est insensible. Parmi les termes de — qui dépendent
des premières puissances des excentricités, il faut avoir égard à celui qui dépend de l'angle '5n't — int + 3e' — 2 e, et que l'on trouve égal à
— o,598370sin(3/i'f — 2/i^ + 3£'— 2e + 7°8'3i");
l'équation différentielle précédente donnera ainsi, après l'avoir intégrée,
«« / ,dQ 2naQ \ ,^ ,
~ â~"777 5— 7T ( « "3 T-T cos(3n7 — n^ + 3e'— 6 4- A).
6n\2n — on')\ aa on — nj '
En substituant cette valeur dans la formule (9) de Tarlicle VII, on en tirera
^ L^.^QF n{Zn'-n) ^ n 1 I da \Zn\in — 3n') 3/i' — n\
Tô—, Ti + T-77 2-7T sin(3«'< — /i< + 3e'— e-i-A),
(3n' — ny 6n{2n — on)]] '
et, en négligeant les quantités insensibles,
hv=i ( 10,047 1 2 «*-y^ — 73,476070) sin(3n'^ — n< -I- 36'— £ + A).
J'ai donné dans l'article XLIX les valeurs de Q et de A; en les substituant dans la valeur précédente de Sf', on trouve
m' ôp = — 1 2", 909 sin ( 3 Ai' ^ — nt -\-'it' — z — xs — xs') -\- 2",667 sin(3/i'; — «<-l-36' — e — 257) H- ii'',253sin(3/i'f — «f + 3e'— e — 2gj')
et, par conséquent,
m'ô(^i=i3%o43sin(/i< — 3n'« + e — 36'4-58°3i'o').
Enfin, en suivant l'analyse de l'article L, on trouvera dans m' ^t' le
terme
— \e. 166", 96 sin(4«< — 5n'f -f- 4e — 5e'+ SS^ig'ai' — gt)
ou
io",osin(4rt^ — 5/t'/ 4- 4e — 5e'H- 45°i6'32'').
En rassemblant tous les termes de m' Sç', on aura
m'§vz=z— 82", 737sin {nt — n't -\- e — s')
H- 2o4", 272 sin2(/ï^ — «'f H- e — e')
-f- i7",o49sin3(ni — n't-\-£ — e')
-h S", g2i &in li{nt — n't -h £ — e')
+ ii",558sin(/i'^-f-£'+45°4')
— (i38", 369 + jf.o",oo555) sin(2/i'< — nt
— (87", 369 — t. o", 001 28) sin(3/i'^ — 2nt 4- i5",994sin(4rt'^ — 3/i«4- 4e'— 3e 4- 62°5i'i9")
— 5",358sin(2/if —n't +25— e' -h 16° i'27")
— i2",8i8sin(2/i'< — 3/ii + 2e'— 3e-f- 8°3o'i5")
+ (i66",96 — i.o",oo44) sin(3«« — 5/i'i + 3e — 5e'+ 55° i9'2i"-h f.43") + i3",o43sin(wi — 3n'^-h e — 3e'-h 58°3i'o") -h io",o sin(4«< — 5/i'i4-4e — 5e'+45°i6'32'').
Il sera plus exact, dans ces différents arguments, de substituer, au lieu de nt ■+- 1 et de n't -h £', les longitudes moyennes corrigées par les grandes inégalités de Jupiter et de Saturne, ainsi que nous l'avons proposé dans l'article LU, relativement à Saturne.
Considérons maintenant le rayon vecteur de Jupiter. Si l'on multiplie par am' les termes de —> déterminés dans les articles LIV etLV, que l'on réduise dans un seul ceux qui peuvent s'y réduire, et que l'on ne conserve que les termes dont l'effet est sensible sur le lieu géoicentrique de Jupiter, on trouvera
m' èr = — 0,00006201
-h 0,00067648 CCS (nt — n' t -h e — e')
— 0,00289562 cos2(«^ — n' t -h £ — e')
— 0,000301960 cos3(/ti — n' t -H e — e') r— 0,00007821 cos^{nt — n't-he — e') '—0,00092700 sin(2«i — Sn'^H- 26 — 3e'4- 270i4'io").
On aura ensuite, par l'article XXV, la partie de m! — qui dépend de l'angle "^nt — 5n't -f- 3e — 5e'; en réduisant en parties du rayon la moitié du coefficient du terme
-+■ i66",96 sini^nt — ^n't -h Se — 5e' -i- 55»i9'2i''+ f .43")
de l'expression de v, en la prenant avec le signe — et en changeant le sinus en cosinus, on aura ainsi
— o,oo2io568 cos(3n< — 5/i'fH- 3s — 5e' + 55°ïg'2i"-\- i.43")
pour la partie correspondante de m'Br. Il faut, pour une plus grande exactitude, substituer dans ces différents termes de l'expression de m' Sr, au lieu de nt -h e et de n't -+- 1\ les longitudes moyennes corrigées par les grandes inégalités.
On déterminera le demi grand axe a de l'orbite de Jupiter comme nous avons déterminé, dans l'article XL, le demi grand axe a' de l'orbite de Saturne, et l'on trouvera
11 ne s'agit plus que d'avoir les éléments elliptiques de l'orbite de
Jupiter. Le plus important à déterminer avec exactitude est son moyen
mouvement sidéral ; M. de Lambre a formé, pour cet objet, trente-deux
équations de condition, analogues à celles que j'ai données dans
l'article XLIII pour Saturne; elles sont relatives aux oppositions des
années
i586, iSgo, 1664, 1666, 1676, 1678, 1682, 1690,
Ces oppositions, combinées deux à deux et dont les seize premières sont respectivement éloignées des seize dernières, de cinq, de dix et
OEuvres de L. — \l. 3o
de quinze révolutions de Jupiter, m'ont fait voir qu'il faut diminuer de o",5i79 le moyen mouvement sidéral de cette planète, donné dans l'article XXIX; ainsi ce mouvement, dans l'intervalle de trois cent soixante-cinq jours, est à très peu près de 3o*'i9'4i"»5 ou de rogiSi", 5, et, comme il est donné par un grand nombre d'observations éloignées entre elles, il doit être regardé comme fort exact. En corrigeant ensuite les autres éléments de l'orbite elliptique de Jupiter, au moyen des oppositions modernes discutées avec le plus grand soin par M. de Lambre, je suis parvenu aux formules suivantes pour déterminer le lieu de Jupiter.
Formules pour déterminer le lieu de Jupiter.
On déterminera d'abord les valeurs de cp et de tp' comme dans l'article LUI; ensuite on déterminera l'angle vs par la formule
«étant toujours le nombre des années juliennes écoulées depuis 1700; la longitude de Jupiter, comptée sur son orbite, de l'équinoxe mobile,
sera
i.5o", 25 H- 9 — (19827", 3 + i.o", 5536) sin((p — cr)
+ ( 595",4-i-«'-o",o33 )sin2(9 — cet)
— 24", 8sin3(9 — cr) -\- i'',2 sin4(9 — tn)
— 82", 7 sin(<p — 9') + 2o4", 3 sin2(9 — 9') 4- i']",o sin3(9 — 9') -h 3",9sin4(9 —9')
+ ii",6 sin(9'+45°4')
— i38",4sin(2 9'— 9 + i3°33' 7"-i.i3",7)
— 87",4sin(39'— 29 + 6i°59'48"— f.2i",9) + i6",osin(49'— 39 +62°5i'i9")
— 5",4sin(29— 9'+ 16*' i'27")
— i2",8sin(29'— 39 + 8°3o'i5")
+ i67",osin(39 — 59'+ 55°i9'2 i"-+- i.43") + i3",osin( 9— 39'+58°3i' o") 4- io",osin(49 — 59'-i-45°i6'32").
Le rayon vecteur de Jupiter sera
5,208741 -+- (0,249916 -h t. 0, 000006982 ) COS( 9 — BJ)
— 0,006004 C0S2(9 — gt)
