MEMOIRE SUR LA THEORIE DE L'ANNEAU DE SATURNE

sans cesse leur position respective, leur action réciproque doit être extrêmement variable et elle ne doit point entrer en considération dans la recherche de leur figure permanente.

On conçoit que ces anneaux, sollicités par leur action mutuelle, par celle du Soleil et des satellites de Saturne, doivent osciller autour du centre de cette planète, et l'on pourrait croire que, obéissant à des forces différentes pour chacun d'eux, ils doivent cesser d'être dans un même plan. Mais, si l'on suppose que Saturne a un mouvement de rotation et que le plan de son équateur soit le même que celui de ses anneaux et de ses quatre premiers satellites, son action pourra toujours maintenir dans ce plan le système de ces différents corps; l'action du Soleil et du cinquième satellite ne fera que changer la position du plan de l'équateur de Saturne qui, dans ce mouvement, entraînera les anneaux et les orbes des quatre premiers satellites. Il serait trop long de démontrer ici ce résultat de la pesanteur universelle; je me contenterai d'observer que, selon toute apparence, les suppositions précédentes sont dans la nature et que c'est par un mécanisme semblable que les nœuds des satellites de Jupiter s'éloignent peu des nœuds de son équateur, et que l'orbite du premier satellite est constamment dans le plan de cet équateur.

MEMOIRE

SUR

MÉMOIRE

SUR

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1787; 1789.

Les éléments des orbites des planètes éprouvent, en vertu de l'action mutuelle de ces corps, des variations qui, en se développant avec une extrême lenteur, deviennent, par la suite des temps, très considérables. Déjà les observations les ont fait connaître; mais elles n'ont pu encore en fixer la valeur, parce que les observations anciennes sont trop imparfaites et les observations faites avec précision ne remontent guère au delà d'un siècle. La théorie de la pesanteur a répandu un grand jour sur cet objet important du système du monde; elle nous a fait connaître la cause et les lois de ces variations, et maintenant elle ne laisse plus à désirer qu'une détermination exacte des masses des planètes qui n'ont point de satellites. C'est une connaissance que l'on ne peut attendre que du temps qui, en rendant très sensibles les variations séculaires des orbites, fournira les données les plus précises pour y parvenir. Alors on pourra remonter par la pensée aux changements successifs qu'a éprouvés le système solaire et prévoir tous ceux que la suite des siècles doit présenter aux observateurs. Mais, ne

pouvant jouir de ces avantages réservés à la postérité, nous devons au moins tirer de l'analyse tous les résultats qu'elle peut nous offrir dans l'état actuel de nos connaissances. Il en est deux fort intéressants sur les variations séculaires des orbites et qui sont indépendants des masses des planètes : l'un est l'uniformité des moyens mouvements célestes, l'autre est la stabilité du système planétaire. Je suis parvenu autrefois, par approximation, au premier de ces résultats que M. de la Grange a depuis démontré en rigueur. Les inégalités des moyens mouvements de Jupiter et de Saturne y semblaient contraires, mais, ayant découvert la cause de ces inégalités, j'ai vu que, loin d'infirmer ce résultat, elles le confirment de la manière la plus frappante et qu'elles présentent en même temps une des plus fortes preuves du principe de la pesanteur universelle.

Quant à la stabilité du système planétaire, j'ai prouvé dans nos Mémoires pour l'année 1784 (') que par cela seul que les planètes se meuvent toutes dans le même sens et dans des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, les excentricités et les inclinaisons de ces orbites sont toujours renfermées dans d'étroites limites, et qu'ainsi le système du monde ne fait qu'osciller autour d'un état moyen dont il ne s'écarte jamais que d'une très petite quantité. Comme ce résultat est d'une grande importance dans l'Astronomie physique, je vais le reprendre ici et le développer avec plus d'étendue que je ne l'ai fait dans les Mémoires cités,

Soient mo, m^y ma, ... les masses des planètes, celle du Soleil étant prise pour unité; soient /lo^, /ï,/, 7^2^» ••• leurs moyens mouvements, le temps étant représenté par t; soient encore «„» ^ti» <^2» ••• leurs moyennes distances au Soleil; ^o, e<, e^, ... les rapports des excentricités de leurs orbites à leurs demi grands axes; vs^y cr,, cja» ••• les longitudes de leurs aphélies; Oo, 6,, 63, ... les tangentes des inclinai-

(•) Voir, plus haut, p. 49 et suivantes.

sons de leurs orbites sur un plan fixe qui leur sbit peu incliné; !„, !,, L, ... les longitudes de leurs nœuds ascendants sur ce plan. Soient

eoSinGTo = />0. eoCOSGTo=:7o>

?o sin lo = Ao, Oq cos Io = lo, ?isinl, =/j,, 0,cosl, =/|,

Supposons ensuite qu'en développant la fonction

(a* — 2a,- rt, cosV -I- a*) *,

suivant les cosinus de l'angle V et de ses multiples, les deux premiers termes de la série soient

i et r étant deux nombres entiers positifs, différents l'un de l'autre et susceptibles de toutes les valeurs depuis zéro jusqu'au nombre des planètes, que nous désignerons par n. Enfin soit

m,. Hi

—y—a}a,.{ai,a,.)i={i,r),

<^/[(«j- + «r) («t«r)i— ^aia,.{aiy a^)] = i, i

Ces deux fonctions (i, r) et | ï, r | sont telles que l'on a

ii\fâi{i, r) = mr\fâ'r{r, i),

( rrij \Jai \ i,

En effet, il est visible que

m,.v^pW

et

d'où il suit que l'on a

nii{i,r) m,.{r,i)

fiirlr, i

ai Hi OEuvren de L. — XI.

afflf.

aiHi

mais on a, lorsque les planètes tournent dans le même sens,

\jà\ \Jaf.

en substituant ces valeurs de ni et de n^ dans les équations précédentes, on formera les équations (A). Si les deux planètes mi et m,. tournent dans des sens contraires, n^ sera d'un signe contraire à /z,; mais les équations (A) subsisteront toujours, pourvu que l'on donne aux radicaux sfâi et sjur les signes de rii et de n^. Cela posé, les quantités/?o» ^o»/^M ^1» ••• seront déterminées par les équations différentielles

\~dF~ qil{i,r) — lq,.\i, r

['^j^-p,l{i,r)+lp,\T77\.

La caractéristique S des intégrales finies se rapporte à la variable r, et ces intégrales doivent être prises depuis r = o jusqu'à r = /? — i ; mais, comme i doit être différent de r, il faut rejeter des intégrales les termes dans lesquels î = r, ce qui revient à supposer (ï, 0 = o, I i, i I = o.

On déterminera pareillement les quantités

au moyen des équations différentielles

équations qui rentrent évidemment dans les équations (B), en chan-

geant dans celles-ci \i, r \ dans (i, r). ^Voir, pour la démonstration de

ces différentes équations, nos Mémoires ^onv l'année 1772 (').]

(' ) ORuvres de Laplace, T. VIII, p. 462.

in.

Les équations (B) et(C) présentent des rapports très remarquables que nous allons développer. Si l'on multiplie la première des équations (B) par yD/, et qu'on l'ajoute à la seconde multipliée par y,, on aura

En multipliant les deux membres de cette équation par nii^jai et en les intégrant par rapport au nombre variable i, on aura

l'mi^ailpi-^-hÇi-^j =l'l{q,pr — piqr)mi\/ai[i, r\,

S' étant la caractéristique des intégrales finies relatives à i. Si l'on prend ces intégrales depuis i=o jusqu'à i = n — i, dans la somme des termes que renferme le second membre de cette équation, un terme quelconque

i9iPr — PiÇr) rn-i \fâi \ ^ '' I

sera détruit par le terme

{(JrPi — Prqi)mv\far\ry i

qui, affecté d'un signe contraire, lui est égal en Vertu de la seconde des équations (A) de l'article précédent. Ce second membre se réduira donc à zéro, ce qui donne

et, en intégrant par rapport au temps /,

1' mi\Jai{pJ-\- qj) =const., ou, à cause de é\=p]-\- q],

2! niisfâie} =z const.,

équations dans lesquelles on doit observer de donner au radical y^a, le même signe qu'à w,-.

Les équations (G) de Tarticle précédent donneront, par la même

analyse,

l' nii ^ai{h}-\- IJ) = consl.

OU

2' m,- \Jai 9f =3 const.

Les équations (G) offrent encore les rapports suivants : si l'on multiplie la première par misjai et qu'on l'intègre relativement à i, on aura

2' nii si ai -^ —:L'1{1,.— h) nii \Jai{i, r).

Dans la double intégrale du second membre de cette équation, un terme quelconque (l^ — li)mi\Jai(i\ r) est détruit par le terme (li— 1^)771,. \Jar(r,i), qui, avec un signe contraire, lui est égal, en vertu de l'équation

mi s/ ai ( i, r ) = m,. \/a,. ( /■, i) ; on aura donc

„, /— dhi l'mi^ai~ = o

et, en intégrant par rapport à t, on aura

U m,\Jaihi-=. const.

On aura pareillement

li'mi\/^ili=z const.

Je suis parvenu à ces différentes équations dans nos Mémoires de 1784 (0' ^" ^^^ déduisant d'équations plus générales, que le principe des aires donne entre les grands axes, les excentricités et les inclinaisons des orbites, et qui sont indépendantes de la petitesse des excentricités et des inclinaisons. J'ai cru que l'on verrait avec plaisir ces mêmes équations résulter directement des équations différentielles qui déterminent les variations séculaires des orbites.

(1) Folr plus liaiil, p. 91 el gS.

S'il n'y a que deux planètes m^ et m^, les trois équations relatives aux nœuds et aux inclinaisons des orbites deviendront

const. := /Wo y/a^ ^0 +w,y/ai/i.

En carrant les deux dernières équations et en retranchant de leur somme la première, multipliée parle facteur

qui est constant, puisque les demi grands axes a^ et a^ sont invariables, on aura

const.= /Wo/Miv/â^v/«ï[(^i— ^o)'+ {h~ KY]-

11 est facile de s'assurer, par la Trigonométrie sphérique, que le cosinus de l'inclinaison respective des deux orbites est

1 + Ao^i + ^oA

Si l'on néglige les produits de quatre dimensions de /^o, h^, /„, /, , ce

cosinus devient

^-\i{h,-KY+{l,-l,Y].

En retranchant son carré de l'unité, on trouvera le carré du sinus de l'inclinaison respective des orbites égal à (A, — h^y -\- {l^ — l^y. Cette quantité est constante par ce qui précède; ainsi, en vertu de l'action mutuelle des deux planètes, l'inclinaison respective de leurs orbites reste toujours la même.

Ce théorème a généralement lieu pour deux orbites circulaires, quelle que soit leur inclinaison respective; pour le faire voir, je

reprends les trois équations

consl = rn,\Ja,{x — el) ^ m^s/a^ji — e\) ^ mo/^ov/ao(l — g^) mji,^a,{i — e\)

COllSl. — , h , . >

que j'ai trouvées dans les Mémoires cités de 1784 (') et qui ont lieu, quelles que soient les excentricités et les inclinaisons des orbites. Si l'on ajoute ensemble les carrés des seconds membres de ces équations, on aura

const. = mlaQ{i — el) + m\a^{\ — e\)

mais «0 et a, sont invariables, et dans la supposition des orbites circulaires e^ et e^ sont nuls ; on aura donc, dans ce cas,

4^lM,±id:=const.,

et, comme le premier membre de cette équation est le cosinus de l'inclinaison respective des deux orbites, il en résulte que cette inclinaison est constante.

Reprenons maintenant les équations (B) de l'article II. Si l'on y suppose successivement « = o, « = i , ? = 2, . . . , i = n — \', on aura in équations différentielles linéaires du premier ordre, dont les intégrales doivent par conséquent renfermer in constantes arbitraires.

Supposons

/>,-=MiSin(/^-+-g), 7,— M,-cos(/^ + ê).

En substituant ces valeurs dans les équations (B), on aura /M, = M,.2(/, /Q-IM.RTT].

(1) Voir plus haut, p. 69 et 70.

Au moyen des n équations que l'on formera par les suppositions de ï = o, ï = i, ..., ^=r/^ — I, on pourra éliminer les constantes Mo, M,, ..., et l'on aura une équation en/, du degré n\ de plus, toutes les constantes M^, M,, ... seront données au moyen de l'une d'elles, telle que Mo, qui restera arbitraire.

Soient/,/', ... les Ai racines de l'équation en/, on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires,

pi— M/ sin {ft -i- 6) + ÎV/ sin(/^ + 6') + . . . , qi — M/ cos (/f + g ) 4- N,- cos (/ ; -+- S' ) + • • • •

Ces valeurs de pi et de qi seront complètes, puisqu'elles renfermeront les in arbitraires M„, No, . . . , ê, ê'

Maintenant, si les racines/, /', ... sont réelles et inégales, les valeurs de/?, et de qi resteront toujours fort petites, et, comme on a

les excentricités des orbites seront toujours peu considérables. Mais il n'en est pas de même si quelques-unes de ces racines sont égales ou imaginaires, car alors les sinus et les cosinus se changent en arcs de cercle ou en exponentielles. Les excentricités des orbites cesseront donc, après un long intervalle de temps, d'être fort petites, ce qui, en changeant la constitution du système solaire, détruirait sa stabilité. Par conséquent, il importe de s'assurer que les valeurs de/ne peuvent être ni égales ni imaginaires. Cette recherche paraît supposer la connaissance des masses des planètes qui entrent dans les coefficients de l'équation en/; mais il est très remarquable que, quelles que soient ces masses, pourvu qu'elles se meuvent toutes dans le même sens, l'équation en/ne peut avoir que des racines réelles et inégales.

Pour le démontrer de la manière la plus générale, nous observerons que, dans le cas des racines imaginaires, la valeur de/?, contient des termes de la forme c^'P,, c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité et P, étant une quantité réelle, puisque/?, qui est égal à e,sinCT, est nécessairement réel. La valeur de ^, renferme

un terme correspondant de la forme c^^Q/, Q/ étant encore une quantité réelle; la fonction /)J+ ^J renfermera donc le terme c^^'CPj-h-Q]), et par conséquent le premier membre de l'équation

lé' misjai{p1 -+- ql) = const.

renfermera le terme

Si l'on suppose que l'exponentielle c^' soit la plus grande de toutes celles que renferment les valeurs de pi et de ^/, il est clair que le terme précédent ne peut être détruit par aucun autre dans le premier membre de cette équation, d'où il suit que ce membre ne peut se réduire à une constante, à moins que l'on n'ait

or cela est impossible lorsque les quantités m^ s/a^,, m^ sja^, . . . sont toutes de même signe ou, ce qui revient au même, lorsque toutes les planètes tournent dans le même sens; les valeurs de/?, et de qi ne peuvent donc point renfermer d'exponentielles, et l'équation en /ne peut avoir que des racines réelles dans le cas de la nature.

Voyons présentement si cette équation peut renfermer des racines égales. Dans ce cas, la valeur de/?j contient des termes de la forme t^Vi, g étant un nombre entier positif et P, étant une quantité réelle. La valeur de qi contient un terme correspondant de la forme /^Qj, Q^ étant encore une quantité réelle; la fonction /?J+ ^? renfermera donc le terme t'^^{y\-\- QJ), et par conséquent le premier membre de

l'équation

U mi\Jai{p] -f- q}) — const.

renfermera le terme

Si l'on suppose que i^ soit la plus haute puissance de t qui se trouve dans les valeurs de pi et de qi, le terme précédent ne pourra être détruit par aucun autre dans le premier membre de cette équation;

ainsi, pour que ce membre soit égal à une constante, il faut que l'on ait

ce qui est impossible lorsque les planètes tournent dans le même sens ; ^doit donc être nul et l'équation en /ne peut avoir que des racines réelles et inégales. Les valeurs de /?/ et de q^ ne renferment donc que des quantités périodiques qui sont assujetties à l'équation

l'mi\/ai{pj-h qj) =z const.,

en sorte que, dans le premier membre de cette équation, les coefficients des mêmes cosinus doivent se détruire mutuellement.

Ce que nous venons de dire sur les équations (B) s'applique également aux équations (C); les valeurs de A/ et de /, ne renferment que des quantités périodiques assujetties à l'équation

I,'mi\fai{/iJ-ir IJ) — consl.

Ces quantités sont encore assujetties aux deux équations suivantes

^'mi\/a]hi= const., ^ niisjcïili := const.

Si l'on suppose, dans les équations (C),

hi— Mj sin (// 4-6), /,= M,- cos {ft -i- 6), on aura

ce qui, en faisant successivement i =: o, ? =: i, .. ., / = /i — i, donnera n équations, d'où l'on tirera, par l'élimination, une fonction en /du degré n. Mais on peut observer qu'une de ses racines sera toujours nulle; car, si l'on suppose Mo = M, = Mo = .. ., l'équation générale en M/ sera satisfaite, quel que soit i, pourvu que l'on fasse/=o; l'équation en/s'abaissera donc au degré n — \,

L'analyse précédente ne peut s'appliquer qu'à un système de planètes qui se meuvent toutes dans le même sens, comme cela a lieu dans

OEuvres de !.. — XI. 89

notre système planétaire ; dans ce cas, on voit que le système est stable et ne s'éloigne jamais que très peu d'un état moyen autour duquel il oscille avec une extrême lenteur. Mais cette propriété remarquable convient-elle également à un système de planètes qui se meuvent en différents sens? C'est ce qu'il serait très difficile de déterminer. Comme cette recherche n'est d'aucune utilité dans l'Astronomie, nous nous dispenserons de nous en occuper.

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