SUR LA

Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1787; 1789.

L'anneau de Saturne est un des phénomènes les plus singuliers du système du monde. Huygens donna le premier la véritable explication de ses apparences, en lui supposant la figure d'une couronne circulaire d'une très mince épaisseur, d'une largeur égale environ au tiers du diamètre de Saturne, et dont le centre est le même que celui de cette planète. M. de Cassini observa ensuite que l'anneau, dans sa largeur, est divisé en deux parties presque égales par une bande obscure d'une courbure semblable à celle de l'anneau. Enfin, M. Short, avec un fort télescope, aperçut plusieurs bandes concentriques à sa circonférence. Ces observations ne permettent pas de douter que l'anneau de Saturne ne soit formé de plusieurs anneaux situés à peu près dans le même plan; elles donnent lieu de croire que de plus forts télescopes y feront apercevoir un plus grand nombre d'anneaux.

La théorie de la pesanteur universelle, qui s'accorde si bien avec les phénomènes que présentent les mouvements et les figures des corps célestes, doit également satisfaire à ceux que nous offre l'anneau de Saturne; mais jusqu'ici personne n'a entrepris de déterminer sa figure d'après cette théorie, car l'explication que M. de Maupertuis a donnée de la formation des anneaux, dans son discours sur la figure des astres, n'étant pas fondée sur la loi de la gravitation mutuelle de

toutes les parties de la matière, mais sur la supposition d'une tendance des molécules des anneaux vers plusieurs centres d'attraction, elle ne doit être regardée que comme une hypothèse ingénieuse, propre tout au plus à faire entrevoir la possibilité des anneaux dans le cas de la nature. En appliquant à cet objet les recherches que j'ai données dans nos Mémoires de 1782 ('), sur les attractions des sphéroïdes et sur la figure des planètes, je suis parvenu aux résultats suivants, que je ne présente que comme un essai d'une théorie de l'anneau de Saturne, qui pourra être perfectionnée lorsque de nouvelles observations faites avec de grands télescopes auront fait connaître le nombre et les dimensions des anneaux dont il paraît formé.

Je supposerai, comme les géomètres l'ont fait dans leurs recherches sur la figure des astres, qu'une couche infiniment mince de fluide répandue sur la surface de l'anneau y resterait en équilibre, en vertu des forces dont elle serait animée. Cette hypothèse est la seule admissible; il est, en effet, contre toute vraisemblance de supposer que l'anneau ne se soutient autour de Saturne que par adhérence de ses molécules, car alors les parties voisines de la planète, sollicitées par l'action toujours renaissante de la pesanteur, se seraient, à la longue, détachées de l'anneau qui, par une dégradation insensible, aurait fini par se détruire ainsi que tous les ouvrages de la nature qui n'ont point eu les forces suffisantes pour résister à l'action des causes étrangères. C'est par les conditions de l'équilibre de ce fluide que la figure de l'anneau doit être déterminée; pour cela, je vais rappeler quelques-uns des résultats généraux sur les attractions des sphéroïdes que j'ai donnés dans les Mémoires cités.

Considérons l'attraction d'un sphéroïde sur un point quelconque m. Soient x, y, z les coordonnées de ce point; soit dM une molécule du sphéroïde; x' , y', z' les coordonnées de cette molécule; si l'on

( ' ) Œuvres de Laplace, t. X.

nomme p sa densité, p étant une fonction de x\ y', z' indépendante

de X, y et z, on aura

rfM = p dx' dy' dz'.

L'action de </M sur m, décomposée parallèlement à l'axe des x et dirigée vers leur origine, sera

p ( a? — x') dx' dy' dz'

l^a:-x'Y-\-{y-y'y+{z-z'r-Y et par conséquent elle sera égale à

d p dx' dy' dz'

en nommant donc V l'intégrale

p dx' dy' dz'

étendue à la masse entière du sphéroïde, on aura — — pour l'action entière du sphéroïde sur le point m, décomposée parallèlement à l'axe des X et dirigée vers leur origine.

V est la somme des molécules du sphéroïde divisées par leurs distances respectives au point attiré m; pour avoir l'attraction du sphéroïde sur ce point parallèlement à une droite quelconque, il faut donc considérer V comme une fonction de trois coordonnées rectangles dont l'une soit parallèle à cette droite, et différentier cette fonction relativement à cette coordonnée : le coefficient de la différentielle de la coordonnée, pris avec un signe contraire, sera la valeur de l'attraction du sphéroïde décomposée parallèlement à la droite donnée et dirigée vers l'origine de la coordonnée qui lui est parallèle.

Si l'on représente par S la fonction

on aura

y=:fëpdx'dy'dz'.

L'intégration n'étant relative qu'aux variables x' , y', z' , il est clair que l'on aura

Mais il est facile de s'assurer, par la différentiation, que l'on a

dcc^ dy^ dz^ '

on aura donc pareillement

Cette équation, rapportée à d'autres coordonnées, est la base de la théorie que j'ai présentée dans nos Mémoires de 1782 sur les attractions des sphéroïdes et sur la figure des planètes.

Lorsque le sphéroïde est un solide de révolution, l'équation (i) peut se réduire à deux variables. En effet, si l'on suppose

,r =z \J x^ -^ you, ce qui revient au même,

X — sjy- — y'

et que l'on substitue cette valeur de x dans V, il deviendra fonction de r, j ets; mais, si l'on conçoit que l'axe des z est l'axe même de révolution du sphéroïde, il est clair, par la nature du solide de révolution, que la distance r du point attiré à l'axe des z restant la même, ainsi que sa distance y/r- -h z- à l'origine de z, la valeur de V doit rester la même; V doit donc alors être fonction de r et de ^ sans y, et il ne renferme les variables x et y qu'autant qu'elles sont contenues dans r. On aura donc

d'où l'on tire

dY âr

ôx

àx

dY dr

d^Y dr'

On aura pareillement

d'Y __^ àV y^ d»»y ày* r^ dr r* dr* '

L'équation (i) deviendra donc

I dY d^Y d'Y r or âr^ az*

Si le sphéroïde est une sphère ou une couche sphérique qui soit partout d'une égale épaisseur, l'équation (2) pourra se transformer dans une équation aux différences ordinaires entre deux variables, car en faisant

ce qui donne

et en substituant cette valeur dans V qui, relativement aux sphéroïdes de révolution, est fonction de r et de z, il deviendra fonction de ret de r'. Mais, relativement à une sphère ou à une couche sphérique, si l'on fixe l'origine des coordonnées à son centre, la valeur de V sera la même, quel que soit r, pourvu que la distance r' du point attiré au centre de la sphère soit la même; V sera donc alors fonction de r'seul, et il ne renfermera les variables r et ^ qu'autant qu'elles sont renfermées dans r'; on aura ainsi

r dY

dr ~

" r' dr''

z^ dY r« d^Y

or^

- ,./3 ^r' ^ r'* dr'*

r* dY z* d*Y

dz^ ~

- ,J3 f)r' "^ ,.'2 dr'*

et l'équation (2) deviendra

^dY d^ °~ r' dr' "^ dr"

En intégrant, on aura

F et H étant deux constantes arbitraires.

Supposons d'abord le point attiré m extérieur au sphéroïde; il est clair que, en supposant r' infini, V doit devenir nul, ce qui donne

H " G. Ainsi, relativement aux points extérieurs, l'expression de V se

réduit à -; mais, dans la supposition de r' infini, V est évidemment

égal à la masse entière du sphéroïde, divisée par la distance r' de son centre au point m. En nommant donc M cette masse, on aura F := M, et, par conséquent,

La différentielle de V, divisée par — <?/, exprime, comme on l'a vu, l'attraction du sphéroïde dirigée vers l'origine de r' \ on aura donc —^ pour cette attraction, d'où il suit que l'action d'une sphère ou d'une couche sphérique sur un point extérieur est égale à sa masse divisée par le carré de la distance de son centre à ce point.

Si le point m est placé dans l'intérieur de la couche sphérique, la constante F est nulle, parce que V ne devient point infini lorsque r'= o ; on a donc alors V = F, et par conséquent la différentielle de V prise par rapport à une droite quelconque est zéro, d'où il suit qu'un point placé dans l'intérieur d'une couche sphérique est également attiré de toutes parts. Ces résultats sont bien connus des géomètres; mais on employait, pour y parvenir, deux méthodes différentes, suivant la position du point attiré à l'extérieur ou dans l'intérieur de la couche sphérique, au lieu que l'analyse précédente renferme ces deux cas dans la même expression de V, en déterminant convenablement ses constantes arbitraires.

On peut imaginer l'anneau de Saturne produit par la révolution d'une figure fermée telle que l'ellipse, mue perpendiculairement à

son plan, autour du centre de Saturne, placé sur le prolongement de l'axe de cette figure. Nous supposerons que le rayon r est Taxe même de la figure génératrice, prolongé jusqu'à Saturne, et qu'il la partage en deux parties égales et semblables; nous supposerons encore que l'axe des z est l'axe de révolution du sphéroïde, et que l'origine de r et de z est au centre de Saturne ; enfin, nous supposerons que l'anneau a un nrouvement de rotation autour de l'axe des s, et que la force centrifuge due à ce mouvement est g, à une distance de l'axe de rotation prise pour unité de distance.

Cela posé, si l'on nomme p la force avec laquelle l'anneau attire les points de la circonférence la plus intérieure ; r le rayon de cette circonférence, et S la masse de Saturne; la force avec laquelle les points

de cette circonférence tendent vers le centre de cette planète sera

-i — P — gr; ainsi, pour qu'ils ne se détachent point de l'anneau sup-

S posé fluide, il faut que l'on ait /> > -^^ — gr.

Si l'on nomme pareillement/)' la force avec laquelle l'anneau attire les points de sa circonférence la plus extérieure, et / le rayon de cette

circonférence, gr^—p' j^ sera la force avec laquelle ils tendent à se

détacher de l'anneau; ainsi, pour qu'ils soient retenus à sa surface, on

g doit avoir /?'> ^t' j-^- On aura donc

Soient q la pesanteur à la surface de Saturne et R le rayon de son g globe, on aura q = r-^, partant

La masse de l'anneau est considérablement moindre que celle de Saturne; d'ailleurs, une sphère doit plus fortement agir sur un corps placé à sa surface qu'un solide de même masse très aplati. En vertu de ces deux considérations, y est beaucoup plus grand que/>et/>', d'où

ORuvres de L. — XI. 36

il suit que ^5-7^ — doit être un très petit coefficient, ce qui suppose que r diffère très peu de /. Or cela n'aurait point lieu relativement à l'anneau de Saturne s'il formait une masse continue, car les observations donnent r = |R et r' = ^R, d'où l'on tire

^:^-pi — =0,228805,

quantité beaucoup trop grande pour pouvoir être admise ; ainsi, quand même les observations ne nous auraient pas fait connaître la division de l'anneau de Saturne dans plusieurs anneaux concentriques, la théorie de la pesanteur eût suffi pour nous en convaincre. Nous considérerons par conséquent cet anneau comme étant formé de plusieurs anneaux d'une largeur peu considérable relativement à leurs distances au centre de Saturne, et, d'après cette hypothèse, nous allons déterminer leur figure.

Reprenons l'équation (2) de l'article II. Dans le cas d'un sphéroïde très aplati, z est très petit relativement à r; de plus, si l'on suppose la figure génératrice divisée en deux parties égales et semblables par le rayon r, la valeur de V est la même pour deux points semblablement placés au-dessus et au-dessous du plan des x et des y; elle ne change donc point par le signe de s, d'où il suit qu'elle est fonction de r et de s^. En la réduisant en série par rapport aux puissances dez, et en négligeant les quatrièmes puissances de cette variable, on aura

A et B étant des fonctions de r. Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (2) de l'article II, la comparaison des termes indépendants de s donnera

2r dr\ dr J'

partant

^ . z^ d / dA \

2r dr\ dr J

Telle est l'expression générale de V relative aux sphéroïdes très aplatis. Pour l'appliquer aux anneaux, il faut supposer leur largeur fort considérable relativement à leur épaisseur, car en nommant / la valeur moyenne de r, V sera fonction de / — r et de z; ainsi, pour que A -f- Bz- soit la valeur approchée de V, il est nécessaire que r- soit fort petit par rapport k l — r. Gela posé, gr étant la force centrifuge du mouvement de rotation du point m, r^gr^ sera l'intégrale du produit de

S cette force par l'élément de sa direction; est la somme de

toutes les molécules de Saturne, divisées par leurs distances respectives au point m\ cette somme est l'intégrale du produit des forces attractives de ces molécules par les éléments de leurs directions, parce que, relativement à chaque molécule, cette intégrale est la molécule même divisée par sa distance au point attiré. V est pareillement l'intégrale du produit des forces attractives des molécules de l'anneau par les éléments de leurs directions. Maintenant, si le point attiré /a/ est à la surface de l'anneau, la condition de l'équilibre exige que l'intégrale de la somme de toutes les forces dont ce point est animé, multipliées par les éléments de leurs directions, soit égale à une constante;

on aura donc

S const. — ^ gr^ H- V -F = •

Z étant supposé très petit par rapport à r, on a

S S Ss'

\jr^-\-

l'équation précédente deviendra donc, en y substituant pour V sa valeur approchée,

. A 1 , S ^2 rs d ( dkw

Soit r=l—u,u étant très petit par rapport à /, et nommons Q ce que devient A lorsqu'on y change r dans /; on aura, en rejetant les puis-

sances de u supérieures au carré,

COnSt. z=:Q-^{gl-^-^-u[gl-j^+-^J

""^^-^T-^ dl^ I 2

i yi- '^ di\ di)\'

Si l'on détermine / de manière que le coefficient de u soit nul, on aura

t^Q S ~dï-l^~ ^ '

et si l'on fait, pour abréger,

I S i(PQ,

P^ 2 dl

l'équation précédente entre w et 2 deviendra

k étant une constante. C'est l'équation de la figure génératrice de l'anneau, et il en résulte que, dans les suppositions précédentes, cette figure est une ellipse fort aplatie. Ce résultat nous conduit à examiner plus particulièrement les anneaux formés par la révolution d'une ellipse mue perpendiculairement à son plan, autour du centre de Saturne, placé sur le prolongement de son axe.

L'anneau étant supposé d'une très petite largeur, relativement à sa distance au centre de Saturne, son attraction sur un point quelconque m de sa surface est à fort peu près égale à celle qu'exercerait, sur un point semblablement placé à son équateur, un ellipsoïde dont le grand axe serait infini et dont l'équateur serait égal à l'ellipse génératrice de l'anneau. En effet, si l'on conçoit que l'ellipsoïde et l'anneau se pénètrent de manière que la section génératrice passant par le point m et l'équateur de l'ellipsoïde se confondent, il est visible que ces deux solides se confondront sensiblement jusqu'à une distance d'autant plus considérable que l'anneau sera plus éloigné de Saturne,

en sorte qu'aux points où leur séparation commencera à être sensible l'attraction qu'exercent sur le point m leurs parties situées à celte distance et au delà sera assez petite pour être né<,'lij,Hic. On peut d'ailleurs s'assurer facilement de l'égalité approchée des attractions de ces deux solides sur le point m, en cherchant directement ces attractions par les méthodes connues.

Pour déterminer maintenant l'attraction de l'ellipsoïde, nous observerons que son équation, rapportée à trois coordonnées rectangles M, y y z parallèles à ses trois axes et qui ont leur origine à son centre, est

ï et/2 étant positifs. Si l'on suppose que l'axe des u soit sur le rayon mené du centre de Saturne à celui de l'ellipse génératrice de l'anneau, ellipse qui forme l'équateur de l'ellipsoïde, k sera le demi grand axe de l'ellipse, et par conséquent la demi-largeur de l'anneau; si l'on

suppose ensuite que l'axe des z soit dans le plan de cette ellipse, -y=

sera son demi petit axe, et par conséquent la demi-épaisseur de l'anneau; et il est clair que, si l'axe des y est infini, i doit être infiniment petit ou nul.

Soient B et G les attractions du sphéroïde elliptique, parallèlement aux axes des u et des 2, sur le point m placé à son équateur, et déter-^ miné par les coordonnées u ^i z, ces attractions étant dirigées vers l'origine des coordonnées; on aura, en prenant la densité de l'ellipsoïde pour unité des densités,

t'dt

l^dt

Tc étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et les intégrales étant prises depuis i = o jusqu'à /= i [voir sur cela nos Mémoires pour

l'annéei'j^2, page 121 (')]. Dans la supposition de i nui, on trouvera, en faisant sin = X,

ces quantités seront donc les attractions de l'anneau sur le point m, parallèlement aux axes des u et des z. En multipliant ces attractions respectivement par les éléments — du et — dz de leurs directions, en ajoutant ensuite les intégrales de ces produits, on aura

pour l'intégrale du produit des forces attractives de l'anneau, multipliées par les éléments de leurs directions, sur un point placé à sa surface ; il faut donc substituer cette quantité au lieu de V dans l'équation

const. = ^^r^ + V -4-

trouvée dans l'article précédent. Si l'on suppose, de plus, dans cette équation, r = l — u, on aura, en négligeant les puissances et les produits de w et de s de plus de deux dimensions,

c'est l'équation de l'ellipse génératrice. Si, dans l'équation de l'ellipsoïde

on suppose j = o, on aura encore, pour l'équation de l'ellipse génératrice,

En la comparant avec la précédente, on aura les deux suivantes

/jnl S ^ S i + l'^l^

( * ) Œuvres de Laplace, T. X, p. 349.

La première de ces équations détermine le mouvement de rotation de l'anneau, et la seconde détermine l'ellipticité de sa section génératrice.

S Si l'on faite=7— ^> la seconde des équations précédentes donnera

d'où l'on voit d'abord que X est plus grand que l'unité, puisque e est nécessairement positif. L'axe de l'ellipse génératrice dirigé vers Saturne est égal à ik, et il mesure la largeur de l'anneau; le second axe,

qui lui est perpendiculaire, est égal à -^-^ et il mesure l'épaisseur de l'anneau; cette épaisseur est donc moindre que la largeur.

On voit ensuite que e est nul lorsque \ = i ai lorsque X = co, d'où il suit qu'à la même valeur de e répondent deux valeurs différentes de X; mais on peut choisir la plus grande qui donne toujours un anneau plus aplati. La valeur de e est susceptible d'un maximum qui répond à fort peu près à X = 2,6; dans ce cas, e = o,o543 : cette valeur est donc la plus grande dont e soit susceptible. Il en résulte que la densité moyenne de Saturne ne surpasse pas celle des anneaux voisins de sa surface. En effet, si l'on nomme R le rayon du globe de Saturne, et p sa moyenne densité, celle de l'anneau étant prise pour unité, on aura

partant

pR»

La distance de Saturne aux points de son anneau les plus voisins de sa surface est, suivant les observations, égale à |R, et la largeur de la partie intérieure de l'anneau n'excède pas |R; ainsi, relativement aux anneaux les plus voisins de Saturne, / ne surpasse pas ^R. En donnant à / cette valeur et à p sa valeur dans le cas du maximum, on

trouve p = i,oo38; c'est l'expression de la densité de Saturne dans le cas extrême, et il en résulte que, selon toute apparence, la densité des anneaux les plus proches de Saturne surpasse celle de cette planète.

Supposons que la largeur de la partie intérieure de l'anneau ne soit que le quart du rayon de Saturne, ce qui peut être admis sans faire violence aux observations; / sera relativement à cet anneau intérieur égal à f|R. Le demi grand axe -de l'ellipse génératrice sera ^R, et par

conséquent il sera moindre que —7, ce qui suffit pour l'exactitude des

approximations précédentes. Supposons ensuite X = io, l'épaisseur de l'anneau sera ~ du diamètre de Saturne, ce qui peut encore être admis. Dans ces suppositions, la densité de l'anneau intérieur serait à celle de Saturne comme 21 3 est à 100; sa masse serait environ ^ de celle de cette planète, ce qui n'offre rien d'impossible. Au reste, des observations faites avec de très forts télescopes nous donneront de nouvelles lumières sur cet objet; elles feront peut être apercevoir plusieurs anneaux concentriques dans la partie intérieure de l'anneau de Saturne, qui nous a paru jusqu'ici former une masse continue. En la supposant formée de deux anneaux d'égale largeur et d'une épaisseur égale à Y^ du diamètre de Saturne, les approximations précédentes seraient plus exactes, la densité de chaque anneau se rapprocherait davantage de celle de Saturne, et la somme de leurs masses serait plus petite. Quant à la partie extérieure de l'anneau, comme elle paraît formée de plusieurs anneaux concentriques, on peut satisfaire à ses apparences d'une infinité de manières.

Il est facile de déterminer la durée de la rotation de chaque anneau, d'après la distance /du centre de sa section génératrice au centre de Saturne, car la force centrifuge g due à son mouvement de rotation

étant égale à ^j il est clair que ce mouvement est le même que celui

d'un satellite placé à la distance / du centre de Saturne; on peut en conclure que la durée de la rotation de la partie intérieure de l'anneau est environ dix heures.

La théorie précédente subsisterait encore dans le cas où l'ellipse génératrice varierait de grandeur et de position dans toute l'étendue de la circonférence génératrice de l'anneau; il suffit qu'à chaque point on puisse confondre l'attraction de l'anneau avec celle d'un ellipsoïde dont le grand axe serait infini, et dont l'équateur serait le même que la section génératrice qui passe par le point donné. L'anneau peut donc être supposé d'une largeur inégale dans ses différentes parties; on peut même lui supposer une double courbure, pourvu que toutes ces variations de grandeur et de position ne soient sensibles qu'à des distances d'un point quelconque donné, beaucoup plus grandes que le diamètre de la section génératrice passant par ce point. Ces inégalités sont indiquées par les apparitions et les disparitions de l'anneau de Saturne, dans lesquelles les deux bras de l'anneau ont présenté des phénomènes différents. J'ajoute que ces inégalités sont nécessaires pour maintenir l'anneau en équilibre autour de Saturne, car, s'il était parfaitement semblable dans toutes ses parties, son équilibre serait troublé par la force la plus légère, telle que l'attraction d'un satellite, et l'anneau finirait par se précipiter sur la surface de Saturne.

Pour le faire voir, imaginons que l'anneau soit une ligne circulaire dont r soit le rayon, et dont le centre soit à la distance z du centre de cette planète; il est clair que la résultante de l'attraction de Salurui^ sur cette circonférence sera dirigée suivant la droite a, qui joint les deux centres. Si l'on nomme vs l'angle que forme le yavon, r de Tau-* neau avec le prolongement de z.

sera l'attraction de Saturne sur l'élément rda de Panneau, décomposée parallèlement à s; d'où il suit que l'attraction de cette planète

OEiivres </e /,, -» XJ, o']

sur la circonférence entière de l'anneau sera

r f/cT(sH- /-COSCJ)

Sr / jj

l'intégrale étant prise depuis cr = o jusqu'à cy = 21:. Nommons A cette attraction; le centre de l'anneau sera donc mù comme si, toute sa masse étant réunie à ce point, il était sollicité par la force A dirigée vers le centre de Saturne.

On peut mettre l'expression de A sous la forme suivante

^^ ' (r2+2/-^C0SCT-h52)2

la différentielle étant prise relativement as. Si l'on introduit au lieu de coscj sa valeur en exponentielles imaginaires, et que l'on désigne par c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on aura

soit

on aura

Si l'on multiplie ces deux séries l'une par l'autre et que l'on intègre leur produit multiplié par drs, depuis ts = 0 jusqu'à cj = 2t., on aura, en observant que

lorsque i est un nombre entier.

(/•2-| 2/-5C0SCJ -\- Z^)

d'où l'on tire

Cette quantité est négative, quel que soit s; ainsi le centre de Saturne repousse celui de l'anneau, et quel que soit le mouvement relatif de ce second centre autour du premier, la courbe qu'il décrit par ce mouvement est convexe vers Saturne ; le centre de l'anneau doit donc finir par s-'éloigner de plus en plus de celui de la planète, jusqu'à ce que sa circonférence vienne en toucher la surface.

Un anneau parfaitement semblable dans toutes ses parties serait composé d'une infinité de circonférences pareilles à celle que nous venons de considérer; le centre de l'anneau serait donc repoussé par celui de Saturne, pour peu que ces deux centres cessassent de coïncider, et, dans ce cas, l'anneau finirait par se joindre à Saturne.

Les diff'érents anneaux qui entourent le globe de Saturne sont, par conséquent, des solides irréguliers d'une largeur inégale dans les divers points de leur circonférence, en sorte que leurs centres de gravité ne coïncident point avec leurs centres de figure. Ces centres de gravité peuvent être considérés comme autant de satellites qui se meuvent autour du centre de Saturne à des distances dépendantes de l'inégalité des parties de chaque anneau et avec des vitesses de rotation égales à celles de leurs anneaux respectifs.

Dans la recherche de la figure des anneaux, nous avons fait abstraction de leur action mutuelle, ce qui suppose l'intervalle qui les sépare assez grand pour que cette action n'ait pas une influence sensible sur leur figure. Il serait facile cependant d'y avoir égard, et Ton peut s'assurer aisément que la figure génératrice de chaque anneau serait encore elliptique si les anneaux étaient fort aplatis; mais, la stabilité de leur équilibre exigeant que leur figure soit fort irrégulière, et ces anneaux doués de divers mouvements de rotation changeant