THÉORIE ANALYTIQUE DES MOUVEMENTS DES SATELLITES DE JUPITER
Équations générales du mouvement des satellites de Jupiter.
Soient x, j, z les trois coordonnées rectangles du premier satellite, l'origine des coordonnées étant au centre de gravité de Jupiter, que nous supposerons immobile. Soient r la distance du satellite à ce centre et m sa masse. Que l'on marque successivement d'un trait, de deux traits et de trois traits les mêmes quantités relativement au second, au troisième et au quatrième satellite. Soient de plus S la masse du Soleil; X*, Y, Z ses trois coordonnées rapportées au centre
de Jupiter et D sa distance à ce centre. Soit encore
-yr-
■rr
Soit V+ ^ la somme de toutes les molécules de Jupiter divisées par
leurs distances au centre du satellite, la masse de Jupiter étant prise
pour l'unité. Soient enfin V'-h ^, V"+ ^, V"'-h ^> •••> U -f- ^ ces
mêmes sommes relativement aux satellites m', m", m'" et au Soleil.
Gela posé, la force dont le satellite m est animé parallèlement à l'axe des ce, en vertu de l'attraction d'une molécule quelconque, se détermine en divisant la masse de cette molécule par sa distance au centre du satellite m, en différentiant ensuite ce quotient par rapport à a; et divisant cette différence par âx. On aura donc, en observant que r^ = a?^ -1- y^ -t- s%
dx r^ dœ
pour la force parallèle à x qui résulte des attractions de Jupiter, du Soleil et des trois autres satellites. Mais, comme nous considérons le mouvement du satellite m autour du centre de Jupiter, il faut retrancher de la force précédente celle qui anime ce centre. Or, en vertu de l'égalité qui existe entre l'action et la réaction, la force accélératrice que communique au centre de gravité de Jupiter l'action de m, étant multipliée par la masse de cette planète, est égale et directement contraire à la force accélératrice dont le satellite m est animé par l'action de toutes les molécules de Jupiter, multipliée par m; cette dernière
force, décomposée parallèlement à l'axe des x, est -j ^; on aura
donc
pour la force dont le centre de gravité de Jupiter est sollicité parallèlement à Taxe des x, en vertu de l'action de m. Si dans cette quantité on marque successivement d'un trait, de deux traits et de trois traits les lettres m, V, x et r, on aura les forces parallèles aux x dont ce centre est animé par les attractions de m', m", m'". Enfin la force parallèle aux 37, dont il est animé par l'action du Soleil, est
Si l'on retranche la somme de toutes ces forces qui sollicitent le centre de Jupiter de la force
dx r^ dx
on aura la force entière dont le satellite m est animé parallèlement à l'axe des x^ dans son mouvement relatif autour de Jupiter. Cette force
doit, par les principes de Dynamique, être égale à -j^y di étant l'élément du temps que nous supposons constant; on aura donc
d'x , Jx dY\ ,(x' dN'
„(x" d\"\ Jx'" d^X ^/\ dV\ âl
On trouvera de la même manière
d'^Y , Jy dy\ ,(y'
dY'\
ày'J
dV'X /Y
dy
cPz ^ Jz dN\ ,{z' d\'\
D» dz) âz'
Si l'on fait, pour abréger,
^ , xx' -t- y y' + zz' ,, xx" + yy" + zz" ,,, xx"'-\- yy"' -\- zz'" R — m' -^^ h m" ^f; \- m'" ■■^,
( dN" \^ àx"
dV" y ày"
" dz"
s^"" dx'"
y dy'"
dY'" ^ dz'"
^ dY
dU
les trois équations différentielles précédentes deviendront
â^z , , z dR
cit- /•■* dz
Si l'on multiplie la première des équations (A) par dx, la seconde par dy, la troisième par dz et qu'ensuite on les ajoute, on aura
dx d^ X -h dy d^ y ■+- dz d^ z i H- /?z , , , , .
o= j^r ^ —--—(^a- dx -h y dy -^ z dz)
^ dR , dix , ^R
H- dx 1- dy — — + dz -^-- •
dx "^ dy dz
Or on a
X dx + y dy -\- z dz r=. r dr ;
de plus, on peut mettre la quantité
^ d\K ^ dR ^ dV.
dx "^ dy dz
sous cette forme dR, la caractéristique différentielle d ne se rapportant qu'aux coordonnées oo, y, z du satellite m; on aura donc, en inté' grant l'équation précédente,
dx* -+- dv'- H- dz^ i-\- m \ -\- m
dr r a
étant une constante arbitraire.
«/dR,
Si l'on multiplie la première des équations (A) par a?, la seconde par r, la troisième par z et que l'on ajoute leur somme à l'intégrale précédente; si l'on observe ensuite que
xd^x -\- y d^y + z d^z -+- dx* -+- dy^ -k-dz'^z^z^ d^ /•',
on aura
En supposant R = o dans cette équation, on aura la valeur de r lorsque l'on fait abstraction de la figure de Jupiter et de l'action du Soleil et des satellites. Dans ce cas, on sait que l'orbite est une ellipse dont a est le demi grand axe. Soit §r la variation de r due à ce que R n'est pas nul, l'équation précédente donnera, en négligeant le carré de or,
d'hiver) (i-i-m)rdr ^. d^ dR ôR
0= — ^7^ + -^^ 7^ 1-2 / clR + ^3 \-y-^ — 1--3-'
dt^ r^ J dx -^ dy dz
Les équations (A) étant multipliées respectivement par x, y, z et étant ensuite ajoutées donnent
X d'^ X -\- Y d"^ y -[- z d"^ z i -\- m dR dR dR
dL^ r dx "^ dy dz
Si l'on nomme dv l'angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs r et r h- dr^ on a
dx^ -+- dy"^ + c?^* m dr^ -+- /•* dv^, X d^x -\-y d^y -\- z d^z:= rd^r — r^dv^; OEuvres de L. — XI. 4o
Sik THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.
on aura donc
rd^r—r^di>^ i + m dR dR dK
dt- r dx '' oy oz
Dans le cas du mouvement elliptique où R est nul, cette équation
devient
/• d^ r — r"' dv^ i -(- m dt^ r
Supposons que R augmente r et ç- des quantités Sret Zv, on aura, en négligeant les carrés et les produits de Sr et de '^v,
rd^àr-^-àrd^r — ir'^dvd^v — irdv^àr o= —
(i + m)rôr dR dR dR
/•* aœ "^ ay oz
On a, dans l'hypothèse elliptique,
a étant le demi grand axe de l'ellipse et ae son excentricité; on a de plus, par ce qui précède, lorsque R est nul,
/• rfp^ d^r I + m
dt'- dt^ r^
L'équation différentielle précédente donnera ainsi
-idàv n ^ — -. T- rd^àr — drd^r
^{i + m)ràr dR dR dR
r* da; dy dz
^•1, 1-1 . / .• 1-1 (i -\- m)r $r Si Ion substitue dans cette équation, au lieu de p, > sa
valeur donnée par l'équation différentielle trouvée ci-dessus en r^r, on aura
2dàv n -— rd'èr — èrd^r ^d^ràr)
^ r^T. , ( àR dR dR\
Soit ni le moyen mouvement du satellite; on a, par la théorie du mouvement elliptique,
d'où l'on tire
v/(i + m)a{\ — e^) ■= nà^\/i~ e^.
On a ensuite, à fort peu près, n^a^= i; on aura donc, en intégrant l'équation précédente,
2rdèr-{-dr ôr
. a^ndt
ov = î
3 r ^. Cat* r jJ à^ ù\K d\\\
-\- 6 a j n dt I aR -{- 2 a I n dt l a; ^ -\- y ^ •" ^ "XT )
Si l'on prend pour le plan des coordonnées a; et j celui de l'orbite primitive de m, z sera de l'ordre des forces perturbatrices; ainsi, en négligeant le carré de ces forces, on pourra faire s = o dans tous les termes dépendants de R. Si l'on nomme ensuite v l'angle que fait le rayon r avec l'axe des x, on aura
a? = /cosr, y — r ?,\nv ;
mais on a
dR — </a? -r Y- dv-^r-'
dx •' dy
En substituant pour x ^iy leurs valeurs précédentes, on aura
^„ dr ( dR dR\ , / ^R <?R\
on a ensuite
dR — dr -3-- -\-d{f -j-\ dr ov
on aura donc, en comparant ces deux valeurs de dR,
dR dR dR
dx *^ dy dr
L'équation différentielle en rSr et l'expression précédente de ^t^devien-
dront ainsi
2rddr-\- dràr , , /> i.r^n r j. ^^
-, \- àa nat / dR+ 2a / natr -^r-
, . „ a^ndt J J .1 dr
VI — e^
En joignant à ces deux équations l'équation différentielle en z, de
l'article I,
d^z (n-m)s dï(
df' /•» dz
on aura toutes les équations nécessaires pour déterminer les perturbations que le satellite m éprouve lorsque l'on néglige les carrés et les produits des forces perturbatrices.
Considérons présentement la valeur de R. On a vu, dans l'article 1, que la fonction ¥+ - exprime la somme de toutes les molécules de
Jupiter, divisées par leurs distances respectives au centre du satellite m. J'ai donné ailleurs l'expression générale de cette somme dans le cas où Jupiter est un sphéroïde peu différent d'une sphère; je vais rappeler ici quelques-uns des résultats auxquels je suis parvenu sur cet objet.
Soit (X le cosinus de l'angle que le rayon r fait avec l'axe de rotation de Jupiter, axe qui, pour l'équilibre de cette planète, doit être un de ses axes principaux de rotation. Soit de plus cr l'angle que fait le plan qui passe par cet axe et par le rayon r avec le plan d'un méridien quelconque, que nous supposerons passer par l'un des deux axes principaux situés dans le plan de l'équateur de Jupiter. On pourra représenter le rayon mené du centre de gravité de cette planète à sa surface par la fonction
i + Yf'^-i-Y^') +¥<*) + ...,
Y"^ étant une fonction rationnelle et entière de l'ordre i, de [Ji,
v'i — (jL^sincT et v^i — [JL^cosCT, assujettie à l'équation aux différences partielles
(Mémoires de r Académie pour l'année 1783, p. 28) ('). On aura ensuite
«p étant le rapport de la force centrifuge à l'attraction de Jupiter sur l'équateur de cette planète (Mémoires de l' Académie cour l'année 1782, p. i53 et 181) (^), partant
Cette valeur de V se réduit à fort peu près à son premier terme, si r est un peu considérable relativement au rayon du sphéroïde de Jupiter. D'ailleurs, si cette planète est un ellipsoïde de révolution, comme il est naturel de le supposer, on a Y^'^=o, Y^*^=o, ..., ce qui rend exacte la réduction de V à son premier terme; on peut donc, même relativement au premier satellite, supposer
YW + i9(f.'-i) ,.3
La fonction Y^-^ se réduit par les conditions de l'équilibre à cette
forme
— p ( /jt* — ^) 4- H ( I — fx*) ces arer
(Mémoires de l'Académie pour l'année 1788, p. 3o) ('). Si Jupiter est un solide de révolution, H est nul ; mais, dans les cas où cette quantité serait comparable à p, il est facile de s'assurer que son influence sur les mouvements des satellites de Jupiter est insensible, à cause de la
(>) Ci-dessus, p. i3.
(*) OEuvres de Laplace, t. X, p. 382 et 407-
(') Ci-dessus, p. 16.
rapidité du mouvement de rotation de Jupiter; nous supposerons donc
H = G, ce qui donne
Les orbites des satellites étant fort peu inclinées à l'équateur de Jupiter, [JL est une très petite quantité dont on peut négliger le carré; on pourra donc, dans les équations (i) et (2) de l'article précédent, supposer
Si dans l'expression de V on change r successivement dans r', r\ r'" etD, on aura les valeurs de V, V", V" et U.
Si le rayon de Jupiter diffère très peu de celui d'un ellipsoïde de révolution, comme cela a lieu pour la Terre, ainsi que je l'ai fait voir dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1783, les quantités H, Y(3)^ Y^''^ . . . seront insensibles par rapport à p, et le rayon de Jupiter sera à très peu près égal à i— p([Ji.^— ^). Au pôle, où [x=:i, ce rayon sera i — f p, et à l'équateur, où [x — o, il sera égal à i 4- |p, en sorte que j~T- sera l'aplatissement de Jupiter, mesuré en partie du demidiamètre de son équateur. En prenant donc pour unité ce demi-diamètre et en négligeant la quantité ^pS p exprimera l'aplatissement de Jupiter. Il est assez remarquable que la valeur de V soit entièrement indépendante de la constitution intérieure de Jupiter. Comme cette valeur a une grande influence sur les mouvements des nœuds et des aphélies des orbites des satellites, ces mouvements doivent donner l'aplatissement de Jupiter avec une plus grande précision que les mesures astronomiques les plus exactes.
Représentons maintenant par v', ç", /', n les longitudes du second, du troisième et du quatrième satellite et du Soleil, ces longitudes étant comptées de l'axe des x; on aura, en négligeant les carrés des inclinaisons de leurs orbites sur celle de m,
x' z=z r' cosp', y' = /•' sin v',
a;"= /""cos^-",
x"'=r"'cosv'\
= DcosII;
y ■= r" sint'".
y"'~r"' sin^''".
= D sinH.
L'oxpression de R de l'article I deviendra ainsi, en négligeant les termes multipliés par ^2^*^:=^, "^^-^^^ < "-^^^^^^ et ^^^i^, comme étant insensibles à cause de la petitesse de p — ^ç,
-+- 7«T COS ( (^" - (^ ) 4- --^ COS ( p" - (' ) + ^, cos (H - t' ) m' m"
\] r'*' — 2 /•/•' cos ( p' — v) -\- r'^ sjr"^ — 2rr"cos(t'" — v) H- /•"*
