ll

On peut comprendre dans la quantité arbitraire que nous avons prise

DU SYSTÈME DU MONDE, pour unité la fonction

\fç>d{a^h)

fpda* et alors le rayon du sphéroïde terrestre, à sa surface, sera

a A 9 ( I — jut' )

ifpd{a^h) 2h — *

fp da^

Ce rayon est celui d'un ellipsoïde de révolution, dont le demi petit axe est l'unité et dont le demi grand axe est

\j'pd{a'h)

h 1 p da^

la figure de la Terre supposée fluide ne peut donc être que celle d'un ellipsoïde de révolution. De plus, il n'y a qu'un seul ellipsoïde qui puisse satisfaire à l'équilibre, lorsque la loi des densités p est déterminée; car s'il y avait deux valeurs de h qui satisfissent à l'équation (e), en nommant h la première, h' la seconde, la valeur h' — h satisferait au cas où 9 serait nul, et où l'on aurait par conséquent z^— oi mais il résulte de ce que nous avons démontré ci-dessus que, dans ce cas, h' — A = o, ce qui donne h = h'; il n'y a donc qu'une seule figure d'équilibre, très peu diff'érente de la sphère, qui soit possible; et il est facile de s'assurer que les limites de l'aplatissement de cette figure sont — et ^a^, dont la première répond au cas où toute la masse du sphéroïde serait réunie au centre, et la seconde répond au cas où cette masse serait homogène.

Sur la stabilité de la figure de la mer,

La figure de la mer varie sans cesse par l'action du Soleil et de la Lune; les vents et les tremblements de terre troublent encore l'état

d'équilibre qu'elle prendrait en vertu des forces constantes qui l'animent. L'expérience nous montre que les causes qui agitent chaque jour cette grande masse fluide n'y produisent que des mouvements d'oscillation, en sorte que son état d'équilibre est stable relativement à l'action de ces causes; mais, si cette stabilité n'est pas absolue, on peut alors, en vertu d'une cause extraordinaire, supposer à la mer un ébranlement, qui, quoique très petit en lui-même, pourrait cependant apporter de grands changements dans sa figure et l'élever au-dessus des plus hautes montagnes, ce qui expliquerait plusieurs phénomènes d'Histoire naturelle. Il est donc important de rechercher les conditions nécessaires à la stabilité de la figure de la mer, et d'examiner si ces conditions ont lieu dans la nature.

On a depuis longtemps fait cette curieuse remarque : savoir, que, si, la mer et le noyau qu'elle recouvre ayant une figure elliptique dans l'état d'équilibre, on allonge ou on aplatit la figure de la mer, en sorte qu'elle soit toujours elliptique, elle tendra, au premier instant, à revenir à son état d'équilibre, si la densité moyenne du noyau surpasse les trois cinquièmes de la densité de la mer, et si cette densité est plus petite, la mer tendra à s'éloigner de son état d'équilibre. On en a conclu que, pour la stabilité de l'équilibre de la mer, il suffît que sa densité soit moindre que f de la densité du noyau; mais cette conséquence n'est relative qu'au dérangement particulier que l'on suppose primitivement à la mer; d'ailleurs, il ne suffit pas de considérer la tendance du fluide au premier instant du mouvement, il faut encore avoir égard à cette tendance dans tous les instants, et par conséquent il est nécessaire de considérer les oscillations du fluide pour prononcer sur la stabilité de son équilibre. En envisageant ainsi la question, j'ai fait voir, dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1776 (' ), que, dans un grand nombre de cas, la stabilité de l'équilibre exige pour condition que la densité moyenne du noyau terrestre surpasse celle de la mer. J'ai prouvé, de plus, dans les Mémoires de 1782 (^), que si, la Terre n'ayant

(*) OE livres de Laplace, T. IX.

(*) Ibid.,.T. X.

point de mouvement de rotation, la profondeur de la mer est constante, l'équilibre est stable toutes les fois que la condition précédente est remplie. Je vais maintenant généraliser ce théorème et faire voir qu'il a lieu quels que soient la loi de la profondeur de la mer et le mouvement de rotation de la Terre.

Rappelons, pour cela, les équations générales du mouvement de la mer. Considérons une molécule dm de sa surface, dont [x soit le sinus de la latitude dans l'état d'équilibre, et vs la longitude comptée d'un méridien fixe sur la Terre. Supposons que aw soit la quantité dont la latitude de la molécule est plus petite que dans l'état d'équilibre, et que a(^ soit la quantité dont la longitude est plus grande, a étant un très petit coefficient. Supposons encore que cette molécule soit élevée de la quantité ay au-dessus de la surface d'équilibre de la mer. Nommons I le demi-axe de la Terre; /y la profondeur de la mer, / étant un coefficient fort petit, et y étant une fonction de [x et de ct. Soient g la pesanteur, t le temps et ni le mouvement de rotation de la Terre. Soit enfin aV la somme de toutes les molécules d'une couche aqueuse dont le rayon intérieur est l'unité et dont le rayon extérieur est i -h aj, divisées par leurs distances respectives à la molécule dm^ plus la somme des masses du Soleil et de la Lune, divisées par leurs distances à la même molécule, les molécules de la couche aqueuse devant être supposées négatives dans tous les points où ay est négatif. Cela posé, les trois équations différentielles du mouvement de la Terre, que nous avons données dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1776, page 178 (*), deviendront

â^u dv I ; dy , r dV 1 =

d}v , ,, du I ; dY dW

(») OEuvres de Laplace. T. IX, p. i88.

OEuvres de L. — XI. 67

c'est de l'intégration de ces trois équations que dépend la théorie des oscillations de la mer.

Si l'on multiplie la seconde par 7-77 et qu'on l'ajoute à la troisième,

dt

multipliée par y^» on aura, en faisant, pour abréger, y =7»

^K^)'^^(^'y^'~'''^] ^y du, , dy' d.

— wt -^^^f^y-dt'^^^-^s-L'^di-

Multiplions maintenant cette équation par d\^dx5y et prenons les intégrales de ses deux membres depuis jx = — i jusqu'à |ji = i et depuis cy = o jusqu'à vs = 360*^. On aura

r , ày' du I

^^j'^^-k'^-di'J'-^

du , r ^{'^^'^'~^')

C étant une fonction arbitraire indépendante de [x. Or j' et u ne peuvent être infinis dans aucun point de l'intégrale, en sorte que le terme

2.gy^ ^ V^i — [jt.^ est nul aux deux extrémités de l'intégrale ; on a donc

C = o, et, par conséquent.

r, . dy' du , C ,^ j ^Vdi"^

On a ensuite, en intégrant par rapport à ct,

r, dy' dv , dv C ,j ^y'di) r^,

c étant une fonction arbitraire indépendante de cy; ory, Y et ^ étant des fonctions de sincy et de coscx, le terme — igy'^-j- est le même aux deux extrémités de l'intégrale, en sorte que C— igy^4- est une

fonction nulle; on aura donc

partant on aura

di

L'expression précédente de y donne le second membre de cette équation égal à

on aura donc

Concevons présentement que y soit développé dans une suite de cette

forme

y=ry„ + Y, + Y, + Y3-i-...,

Y(,, Y,, Ya, ... étant des fonctions rationnelles et entières de (jl, \Ji — (X- sino et v''i — fJ"-' costr, telles que Ton a généralement

il résulte de ce que nous avons démontré dans les Mémoires de l'Académie pour l'année 1782, page 147 (*)» ^^®' si l'on représente par l'unité la densité de la mer, et si l'on fait abstraction de l'action des astres, on a

Vz=4ï)(Yo+^Y, + iY,+ ^ Y, + ...),

(») Œuvres de Laplace, T. X, p. 378.

7] étant le rapport de la demi-circonférence au rayon. Si l'on nomme ensuite p la moyenne densité de la Terre, on a, à fort peu près,

on aura donc

La condition de la masse fluide constante donne

Jy d^j. dw =3 o,

les intégrales étant prises depuis ^ = — i jusqu'à [ji, = i et depuis tj =r o jusqu'à CI = 360**; mais on a généralement, lorsque i est différent de i'f

fYi U,' dix dw = o,

U,' étant une fonction de la même nature que Y,; on aura donc

Jy d^ dns = yY^ d^i. dm = o,

ce qui donne

Yo = o.

On aura, cela posé,

d'où Ton tire, en vertu du théorème précédent,

ff'^^di.dm

l'équation (A) donnera donc, en l'intégrant par rapport au temps ^,

/r''^-[(ÊJ-(g)'<-'")]

= M-f/</H<^«[(.-^)Yf+(.-A)Y;H-(.-l)Yi + ..,]. M étant une quantité indépendante de t.

Supposons p ;> I ; alors la quantité

(B) f/^^rf.[(,i)Y.-.(-^)Y.^...]

est négative; la valeur de M doit donc être une quantité positive constamment plus grande, abstraction faite du signe, que cette quantité, puisque, y étant nécessairement positif, le premier membre de l'équation précédente est toujours positif. Cette valeur de M dépend de l'état et de la vitesse initiale de la mer, et, puisque nous la supposons très peu dérangée, à l'origine, de son état d'équilibre, M est nécessairement une très petite quantité. L'intégrale (B) sera donc toujours fort petite, ce qui exige que Y,, Y^, ... ne renferment point le temps l sous la forme d'arcs de cercle ou d'exponentielles. La valeur de y ne contient donc que des fonctions périodiques du temps, et par conséquent la mer ne s'éloigne jamais que très peu de sa figure d'équilibre, si sa densité est moindre que la moyenne densité de la Terre.

Quoique cette démonstration soit fort générale, elle suppose cependant que le fluide est ébranlé de manière que, relativement à toutes les molécules de la mer situées sur le même rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface, les valeurs de m et de (^ sont à très peu près les mêmes, car les trois équations fondamentales du mouvement de la mer sont fondées sur cette supposition, la seule que l'on doive admettre lorsque l'on considère les ébranlements produits par l'action des astres; mais, si l'ébranlement est produit par les vents ou par des tremblements de terre, cette supposition cesse d'avoir lieu, et cependant il importe encore d'avoir, dans ce cas, les conditions de la stabilité de la figure de la mer. On peut y parvenir fort simplement au moyen du principe de la conservation des forces vives.

Ce principe, appliqué au mouvement d'un système de corps qui s'attirent mutuellement, consiste en ce que la somme des molécules du système, multipliées respectivement parles carrés de leurs vitesses, est égale à une constante, plus au double de la somme des produits des molécules considérées deux à deux, divisés par la distance respective des molécules.

Cela posé, nommons R le rayon mené du centre de gravité de la Terre à une de ses molécules quelconque, que nous désignerons par dm. Soit [x le cosinus de l'angle que le rayon R fait avec l'axe primitif de rotation de la Terre qui passe par son centre de gravité que nous supposerons immobile au premier instant, et qui le sera par conséquent durant toute la durée du mouvement, puisque nous n'avons égard ici qu'à l'action mutuelle des parties de la Terre. Soit nt-^u l'angle que fait avec un plan fixe passant par l'axe primitif de rotation un plan qui passe par cet axe primitif et par la molécule dm, plan que

nous nommerons son méridien. Supposons que a-^- soit la vitesse de la molécule, perpendiculairement à R, et dans le plan du méridien, a étant un coefficient très petit. Soit encore n + ol-t- la vitesse angulaire de la molécule, perpendiculairement à son méridien. La somme des molécules de la Terre, multipliées respectivement par le carré de leur vitesse, sera

-r- étant de l'ordre a. Supposons que le rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface soit R' dans l'état d'équilibre et que, dans l'état troublé, il devienne R'+aj; la somme des produits deux à deux des molécules de la Terre, divisés par leur distance mutuelle, sera égale : i° à cette somme telle qu'elle était dans l'état d'équilibre; 2° à la somme des produits deux à deux des molécules d'une couche aqueuse dont le rayon intérieur est R' et le rayon extérieur est R' -h aj, comparées aux molécules de la Terre telle qu'elle était dans l'état d'équilibre, ces produits étant divisés par la distance mutuelle des deux molécules que l'on compare; 3° à la. somme des produits deux à deux des molécules de la couche aqueuse divisés par leur distance mutuelle.

La première somme est évidemment une constante indépendante du temps t.

Pour avoir la seconde somme, nous observerons que, si la Terre était une sphère, on aurait cette somme en multipliant chaque molécule de la couche aqueuse par la masse de la Terre, que nous désignerons par M, en divisant ce produit par la distance de la molécule au centre de la sphère et en ajoutant ces divers produits. Représentons par l'unité le rayon de la sphère et par i + s la distance d'une molécule aqueuse à son centre, et prenons pour unité de densité celle de la mer. La masse de la molécule sera

{1 + zY dzdii dm ;

en la divisant par la distance i -+- s de la molécule au centre de la

sphère, on aura

M{i-i- z) dz dix drs

pour la différentielle de la somme dont il s'agit, et, en l'intégrant depuis s = o jusqu'à z = aj, on aura

«M AjH- \<xy^)diJLdTS

pour cette somme. Mais, puisque la masse fluide est supposée constante, on doit avoir

j{\-{-zydz dyi dxjs == o,

ce qui donne, en négligeant les quantités de l'ordre a',

o =: a A / + a/*) dy. dis, La somme précédente deviendra donc

Mfy* dfx dm.

Si l'on a égard à l'excentricité du sphéroïde terrestre, on aura de nouveaux termes qui seront multipliés par cette excentricité. Mais, dans l'équation que donne le principe de la conservation des forces vives.

nous négligerons tout ce qui dépend de l'excentricité de la Terre pour ne comparer que les termes qui en sont indépendants.

Considérons enfin la troisième somme formée des produits deux à deux des molécules de la couche aqueuse, divisés par leur distance mutuelle. En négligeant l'excentricité de la Terre, le rayon intérieur de la couche aqueuse sera l'unité, et son rayon extérieur sera i -+- a j. On pourra représenter par cny d\^dx3 une de ses molécules; soit aj" la somme de toutes les molécules de la couche, divisées par leurs distances respectives à cette molécule, la troisième somme cherchée sera — fyy" d\kdv5. Elle n'est que la moitié de l'intégrale cf.'^Jyy"d\i.du, parce que, en comparant chaque molécule de la couche avec la couche entière, on a le double des produits des molécules prises deux à deux. On aura donc, en négligeant tout ce qui dépend de l'excentricité de la Terre,

K M j y^d^x-dw -\ / //" dix dw

pour la somme des produits deux à deux des molécules de la Terre, divisés par leur distance mutuelle, K étant une quantité indépendante de t. Nommons p la moyenne densité de la Terre, on aura

la fonction précédente deviendra ainsi, en la divisant par g, .

Examinons maintenant la fonction (C), en la divisant pareillement par g. Si l'on projette chaque molécule de la Terre sur le plan de l'équateur primitif, le principe des aires donnera l'équation suivante

R« c?m(i — jjt^) ( /i + a -^ ) = H,

/" -'"V— '-^V^ ' ^dt H étant une constante indépendante de z; on aura donc

Les termes de l'ordre a' du développement de ^ TR' dm{i — (x') sont évidemment de l'ordre —oL-yr; en n'ayant donc égard qu'aux termes de Tordre a-jS qui ne sont multipliés ni par l'excentricité de la Terre, ni par la très petite fonction —, la fonction (G), divisée par g, se réduira à une constante, plus à l'intégrale

le principe de la conservation des forces vives donnera donc, en ne comparant que les termes de l'ordre a^,

= a*Q — a^gj ydu dxs\v - ^ j,

Q étant indépendant de t.

Supposons, comme ci-dessus, y égal à ¥« 4- Y, -i- Ya -+- . . . , la condition de la masse fluide constante donnera

Yo=o;

on aura ensuite, par ce qui précède,

partant

/«-[Këy-(^)'-(f)']

d'où il est aisé de conclure, comme précédemment, que la valeur dey ne renferme ni arcs de cercle, ni exponentielles si p est plus grand que l'unité.

OEuvres de L. — XI. ^^

La partie de l'intégrale

/«'-[-(§y-'(Êy(-^')-(§y]

relative au sphéroïde que recouvre la mer est insensible par rapport à la partie de cette même intégrale relative aux molécules de la mer. Car

il est clair que les valeurs de -tt» ^ ^t 777 qui se rapportent au sphéroïde sont, eu égard à celles qui se rapportent à la mer, du même ordre que la masse de la mer divisée par la masse du sphéroïde, puisqu'elles seraient infiniment petites si la masse de la mer était infiniment petite; leurs carrés seraient donc alors des infiniment petits du

second ordre que l'on peut conséquemment négliger. Les vitesses <^-n^

OL-T-sJi — [jt,'^ et -j- des molécules de la mer sont, à très peu près, les

vitesses relatives de ces molécules sur la surface du sphéroïde terrestre; ainsi l'intégrale

exprime la somme des molécules de la mer multipliées par les carrés de leurs vitesses relatives. Si les eaux de la mer éprouvent des chocs ou des résistances qui altèrent ces vitesses, la valeur de la constante a-Q en sera diminuée, et les fonctions Y,, Yg, ... ne pourront jamais augmenter indéfiniment si l'on a p>>i. La figure de la mer sera donc alors stable, quels que soient l'ébranlement primitif de cette masse fluide et les résistances qu'elle éprouve.

Dans le cas où toutes les molécules de la mer situées sur le même rayon auraient la même vitesse, à très peu près, en nommant /y sa profondeur, les valeurs de u et de v seraient, à très peu près, les mêmes pour une colonne de ce fluide, égale à l^d]xdT:s. On aurait de

plus -T- de l'ordre a-^, et il est visible que a-— est, par rapport à

a-j-j du même ordre que le rapport de la profondeur de la mer au rayon terrestre, comme il résulte de la première des trois équations

différentielles du mouvement de la mer. En faisant donc R - r, l'intégrale

deviendra

l'équation précédente donnée par le principe de la conservation des forces vives deviendra donc

équation identiquement la même que celle à laquelle nous sommes parvenus précédemment par la considération des équations différentielles du mouvement de la mer.

L'hypothèse de la densité de la mer plus petite que la densité moyenne de la Terre est très vraisemblable, car il est naturel de supposer que les couches les plus denses de la Terre sont les plus près de son centre. D'ailleurs, les observations faites sur l'attraction des montagnes ne permettent pas de révoquer en doute cette hypothèse. Les observations que M. Maskelyne a faites sur une montagne d'Ecosse semblent indiquer une densité moyenne de la Terre quatre ou cinq fois plus grande que la densité de la mer. L'équilibre de la mer est donc stable, et, si elle a recouvert autrefois des continents aujourd'hui fort élevés au-dessus de son niveau, il faut en chercher la cause ailleurs que dans le défaut de stabilité de son équilibre.

XVH.

Sur la manière défaire disparaître les arcs de cercle des intégrales trouvées par les méthodes ordinaires d'approximation.

J'ai donné pour cet objet, dans nos Mémoires pour l'année 1772 (' ),

( • ) OEuvres de Laplace, T. VIII. /

une méthode très simple, fondée sur la variation des constantes arbitraires. J'ai présenté depuis cette méthode, d'une manière plus générale, dans nos Mémoires pour l'année 1777 ('). On peut la généraliser encore de la manière suivante et lui donner ainsi toute l'étendue et toute la simplicité dont elle est susceptible.

Considérons l'équation différentielle de l'ordre i

a étant très petit, et P et Q étant des fonctions algébriques de y, ^' •••' 'ZTjîi:' ^^ sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement à t. Supposons que l'on ait l'intégrale complète de cette différentielle dans le cas de a = o, et que la valeur de y donnée par cette intégrale ne renferme point l'arc t ou, du moins, ne renferme qu'un nombre fini de puissances de cet arc. Supposons ensuite que, en intégrant cette équation par les méthodes ordinaires d'approximation, lorsque a n'est pas nul, on ait

X, Y, Z, s, . . . étant des fonctions périodiques de t qui renferment les i arbitraires c, c', c", . . . , et les puissances de i, dans cette expression de y, s'étendant à l'infini par les approximations successives. Il est visible que les coefficients de ces puissances décroîtront avec d'autant plus de rapidité que a sera plus petit; dans la théorie des mouvements des corps célestes, a exprime l'ordre des forces perturbatrices relativement aux forces principales qui les animent.

Si l'on substitue la valeur précédente de j dans la fonction

g+P + .Q, elle prendra cette forme

( ' ) OEuvres de Laplace, T. IX,

K, K', K", . . . étant des fonctions périodiques de t; mais, par la supposition, la valeur dey satisfait à l'équation différentielle

on doit donc avoir identiquement

o = K-hK't + K"t^ + ....

Si K, K', K", . . . n'étaient pas nuls, cette équation donnerait par le retour des suites l'arc t en fonction de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à ^; en supposant a infiniment petit, on aurait / égal k une fonction finie de sinus et de cosinus d'angles semblables, ce qui est évidemment impossible. Ainsi les fonctions K, K', ... sont identiquement nulles.

Maintenant, si l'arc t n'est élevé qu'à la première puissance, sous les signes des sinus et des cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les différences successives de j; en substituant donc la valeur précédente dey

dans la fonction -— + P + aQ, la fonction K -+- K'/ -h . . . , dans laquelle

elle se transforme, ne contiendra l'arc t, hors des signes périodiques, qu'autant qu'il est déjà renfermé dans y; ainsi, en changeant dans l'expression de y l'arc t, hors des signes périodiques, dans t — O, 0 étant une constante quelconque, la fonction K-\-K't -h ... se changera dans K -f- K'(i — ô) -h . .. , et, puisque cette dernière fonction est- identiquement nulle, en vertu des équations identiques K = o, K'= o, . .., il en résulte que l'expression

y = x + (t - 9)Y -ï- {t - eyz-\- . . .

satisfait encore à l'équation différentielle

Quoique cette seconde valeur dey semble renfermer i-hi arbitraires.

savoir les i arbitraires c, c', c\ ... et l'arbitraire Ô, cependant elle ne peut en contenir que le nombre i qui soient distinctes entre elles. 11 est donc nécessaire que, par un changement convenable dans les constantes Cyc', . . ., l'arbitraire 6 puisse disparaître de cette seconde expression de y, et qu'ainsi elle coïncide avec la première. Cette considération va nous fournir les moyens d'en faire disparaître les arcs de cercle.

Donnons à la seconde expression dey la forme suivante :

puisque nous supposons que 6 disparaît de j, on aura ^ = o et, par conséquent,

En différentiant successivement cette équation, on aura

d'où il est aisé de conclure, en éliminant R de l'expression précédente de 7,

•^ ^ ôO 1.2 dô^ 1.2.3 du*

X est fonction de t et des constantes c, c', c", . . . , et, comme ces constantes sont fonctions de 6, X est une fonction de t et de G, que nous pouvons représenter par o(t, 6). L'expression de j est, parle théorème connu de Taylor, le développement de la fonction !p(/, 0 + / — 0), suivant les puissances de / — G; on a donc r — cp(/, /); d'où il suit que l'on auray en changeant G en t dans X. Le problème se réduit ainsi à déterminer X en fonction de / et de G, par conséquent à déterminer c, c\ c'', ... en fonction de 0.

Pour cela, reprenons l'équation

puisque la constante ô est supposée disparaître de cette expression de j, on aura l'équation identique

(a) o=^^-Y+(^-(3)(^|-2ZJ + (^-0r(^^^-3s)

de

En appliquant à cette équation le raisonnement que nous avons fait

sur celle-ci,

o = K-+-K't-hK"r--^...,

on voit que les coefficients des puissances successives de ^ — 0 doivent se réduire d'eux-mêmes à zéro. Les fonctions X, Y, Z, ... ne renferment 0 qu'autant qu'il est contenu dans c, c\ c'\ ... ; en sorte que,

pour former les différences partielles -jq' 'Jq' âe» "•> ^^ suffît de faire

varier c, c', c", . . . dans ces fonctions, ce qui donne

àX àXdc âX dc[ â\ de'

09 ~ 'de d'B "^ de' dd ^ de" dB ^ " "

aY dY ^ d\ dc^ d\ de'

de ~~ de dQ "^ de' dO ^ de" d'Q '^ • ' • '

Supposons d'abord que dans les fonctions X, Y, Z, . . . aucune des arbitraires ne multiplie l'arc /, sous les signes des sinus et des cosinus ; cet arc ne sera pas produit par les différences partielles -^, ^> — En égalant donc à zéro, dans l'équation {a), les coefficients des puissances successives de / — 6, on aura

d\^ d\ ^ dZ „.

W-^' 'dQ~^^^' d'B-^^'

Si l'on différcntie la première de ces équations i — i fois relativement

à t, et que Ton substitue pour -r^ sa valeur, on aura

d\ de dX dc[ àX dc^

'de dQ^ de' dQ '^ de" dQ '^ '

d^ de d^\ dc^ â'X dc^ dY

de dt dd ^ de' dt dB ~^ de" dt dQ "*"' ' dt'

(?*X de d^X de' d^X de" d^Y

dedf dQ de' di^ dQ de" dt^ dQ dt^

On tirera de ces i équations autant d'équations différentielles entre les quantités c, c', c", ... et leurs premières différences, et, en les intégrant, on aura ces constantes en fonctions de 6. Presque toujours, l'inspection seule de la première des équations précédentes suffira pour avoir les équations différentielles en c, c', c", ..., en comparant séparément les coefficients des sinus et des cosinus qu'elle renferme; car il est visible que les valeurs de c, c', ... étant indépendantes de f, les équations différentielles qui les déterminent doivent être pareillement indépendantes de cette variable. Le plus souvent ces équations ne seront intégrables que par des approximations successives, qui pourront introduire l'arc G dans les valeurs de c, c', c", ... , lors même que cet arc ne se rencontre point dans les valeurs rigoureuses; mais on le fera disparaître par la méthode que nous venons d'exposer pour faire disparaître l'arc t de l'expression dey.

Il peut arriver que l'équation -^^ = Y, et ses i — i différentielles en / ne donnent pas un nombre «d'équations distinctes entre les quantités c, c, c", ... et leurs différences. Dans ce cas, il faudra recourir aux équations

dQ "^^' TQ-^'

Supposons maintenant que quelques-unes des arbitraires c, c', c", ... multiplient l'arc / dans les fonctions périodiques X, Y, Z, ... ; la diffé-

DU SYSTÈME DU MONDE. 5«l

rentiation de ces fonctions relativement à 0, ou, ce qui est la même chose, relativement à ces arbitraires, développera cet arc et le fera sortir hors des signes des fonctions périodiques sous lesquels il est

renfermé. Les différences -tt) ^j -Tg^ ••• seront alors de cette forme

de -'' ^^'''

X', X", Y', Y", Z', Z", . . . étant des fonctions périodiques de /, et renfermant de plus les arbitraires c, c', c", ... et leurs premières différences divisées par c?6, différences qui n'entrent dans ces fonctions que sous une forme linéaire; on aura donc

En substituant ces valeurs dans l'équation («) de l'article XVII, on

aura

H- (<- Ô)«(Z' Hr ÔZ" 4- Y'- 3S)

d'où l'on tire, en égalant séparément à zéro les coefficients des puissances de / — 0,

o^X'+ÔX'- Y,

o = Y'H-ÔY' + X*-2Z,

OrnZ'+OZ'H-Y'-SS,

OF.uvres de L. — XI. 69

La première de ces équations donnera, soit par elle-même et par ses i — I différentielles prises relativement à ty soit par la comparaison des coefficients des sinus et des cosinus qu'elle renferme, i équations différentielles du premier ordre entre c, c\ c\ ... et 0. Si cette première équation ne suffisait pas pour cet objet, on aurait, recours aux suivantes.

Lorsque l'on aura ainsi déterminé les valeurs de c, c\ c", ... en fonctions de ô, on les substituera dans X, et, en y changeant G en /, on aura la valeur de y sans arcs de cercle, lorsque cela est possible. Si cette valeur en conservait encore, ce serait une preuve qu'ils existent dans l'intégrale rigoureuse.

Considérons maintenant un nombre quelconque n d'équations différentielles

P. Q» P'» Q'> . . . étant des fonctions de j, y\ ... de leurs différentielles jusqu'à l'ordre ï — i, et de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement à la variable t, dont la différence est supposée constante. Supposons que les intégrales approchées de ces équations

soient

/=rX,+ ^Y,+ ^^Z,+ i»Si+...,

X, Y, Z, . . . , X, , Y, , Z, , . . . étant des fonctions périodiques de l, et renfermant les in arbitraires c, c', c\ ...; on aura, comme dans l'article XVIII,

W ~ ' dQ "~ '

si les arbitraires c, c', c", ... ne multiplient point l'arc t sous le signe des fonctions périodiques. Mais, si cet arc est multiplié par quelques-

unes des arbitraires, on aura, comme dans l'article XIX,

o = X'-hôX'-Y,

la valeur approchée de y' donnera pareillement

si les arbitraires ne multiplient point l'arc / sous les signes des sinus et des cosinus; mais, si quelques-unes d'elles multiplient cet arc el que l'on suppose alors

^g — Ai-|-£A,, -^—ïj-hCïi, ..,,

on aura les équations

o = x; + ôx; - Y„ o = y; + ô y; + x; - 2Z„

Les expressions des autres variables y\ y"', . . . fournissent des équations semblables. On déterminera par ces diverses équations, en choisissant les plus simples et les plus approchées, les valeurs de c, c', c", ... en fonctions de 0. En substituant ensuite ces valeurs dans X, X,, ... et en y changeant 0 en t, on aura les valeurs de y, y', . . . sans arcs de cercle, lorsque cela est possible.

Sur les variations des inclinaisons et des nœuds des orbites

des planètes.

Soient

/w, m\ m", ... les masses des différentes planètes, celle du Soleil élant

prise pour l'unité; !p, ç', cp", ... les inclinaisons moyennes de leurs orbites sur un plan

fixe qui passe par le centre du Soleil;

0, 0', 6", ... les distances moyennes de leurs nœuds ascendants à une ligne invariable prise sur ce plan.

Soient, de plus,

tang9 sinô =/?, tangq) cos9 =: </,

tangç' sin6'= p', tangiy'cosô'— 7', tang(p"sin9"=/?", laug'f" cos,6"= q".

Nommons ensuite a, a', a", ... les moyennes distances des planètes au Soleil, et e, e\ e", ... les rapports des excentricités de leurs orbites à ces distances. Je suis parvenu, dans nos Memo/re^ pour l'année 1784 (*), aux (rois équations suivantes :

const..=:/?i 4/ — ^^ ^ + m' 4/ — !^ L + ,7î'' i/ — 5^ TT-h, -^

V i + lang^cp y i+iang^q)' ^v- y i-4-tang2cp"

( « ) < const. -— mp 4 / — ^ i- H- m' p' 4 / — ^ -^, + m" p" 4 / ■ — ^ -4, + ,

j ^y i + lang^© ^ y i+tang>' -^ y i + tang^cp"

const. — mo 4 / — ^ ^ + m' a' 4 / — ^^ — ^ + m" n" 4 / — ^ -4, 4- .

\ ^V i + tang2(p ' y i+tang^ç'^ ^ y n-iang>"

Ces équations résultent du principe de la conservation des aires ; elles ont lieu généralement quelles que soient les excentricités et les inclinaisons des orbites.

Si l'on suppose les orbites très peu excentriques et très peu inclinées au plan fixe, telles que les orbites des planètes, les deux dernières de ces équations deviendront

const. := nwjap + m' \/a' p' + }n" sJaJ' p" + . . .,

const. =:m\fâ(] -\- m' \/a' q' + m" \fâJ' q"

Imaginons par le centre du Soleil un nouveau plan dont l'inclinaison sur le plan fixe soit 'j^, et dont la longitude du nœud ascendant

(') Foir, plus haut, p. 69 et 70.

soit Y» cette longitude étant comptée de la ligne fixe d'où l'on compte les angles 0, 0', — Concevons ensuite sur le plan fixe un point quelconque 0, dont la longitude soit V; par ce point et par le centre du Soleil, menons un grand cercle perpendiculaire au plan fixe; il est clair que la tangente de l'arc de ce cercle, compris entre le point 0 et le nouveau plan sera tang^sin(V — y). L'arc du même cercle, compris entre le plan fixe et celui de l'orbite de m, est tangtp sin(V — 6). Ces arcs étant fort petits, la différence de leurs tangentes est, à très peu près, égale à la tangente de leur différence. Mais, si l'on nomme 9, l'inclinaison de l'orbite de m sur le nouveau plan, et 6, la longitude de son nœud ascendant sur ce même plan, les deux arcs précédents étant à fort peu près perpendiculaires à ces différents plans, la tangente de leur différence sera tang^, sin(V — 0,); on aura donc

tang(pisin(V — 9i) = lang9sin(V — 5) — langv|;sin(V — y).

Soient

tang4'siny=/)i, tangfj^cosy = 7,,

on aura

langçi cos9i sinV — tang^i sin^i cosV =z{q — q^) sinV — (/? — /^i) cosV,

ce qui donne, en comparant les coefficients de sinV et de cosV, tang©, sin9,=:/> — /?i, lang^, cos5i=:^ — q^.

Cela posé, si le nouveau plan est invariable, ainsi que le plan fixe, les équations {b) de l'article précédent donneront

const. = (/? — ^1 ) m V^â + {p' — pi) m' \/a' -+- {p" — pi) m" \/â" -\- . . ., const. ~ {q — qi) m\Ja -h {q' — qi) m' sj'â' + {q" — qx) m" sfcH' -\-

Supposons qu'à un instant quelconque on ait

m</âp-\- m' \fâ' p' 4- m" s/a' p' + . . . m\Ja-\- ni' \Jâ' + m' sja" -h . . .

m\fâq ->rm' \ja' g' H- m" sfâ" q'-h. . . m y/â + m' \/â' -h m" s/a' H- . . .

on aura, à tous les instants,

o = m \/a{p — pi) + m' \Ja' {p' — p^ ) 4- m" \Ja" {p" — Pi)+. . ., o:=m\Ja{q ~ q^) + m' \Ja' {g'— Çi) -+■ m"\/a" {q"— Çt) H-. . .;

p — Pt est la tangente de l'inclinaison ç, de l'orbite de m sur le nouveau plan, multipliée par le sinus de la longitude 6, de son nœud ascendant sur ce plan, longitude que l'on peut compter encore sur ce plan. Pareillement q — g, est la tangente de l'inclinaison cp, de l'orbite de m sur le nouveau plan, multipliée par le cosinus de la longitude ô< de son nœud ascendant sur ce plan; d'où il suit que, relativement à ce nouveau plan, la somme des masses des planètes, multipliées respectivement par les racines carrées de leurs moyennes distances, par les tangentes de leurs inclinaisons et par les sinus ou par les cosinus des longitudes de leurs nœuds, est constamment nulle ; en supposant donc que le plan fixe soit le nouveau plan lui-même, on aura

o =: msjap -\- m' \/a' p' -\- m" \J a" p" -\- . . ., o z=z m sj a q -\- m' \fa' q' + m" \fâ/' q" + . . . .

Les expressions de />, q, p\ q\ ... sont données en sinus et cosinus d'angles croissants avec une extrême lenteur; elles renferment, de plus, des termes constants et tels, que, si l'on n'a égard qu'à ces termes, on a

on aura donc, par rapport au plan que nous considérons,

o^=zp{m\Ja-\- m' \]a' -\- m" sfâj' -{- . . .^, Q^=^q(^m \[â + m' s/âj + m" \Ja" + ...),

ce qui donne

ainsi les termes constants disparaissent des expressions de /?, q, //,

La position du nouveau plan que nous venons de considérer est

facile à déterminer, au moyen des expressions précédentes de p, et de Çi ; et il en résulte que, si sur un pian quelconque on conçoit des masses proportionnelles à m\fâ, m! \ja\ m" sja" , ..., et dont les coordonnées rectangles soient p et q pour la première, p' et q' pour la seconde, p" et q" pour la troisième, etc., les coordonnées du centre de gravité du système seront/?, et 5^,.

Le plan fixe sur lequel on rapporte le mouvement des corps m, m', m", ... étant arbitraire, les propriétés précédentes doivent faire préférer le plan dont il s'agit, de même que, dans la détermination du mouvement d'un système du corps, on fixe naturellement l'origine des coordonnées à leur centre commun de gravité. La considération de ce plan est d'autant plus importante que, vu les mouvements particuliers des étoiles et la mobilité des orbites des planètes, il deviendra, dans la suite des siècles, très utile d'avoir un plan invariable auquel on puisse, à toutes les époques, rapporter les mouvements des corps célestes. Celui que nous venons de considérer a l'avantage d'être fixe, du moins lorsque l'on fait abstraction des corps étrangers au système planétaire, action qui, jusqu'à présent, est insensible. Il est facile d'ailleurs d'en déterminer la position au moyen des valeurs précédentes de /?, et de qt ; on pourra même la déterminer avec plus de précision, en faisant usage des deux dernières équations (a) du numéro précédent, dans lesquelles on n'a point négligé les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites; car, ayant déjà à très peu près la position de ce plan, on pourra facilement, par les méthodes différentielles, faire disparaître les constantes de ces équations. La connaissance des masses des planètes est, à la vérité, nécessaire pour retrouver à une époque quelconque le plan dont il s'agit; mais heureusement les quatre planètes qui ont des satellites sont celles qui ont le plus d'influence sur sa position, et les masses des autres planètes seront bientôt assez exactement connues pour que l'erreur de cette position soit insensible.

Supposons qu'il n'y ait que deux planètes m et m' dont les orbites soient circulaires et inclinées l'une à l'autre d'une quantité quel-

conque; en choisissant pour plan fixe celui relativement auquel les constantes des deux dernières des équations {a) de l'article XXI sont nulles, et en observant que = = cosç, ces deux équations

deviendront

o = 7n\fa siiKp sîn0 + m' \Ja' siiKp' sin0',

o—~rnsJa sÎTi 9 cos Q -\- m' \fâ! sin cp' cos 0';

ces équations donnent les deux suivantes

m y/a sin 9 = m' y/a' sin 9', sinô = — sinô', cos0 = — cos9',

d'où Ton tire

les nœuds des deux orbites sont, par conséquent, sur la même ligne; mais le nœud ascendant de Tune d'elles coïncide avec le nœud descendant de l'autre orbite, en sorte que l'inclinaison mutuelle des deux orbites est égale à © + 9'.

La première des équations («) de l'article XXI donne

const. =zm\/a cos 9 h- m' y/ô' cos 9' ; en la combinant avec celle-ci

m y/a sin 9 = m' \Ja' sin 9',

on voit que ç et 9' sont invariables; les inclinaisons des plans des deux orbites sur le plan fixe et sur eux-mêmes sont donc constantes, et ces trois plans ont toujours une intersection commune. Il en résulte que la variation moyenne instantanée de cette intersection est toujours la même, puisqu'elle ne peut être qu'une fonction de ces inclinaisons. Cette ligne a donc un mouvement uniforme pendant lequel les orbites conservent la même inclinaison sur le plan fixe.

La position de ce plan est facile à déterminer, puisqu'il ne s'agit que de diviser l'angle de l'inclinaison mutuelle des orbites en deux angles © et 9', tels que l'on ait

m y/â sin 9 = m' y/ô^ sin 9',

d'où l'on tire, en désignant parir l'inclinaison mutuelle des orbites,

m\/a-\- /n'y/a' cost:

On a donc ainsi la solution la plus simple du problème dans lequel on se propose de déterminer le mouvement des deux orbites. Ce problème a déjà été résolu par M. de la Grange, dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1774; mais la solution de cet illustre géomètre est assez compliquée; elle suppose d'ailleurs que l'inclinaison mutuelle des deux orbites reste toujours la même, ce qu'il était indispensable de démontrer.

Sur le mouvement d'un système de corps qui s'attirent mutuellement suivant une loi quelconque.

Le problème du mouvement d'un système de deux corps soumis à leur attraction mutuelle peut être résolu exactement; mais, lorsque le système est composé de trois ou d'un plus grand nombre de corps, le problème, dans l'état actuel de l'analyse, ne peut être résolu que par approximation. Voici cependant quelques cas où il est susceptible d'une solution rigoureuse.

Si l'on conçoit les différents corps disposés de manière que les résultantes des forces dont chacun d'eux est animé passent par le centre de gravité du système, et que ces diverses résultantes soient proportionnelles aux distances respectives des corps à ce centre, alors il est clair que, en imprimant au système un mouvement angulaire de rotation autour de son centre de gravité, tel que la force centrifuge de l'un quelconque de ces corps soit égale à la force qui le sollicite vers ce centre, tous les corps continueront de se mouvoir circulairement autour de ce point, en conservant entre eux la même position respective, en sorte qu'ils décriront des cercles les uns autour des autres.

Les corps étant dans la position précédente, si l'on conçoit que le

OEuvres de L. — XI. 7®

polygone, aux angles duquel on peut toujours les imaginer, varie d'une manière quelconque, en conservant toujours une figure semblable, il est visible que, la loi de l'attraction étant supposée comme une puissance n de la distance, les résultantes des forces dont chaque corps est animé seront, dans les différentes variations du polygone, proportionnelles aux puissances /^'éiues ^^^ distances des corps au centre de gravité du système. Gela posé, concevons que Ton imprime aux différents corps des vitesses proportionnelles à leurs distances à ce centre, et dont les directions soient également inclinées aux rayons menés de ce point à chacun des corps, alors les polygones formés à chaque instant par les droites qui joignent ces corps seront semblables; les corps décriront des courbes semblables, soit autour du centre de gravité du système, soit autour de l'un d'eux, et les courbes seront de la même nature que celle que décrit un corps attiré vers un point fixe par une force proportionnelle à la puissance w'*^""^ de la distance. Pour appliquer ces théorèmes à un exemple, considérons trois corps dont les masses soient m, m' et m" et qui s'attirent suivant la puissance n de la distance. Soient x et y les coordonnées de m, rapportées au plan qui joint ces trois corps et au centre de gravité du système ; soient x' et j' les coordonnées de m', et x" eiy" celles de m". La force qui sollicite m, parallèlement à l'axe des x, sera

r étant la distance de m à m', etr' étant la distance de m à m!' . La force qui sollicite w, parallèlement à Taxe des y, sera

Pareillement la force dont m' est animé, parallèlement à l'axe des x^ est

r" étant la distance de m! à m!'\ la force qui le sollicite, parallèlement à l'axe des r, sera

enfin la force qui sollicite m", parallèlement à l'axe des x, sera

et celle qui le sollicite, parallèlement à l'axe des v, sera

Maintenant, pour que la résultante des deux forces qui sollicitent w, parallèlement aux axes des x et des y, passe par le centre de gravité du système, il est nécessaire que ces forces soient dans le rapport de a; à r; on aura donc

m'i-^-^x — x') -i- m"r'"-^{x — x") —Kx,

m'r"-*{y—y') + m" r'"-^ {y — y") = Ky,

K étant une quantité quelconque variable ou constante. Dans ce cas, la force qui sollicite m vers le centre de gravité du système sera K \fx- -h y- . On aura pareillement, en considérant les forces dont m'

est animé,

mr"-^ {x' — x) + m" r""~' {x' ~ x") — K' x' ,

,nr"-'{y'—y) + m"r""-U^y''- y") = K'/,

ce qui donne K' \'x"--hy'- pour la force qui sollicite m' vers le centre de gravité du système. Pour que cette force soit à celle qui sollicite le corps m dans le rapport des distances' des deux corps à ce centre, il faut que l'on ait K = K' ; et, comme on doit appliquer le même résultat aux forces dont le corps m" est animé, on aura les trois équations suivantes :

/ m'r"-^(x —^' ) + /«"/•'"-' (x --x") — Kx,

(a) ' lmr''-^{x' — x)-^m"r">'-^{x'—x'') — l^x\

\ mr"'-'{x"—x) + /n' /•'"'■' (x"— a-') r=K.r\

En changeant dans ces équations x, x', x" en v, j', y", on aura celles qui sont relatives à ces trois dernières variables.

Les équations précédentes, multipliées respectivement par m, m', m" et ajoutées ensemble, donnent

équation qui résulte pareillement de la nature du centre de gravité. Cette équation, combinée avec la première des équations {a), donne

En supposant donc /- = r' , on aura

Si l'on suppose, de plus, r= r", les deux dernières des équations {a) donneront la même expression de K; d'où il suit que, dans la supposition de r=ir'=^r", cette expression satisfait aux équations {a) et aux équations semblables en j, y' et y".

Si, dans cette supposition, on nomme s, s', s" les distances respectives des corps //^, m! , tu", au centre de gravité du système, les forces qui sollicitent ces corps vers ce point seront Ki-, K^', K/'; ainsi, en imprimant à ces trois corps des vitesses proportionnelles à s, /, s", et dont les directions soient également inclinées sur ces rayons, on aura, durant le mouvement, r = r'=^ r", c'est-à-dire que les trois corps forment toujours un triangle équilatéral par les droites qui les joignent; ils décriront des courbes parfaitement semblables autour de leur centre de gravité et autour les uns des autres.

La force qui sollicite m étant égale à K^, elle sera

or on a .

y//?z'^ 4- m' ni" -h m"^

ainsi l'expression de la force qui sollicite m vers le centre de gravité du système sera

Dans le cas de la nature où n=^ — i, cette force fera décrire une section conique; ainsi les trois corps décriront trois sections coniques semblables autour du centre de gravité du système, en formant constamment entre eux un triangle équilatéral, dont les côtés varieront

sans cesse et s'étendront même à l'infini, si la section est une parabole ou une hyperbole.

Supposons maintenant que les trois quantités r, r', r" ne soient pas égales entre elles, que /•, par exemple, ne soit pas égale à r\ et repr«'nons l'équation

.r[m' /•"-'+ {m 4- m")/-"'-'] + m"a:'(/-"'-' — /•"-') — Kx,

on aura une équation semblable entre y et y, d'où l'on tirera

ainsi les deux corps m et m' sont sur la même droite q^ie le centre de gravité du système, ce qui exige que les trois corps m, m' et /w" soient sur une même droite. Prenons, à un instant quelconque, cette droite pour l'axe des abscisses; supposons les corps rangés dans l'ordre m, m', m\ et que leur centre commun de gravité soit entre m et m'. Soit

X' ^= — [KX,' x"^=i — VJ7;

les deux premières des équations («) donneront

K = ^"-'[m'(H-/jt)''-+-m"(i. + v)"], jx[m'(H- jJi)"-f-m"(i + v)«]=rm(n-jji)''— m"(v — fjL)".

Soit

nous aurons par conséquent mais l'équation

donne

d'où l'on tire

i + y = (H-[ji)(H- j), ]jL[m'+ /w"(i -h 5)"] = m — m"z"

mx -\- m'x' -\- m" x"

on aura donc

{m — m"z)[ni'-{-m"{i -+- s)"] = [m'+ /n"(i -H z)] (m — m'z").

558 SUR QUELQUES POINTS DU SYSTÈME DU MONDE. Dans le cas de la nature où ^ = — 2, cette équation devient

o = mz-'lii -i- zy — 1] - m' (i ^ zy {i — z^) — m"\{i -\- z)' — z'],

équation du cinquième degré, et par conséquent susceptible d'une racine réelle; et comme, dans la supposition de 5 = 0, le second membre de cette équation est négatif, tandis qu'il est positif dans le cas de z infini, z a nécessairement une valeur réelle et positive.

Si l'on suppose que m soit le Soleil, m' la Terre et m" la Lune, on aura à très peu près

ce qui donne s égal à, —^environ. Donc si, à l'origine, la Terre et la Lune avaient été placées sur une même droite avec le Soleil à des distances respectives de cet astre proportionnelles à i et à i 4-7^0; si, de plus, on leur avait imprimé des vitesses parallèles et proportionnelles à ces distances, la Lune eût été sans cesse en opposition avec le Soleil; ces deux astres se seraient succédé l'un à l'autre sur l'horizon; et comme, à cette distance de la Terre, la Lune n'aurait point été éclipsée, sa lumière eût, pendant les nuits, remplacé la lumière du Soleil.

Je dois observer que M. de la Grange a déjà résolu ces problèmes, dans le cas de trois corps et de n = — 2; mais j'ai cru que les Géomètres verraient avec plaisir le principe général dont ces solutions dépendent, quels que soient le nombre des corps du système et la puissance de la distance suivant laquelle ils s'attirent.