pd a

i-h rz3-h r^z^ +

(' ) OFMvres de Loplace, T.

On doit observer dans cette équation : i° que y) est le rapport de la demi-circonférence au rayon ; 2" que les signes intégral J et différentiel d se rapportent à la variable a; y que, dans le second membre, les deux premières intégrales doivent être prises depuis a~a jusqu'à a égal à sa valeur à la surface de la Terre, valeur que nous prendrons pour l'unité; 4° que les deux dernières intégrales de ce même membre doivent être prises depuis a = o jusqu'à a = a ; 5° que la fonction

exprime la somme des intégrales de toutes les forces étrangères à l'attraction des molécules du sphéroïde terrestre, multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, cette somme étant développée en série, de manière que 5, est une fonction rationnelle et entière de l'ordre i des quantités [jt., y/i — ]x- sincr, y i — P-' cosw, qui satisfait à l'équation aux différentielles partielles

On peut toujours ainsi développer les forces étrangères lorsqu'elles sont produites par les attractions et par la force centrifuge, et, dans ce cas, z^ est nul. Relativement à la figure de la Terre, on ne doit considérer que cette dernière force, et, en la nommant cng, on aura

a.z^~-^, as, = 0, a.z^— — ^{\i}—\).

(Voir les Mémoires cités de V Académie.) 6" Enfin on doit observer, après les différentiations et les intégrations, de changer r dans

a -f-aa(Yo+ Yi+ Y2 + . . .)•

Cela posé. Y,- et s, étant des fonctions semblables, si dans l'équation («) on compare les fonctions semblables, on aura d'abord

-f- 1^ j pda^— y^- Yo / pda^ -\ l pd{a^Y^) -+- aa^z^,

les deux premières intégrales du second membre de cette équation étant prises depuis a = a jusqu'à a = i, et les trois dernières étant prises depuis a = o jusqu'à a ~ a. Cette équation ne détermine ni a, ni Yo : elle donne seulement un rapport entre ces deux quantités, en sorte que Yo est arbitraire et peut être déterminé à volonté. On aura ensuite

o — .— - I pd-^- — ^" Y/ / p da^ ■i J ^ a'-* 3a J ^

la première intégrale étant prise depuis a = a jusqu'à « — i, et les deux autres étant prises depuis a = o jusqu'à a = a. Cette équation donnera la valeur de Y/ relative à chaque couche fluide, lorsque la loi des densités p sera connue.

Pour réduire ces différentes intégrales dans les mêmes limites, soit

4t) r . Y, ^ 4vî ,

l'intégrale étant prise depuis a = o jusqu'à a = î; z'. sera une quantité indépendante de a, puisque la fonction s,- en est indépendante ; l'équation (b) deviendra ainsi

o = (2/ + i)a'Y; fp da^ + 3a"+' Çp d —j-, - 3 /"prfCa'+'Y,) - Sa"-»-»^;,

toutes les intégrales étant prises depuis 0 = 0 jusqu'à a = a.

On peut faire disparaître les signes d'intégration par des différentiations, et l'on a l'équation différentielle du second ordre

d-\i\i(i + i) 6pa"|^ ôpa» dY,

— r'lL±L] ÊL^] Y —

<^«' L "^^ j'pda}\ fpda^ <^«

L'intégrale de cette équation donnera la valeur de Y, avec deux constantes arbitraires, qui seront des fonctions rationnelles et entières de l'ordre i des quantités ti,, \/i — (x'^sincr et y'i — [x^cosct, telles qu'en

les représentant par U/, elles satisferont à l'équation aux différences partielles

ôt^ -^-^+--— , + .(. + ou.

L'une de ces constantes se déterminera au moyen de la fonction s,, qui a disparu par les différentiations; elle sera un multiple de cette fonction. Quant à l'autre constante, si l'on suppose que le fluide recouvre un noyau solide, elle se déterminera au moyen de l'équation à la surface du noyau, en observant que la valeur de Y^ relative à la couche fluide contiguë à cette surface est la même que celle de cette surface. On voit ainsi que, dans ce cas, la figure du sphéroïde dépend de la figure du noyau intérieur et des forces qui sollicitent le fluide.

Si, comme nous le supposons, le sphéroïde est entièrement fluide, rien ne paraissant alors déterminer une des constantes arbitraires, il semble qu'il doit y avoir une infinité de figures d'équilibre; c'est ce qu'il s'agit d'examiner. Pour cela, nous observerons d'abord que les couches du sphéroïde doivent diminuer de densité, en allant du centre à la surface; car il est clair que, si une couche plus dense était placée au-dessus d'une couche moins dense, ses molécules pénétreraient dans celle-ci, de même qu'un corps s'enfonce dans un fluide de moindre densité; le sphéroïde ne serait donc point en équilibre. Mais, quelle que soit sa densité au centre, elle ne peut être que finie; en réduisant donc l'expression de p dans une suite ascendante par rapport aux puissances de a, cette suite sera de la forme p — ya" -h. . ., p, y et /i étant positifs ; on aura ainsi

et l'équation différentielle en Y^ deviendra

Oa^ <^ L (/i -h 3)|3 J a

Pour intégrer cette équation, supposons que Y, soit exprimé par

ùa

une suite de cette forme

l'équation diiïérentiolle précédente donnera

d'où l'on tire, en comparant les puissances semblables de a,

5(54- 5) = e(f -M) — 6 et, par conséquent,

ce qui donne

S=i — 2 et 5rr — i — 3.

Chacune de ces valeurs de s donne une série particulière qui, étant multipliée par une arbitraire, sera une intégrale de l'équation différentielle en Y,. La somme de ces deux intégrales en sera l'intégrale complète.

Dans le cas présent, la suite qui répond à s = — i — 3 doit être rejetée, car il en résulterait pour «Y, une valeur infinie lorsque a serait infiniment petit, ce qui rendrait infinis les rayons des couches infiniment voisines du centre. Ainsi, des deux intégrales particulières de l'expression de Y,, celle qui répond à s = i— 2. doit être seule admise. Cette expression ne renferme plus alors qu'une arbitraire qui sera déterminée par la fonction s^, dont elle ne peut être qu'un multiple.

La fonction s, étant nulle, Y, est pareillement nul et le centre de

gravité de chaque couche est au centre de gravité du sphéroïde. Pour

le faire voir, nous observerons que l'équation différentielle en Y,

donne

d^Y, / 6pa' \ Y, 6prt« dY,

OEuvre$ de L. — XI. 66

On satisfera à cette équation en faisant Y, = — > U, étant une fonction indépendante de a-, cette valeur de Y, est celle qui correspond à l'équation s = i — i\ elle est par conséquent la seule que l'on doive admettre. En la substituant dans l'équation (6) et supposant z^ = o, la fonction \]^ disparaît, et par conséquent reste arbitraire; mais la condition que l'origine des rayons r est au centre de gravité du sphéroïde terrestre la rend nulle. En effet, si l'on suppose

y=Yo + Y, + Y2-h...,

en sorte que r— a-i-aaj, l'expression d'une molécule quelconque du sphéroïde sera

la première caractéristique c? se rapportant uniquement à la variable a. Les distances de cette molécule aux trois plans, de l'équateur, du méridien que nous avons supposé invariable et d'oii nous comptons l'angle tj, et du méridien qui lui est perpendiculaire sont

(a-h ocaf)}!., (a + aaj) y/i — p.'^sinc7, (a + aaj) y/i — /jl^cosgt.

On aura donc, par la nature du centre de gravité, les trois équations

0=1 j f j pixdixdrjjd{a ~h (xayy,

^^=^jjj P di^dxs y/i — jx^ sincT^(a + ««/)*,

les triples intégrales étant prises depuis cr = o jusqu'à cy = 36o^, depuis \k = — i jusqu'à [x = i et depuis a = o jusqu'à « = i. En négligeant les quantités de l'ordre a% ces trois équations se réduisent aux suivantes :

^=ffjpi^d^drsd{ay),

o=:JJJpdiJ.dts\/i — ^^smTx!d{a''f),

o ^^jjjp dix dijs sji — II* COSGJ d( a*7 ).

Pour obtenir ces intégrales, je vais rappeler un théorème que j'ai démontré dans les Mémoires cités de l'Académie. Y, et U,- étant deux fonctions rationnelles et entières de |x, sji — \i? sinrj et \li — (x'' coso, la première de l'ordre i, la seconde de l'ordre i', et telles que l'on ait

ÔTH ... . ^.

on a généralement, lorsque i et i' sont deux nombres différents,

ff^i Ur dy. dtjj = o,

les intégrales étant prises depuis u = o jusqu'à tj = 36o°, et depuis [X = — I jusqu'à (Jt, = I. Cela posé, si dans les trois dernières équations relatives au centre de gravité on substitue pour y sa valeur Yo + Y, -f-Ya-h.. ., elles se réduiront, en vertu de ce théorème, aux

suivantes :

o := rrj pix dix dxss d{a^Y i),

o =1 jjjp d^Â drn ^ i — fx* sincy£/(a*Y,),

o z=zJ'J'fpd[j.dxss\Ji — |jL*cosGTc?(a*Yj).

Maintenant on a

et U, étant une fonction linéaire de [x, y^i — {x^ sincr et \lt — (x^* coso, il est compris dans la forme

Hjji + H'v/i — /A'sincj + H"v/^ — l^'cosGT,

H, H', H" étant des constantes arbitraires qui, dans ce cas, sont indépendantes de a, puisque U, en est indépendant; en substituant donc cette valeur de Y, dans les équations précédentes, on trouvera

o = Ufpda\ o=:R'fpda\ o=:Wfpda\

d'où H = o, H'= o, H"r= o; partant Y, = o, et il est aisé d'en conclure que le centre de gravité du sphéroïde terrestre est le centre dé gravité de chacune de ses couches, puisque, relativement à chacune d'elles, on a

Reprenons maintenant l'expression précédente de Y,- par une suite ascendante relativement aux puissances de a.

Dans cette suite, s est, comme on l'a vu, égal à « — 2 ; ainsi i étant supposé égal ou plus grand que 2, s est zéro ou positif. De plus, les fonctions U], U,J, . . . sont données en U/, en sorte que l'on a

Y,= /iU„

h étant fonction de «, et U, en étant indépendant. Si l'on substitue cette valeur de Y,- dans l'équation (c), on aura

d-h \ .,. , 60 a* "1 A fSpa^ dli

Le produit «(« + i) est égal ou plus grand que 6 lorsque i est égal ou plus grand que 2, et la fonction -~ est moindre que l'unité;

I p da^

en effet, son dénominateur ip da^ est égal à pa' — Ta' «5?p, et la quantité — fa^ dp est positive, puisque p diminue du centre à la surface.

Cela posé, si A et -j- ont le même signe en partant du centre, ils conserveront le même signe jusqu'à la surface. Pour le faire voir, supposons que ces deux quantités soient positives au centre ; dh doit devenir négatif avant h, et il est clair qu'il doit pour cela passer par zéro. Mais, dès l'instant où il serait nul, d^h deviendrait positif en vertu de l'équation précédente, et par conséquent dh commencerait à croître; il ne peut donc jamais devenir négatif, d'où il suit que h et dh conservent constamment le même signe du centre à la surface.

Maintenant, ces deux quantités ont le même signe au centre, car on a, par ce qui précède,

s'z=s-hn = i-\-n — a,

partant

(/iH- 3)(f4-« — 2) (/-f-n-f- 3)^'

on aura donc

ônya'-^"-*

(rt-+-3) (f-hAi — 3)(f-h/H-3)^ '

dh , . . ,. , 6/iy«*^'»-*

da ^ ' ^(„-H3)(t-h/i4-3)P'*"---'

y, P et /i étant positifs, on voit que, au centre, h et dh ont le même signe lorsque i est égal ou plus grand que 2; ils sont donc constamment positifs du centre à la surface.

Cela posé, relativement à la Terre, s, est nul lorsque i est égal ou plus grand que 3; l'équation (b) devient donc alors

0= ha*i^'fpd-^^ - {21 -h i)a' h fp da^ -h S fp dia^^^ h)\l]i,

la première intégrale étant prise depuis a = a jusqu'à a = i, et les deux autres étant prises depuis a = o jusqu'à a = a. La fonction

— {2i-hi)a'hfpda^+Sfpdia^+^k)

est une quantité négative. En effet, elle est égale à

— (21 — 2)a^+^ ph -h {21 -^ i)a' hj'a^ dp — S fa'-^^ h dp.

h augmentant du centre à la surface et p diminuant, on a

(2i-hi)a^hJ^a*dp — S fa'+^ h dp <oi

ainsi, «étant égal ou plus grand que 2, la fonction précédente est néga* tive.

II suit de là que, clans l'équation précédente, le premier facteur

n'est pas nul à la surface extérieure. Le second facteur Uj- est donc

nul, ce qui donne

Y, — o pour i^3.

L'expression du rayon du sphéroïde terrestre se réduit donc à

a4-aa(Yo+ Y2).

Sg est, comme on l'a vu ci-dessus, égal à — -((Jt.^ — i)î ^^ formule (b) deviendra donc

{€) o:=[|r]a«/prfA-^^/p^a«+^/prf(a»A)]u,-|a«(fx^-i). A la surface, l'intégrale fpdh = o; on aura donc à cette surface, où

l-nhfpda^-^fpd{a^h)

Soit aç le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur; l'expression de la pesanteur étant, aux quantités près de l'ordre a, égale à l^iCp da^* on aura

partant

ifpd{a>h)

Le rayon du sphéroïde terrestre, à la surface, sera donc

i-t-aYo —

\fpd{a^h)