i-^)î+' Jx'^dx {}-x'Y
l'intégrale du numérateur étant prise depuis x' =^x jusqu'à a?' = i , et celle du dénominateur étant prise depuis x' =0 jusqu'à x' =^\\ donc la probabilité que/?' est compris depuis /?'= o jusqu'à/?' = s est
ÇÇscP dx{ï — x)ix'^ dx'{i — x')f' (' f'xP dx{\ — x)^ x'^dx'{i — x'Y
les intégrales du numérateur étant prises depuis x'=:x jusqu'à x'= i , et depuis x^=o jusqu'à x = i\ celles du dénominateur étant prises depuis x et x' nuls jusqu'à x et x' égaux à l'unité. Si l'on applique à cette formule l'analyse que nous avons donnée pages 4^9 et suivantes de ceVolume(^), on trouvera que, si s est moindre et très peu différent
pqi ^ j dte~^^
de^j la fraction précédente sera à très peu près égale à •= — ■= — > e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, tc étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et l'intégrale relative à t
(*) Œuvres de Laplace, t. X, p. 264 à 267. (') Ibid., p. 3 10 et suivantes.
ET LES MORTS, ETC. ki
étant prise depuis t = T jusqu'à ; = oo, T étant donné par l'équation
(-£ '—Xip + gy{s + q'f
isq'{p + qY-\- ipqis-V-q'Y
On trouvera pareillement que, si s est plus grand que ^-^ et qu'il en diffère très peu, la fraction précédente sera à très peu près égale à
I — - — p — > l'intégrale étant prise depuis ^ = T jusqu'à / = oo. Il suit de là que la probabilité que/?' est compris entre les deux nombres^
et s', dont le premier est moindre et le second plus grand que —,
est égale à
fdte-'' fdte-''
la première intégrale étant prise depuis / = T jusqu'à t = 00, et la seconde intégrale étant prise depuis ^ = T' jusqu'à / = 00, T et T' étant donnés par les deux équations
,l^)(P^çyis-^çy
2sq'
{p + qf-+--i.pq{s-\-q'Y
Supposons
2s' q'{p + qy-h 2pq{s' -h q'f
CT étant une très petite fraction ; si l'on néglige les quantités de l'ordre ct', les deux valeurs de T" et de T'^ deviendront égales entre elles
et à —, — lÎS^ : ainsi, en nommant V^ cette dernière quantité et
en désignant par P la probabilité que le nombre />' sera compris dans
), or
fdt.
les limites — (i — cr) et — (i + ct), on aura
2 / ate-' V = i -^ — ,
Œuvre» de L. — XI.
l'intégrale étant prise depuis / = V jusqu'à ^ = co. Cette expression fort simple de P a l'avantage d'être exacte jusqu'aux quantités de l'ordre ct\ car les termes de l'ordre zs\ que nous avons négligés, se détruisent d'eux-mêmes dans la quantité
fdte-''- fdte-^'-
v/tt sJ-k
que nous avons trouvée ci-dessus pour l'expression de P.
Il est facile d'appliquer ces résultats à la théorie de la population déduite des naissances, car on peut considérer chaque naissance annuelle comme étant représentée par une boule noire, et chaque individu existant comme étant représenté par une boule blanche; le premier tirage sera le dénombrement dans lequel on a observé que sur q naissances le nombre des habitants est/), et le second tirage sera la population de la France entière dont le nombre q' des naissances annuelles est connu, tandis que la population correspondante />' est inconnue; P sera dans ce cas la probabilité que la population p' de la France est comprise dans les limites — ( i — cr) et -~-{i -}- cr) ; on aura
ainsi cette probabilité par une formule très simple.
Il est facile d'en conclure le nombre auquel p doit être porté pour avoir une grande probabilité que l'erreur sur la population p' de la France entière sera peu considérable. La recherche de ce nombre devient nécessaire si l'on veut faire un nouveau dénombrement pour déterminer le vrai facteur par lequel on doit multiplier les naissances annuelles; ainsi nous allons entrer dans quelques détails sur cet objet.
Pour cela, nous supposerons
pq' p=^iq, i-L^xi5^=za;
nous aurons, par conséquent, cj = ^,, et l'équation
donnera
Cette valeur de p suppose que l'on connaît a, q', V et i. La valeur de a dépend des limites entre lesquelles on suppose que l'erreur du résultat — est comprise; nous ferons ici a = Sooooo. La valeur de q' est
donnée par les naissances annuelles dans toute l'étendue du royaume, et nous avons vu que q'=^ 978054, 5. La valeur de V dépend de la probabilité P que la population de la France sera comprise dans les limites
— — a et — -ha; nous supposerons ici que cette probabilité est de
1000 contre" i, en sorte que P = \~j : nous aurons ainsi
OU
fdt
\Jtz iooi J 2002
L'intégrale devant être prise depuis t = y jusqu'à t =cc, il est clair que cette équation détermine V, et l'on trouve V^= 5,4i5. Quant au nombre «, il dépend du rapport de p k q qui résulte du dénombrement; mais, s'il s'agit d'un dénombrement à faire, ce rapport est inconnu. Cependant les dénombrements déjà faits donnent à peu près 1 = 2.6; ainsi l'on est assuré que le facteur i s'éloigne peu de ce nombre. Nous supposerons donc successivement i = 25^, « = 26, i = 26^, et nous aurons, pour les valeurs correspondantes de p,
c'est-à-dire que, pour avoir une probabilité de 1000 contre i de ne pas se tromper d'un demi-million dans l'évaluation de la population de la France, il faut que le dénombrement/?, dans le cas où il donne le premier facteur, soit de 727510 habitants; qu'il soit de 771469 habitants dans le cas du second facteur, et de 817 217 habitants s'il conduit au troisième facteur.
De là je conclus que, si l'on veut avoir sur cet objet la probabilité qu'exige son importance, il faut porter à i 000000 ou i 200000 habitants le dénombrement/? qui doit déterminer le facteur i.
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