CHAPITRE PREMIER

FORMULES DES INEGALITES PLANÉTAIRES DÉPENDANTES DES CARRÉS ET DES PUISSANCES SUPÉRIEURES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS DES ORBITES.

Des inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités

et des inclinaisons.

t. Pour déterminer ces inégalités, je reprends l'équation du n° 46 du Livre II,

On a, par les n°' 20 et 22 du même Livre,

r = fl[n-^e2 __ ecos{nt -i- e — cj) —{e^ cos(2n/ -i- 2e — acj)]; l'équation différentielle précédente devient ainsi

d^.rèr o^ — '— \- n^,rdr-'r 3n^aèrlecos{nt -h e — gt) + e^ cos(2/i/ -i- 2e - 2gt)]

df^

2/dR + r

âK dr

Maintenant tous les termes de l'expression de R dépendants du carré et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites peuvent être ramenés à l'une ou à l'autre de ces deux formes

Mcos[i{n't — ni -i- 1'~ e) h 2nf 4- K], N cos[i(«'/ — n/ 1- e'— e) -i- L],

i étant susceptible de toutes les valeurs entières positives et négatives.

en y comprenant zéro. Considérons d'abord la première forme. Elle donne dans 2/dR-i-r-r— la fonction

■ / , -.-^ M-i-a-r— Q,os\i[nt — nt-^z'—i]^ 2nf + K|.

\in'-i-[i — i)n da ) ^ ^ ' -^

On a VU, dans le Livre II, que la partie de — qui dépend des angles

i[n't — nt -\- î' — e) el i[n't — nt -\- s! — t)-\-nt-\-z

est de cette forme

Fcosi(n'i — «/-+- e'— e) H- eGcos[/(/i7 — nt + e'— e) + n/ 4- e — cr]

H-e'Hcos[i(n'/ — nt h- e'— e) + nf + e — gt']; la fonction

Zn^aàr\^eQ,os[nt -h e — gt) -h e^ 003(2/1/ + 2e — 2gj)]

produira donc la suivante

g l (F -f- G) e2 cos[/(n7 — «/ + e'— g) -I- 2n/ -i- 2e — 2rô] |

^ ( -t- Hee'cos[/(/i'/ — n/ H- e'— e) H- 2/1/ + 26 — cj— in'] f'

ainsi, en n'ayant égard qu'aux termes dépendants de l'angle

et en observant que, si l'on fait (x = i, ce qui revient à prendre pour unité de masse celle du Soleil, en négligeant la masse de la planète, on a n^a^ = i; l'équation différentielle en r%r devient

d^.rdr ^ , „ „ ( (F + G) e2cosri(/î7 — /i/-i-e' — e) 4- 2/i/ + 2e — 2gj1

dt^ ■* ( +Hee cos[z(/i / — /i/-i-e — e) -;-2/i/ + 2e — GT — nj ]

4- /i2 «2 ( ^ JAz:li!i a M -i- a2 -- ) cos [f ( /i7 — /!/ + e' ~ e ) + 2 /i/ + K 1,

\in!-+[7.~ i]n da ) ^ ^ ' ^

d'où l'on tire, en intégrant,

2 j (F-hG)e2cos[f (/i'/ — /if-f-e' — e)H-2/i/H-2e — 2ct] | I -1- Hee'cos[/(/i'/ — /i/ + e' — e) H-2/i/H-2e — cj — cj'] j