aM-t-a2-— )/i2cos[/(/i'/ — /i/+e' — e) + 2/i/H-Kl
//i -+- ( 2 — i ) /î oa / ^ ^ ' -•
Si cette expression de -^ est considérable, et si l'un des diviseurs
m'+(3— î')7i, m'+(i — î)/i est très-petit, comme cela a lieu dans la théorie de Jupiter troublé par Saturne, lorsque l'on suppose i= 5, 271 étant à très-peu près égal à Sn', la variabilité des éléments des orbites a une influence sensible sur cette expression ; il importe donc d'y avoir égard. Pour cela, nous mettrons l'équation difl^érentielle en rSr sous cette forme
o= — ^^ f- n^rèr-h n'^a^P cos[i(/i7 — nt -]- e'— e) + snf h- 2e]
-h n^a^V sinli [n' t — nt -+- e'— e) -h int-\- 2e].
En l'intégrant et négligeant les termes dépendants des différences secondes et supérieures de P et de P', nous aurons
rSr n^
«2 ^ifi'-^(^3 — i)n][in'-h[i — i)n]
I 2[i{n-n]-+-'in]~
(B) / \ P -+- -r-^/— 7-0 -x 1 r ■ / ; r-—; COS[/(«V — «;-;-»'— î)-f-2/?/-f-2s]
\ L [in'-i-{i — i)n][in'-h[i-i)n]J "-^
La formule (Y) du n° 46 du Livre II deviendra, en y faisant u. = i ,
I7.d{r§r) 1 l [Y^Çj)e^%m[i{n't — nt-{-z'—z)-Y-int-\-iz — iv!] ) n^.ndt ^\ -^\\ee'sm{i[n't — nt-i-t' — z)^--i.nt-\-it — u — cr'] | i i r 2— 1 i
I I (6 3/)/î' -, da I . r./ » / V »rn I
-^ r-7— ; V-^«M-!---T ■. :— Sin[i/îV — «; + £'— £-H2«f-f-K] 1
\ \[in^[i~-i)nY in -^ {"i. — i) n J "- ^ ' \/
(C) (Tp^
En donnant à i toutes les valeurs entières positives et négatives, en y comprenant zéro, on aura toutes les inégalités dans lesquelles le coefficient de nt surpasse ou est surpassé par celui de n't de deux unités. Si le coefïïcient in'-\-[2. — i)n est très-petit, et si cette inégalité est très-sensible, comme cela a lieu dans la théorie d'Uranus troublé par Saturne, alors on mettra la partie de R, dépendante de l'angle
i{n't — nt — e'— e) 4- :int + 2£ sous la forme suivante
Qcos[/(n7 — «/ :-e'~e) — 2n/-i-2e] -f-Q'sin[i(n7 — nt ^ e'— e) 4- aw/ -r 2e],
et l'on aura
[^/^ -t-(2 — /)/î]^ \ in-^[i — i]n/ "• ^ '
La formule (Y) du n° 4-6 du Livre II donnera ainsi
■id{rSr) 1 l (F-hG)e2sin[/(«7 — «^-i-î'— s) -4-2«f -f-2£ — 2ct]
a^ndt *| H- Hee'sin[/(«V — «/ h- s'— £ ) -;- 2 «/ -+- 2 s — cr— u']
Je supprime, pour plus d'exaplitude , le diviseur y/i — g* dans cette expression de Sç', parce que ce diviseur n'affecte point, comme on l'a vu dans le n° 65 du Livre II, la partie de cette expression qui a pour diviseur le carré de in'+ (2 — i)n, et, dans le cas présent, cette partie est beaucoup plus grande que les autres. De plus, en vertu du même numéro, il faut appliquer cette partie de "^v au moyen mouvement de la planète m, et, comme elle est à fort peu près égale à l'inégalité entière dépendante de l'angle i(n'l — nt H- 1 — e) -1- 2nt — 2e, on peut appliquer cette inégalité entière au moyen mouvement de m.
On aura les valeurs de -r-> — ,— » -.— et -^ en différentiant les ex-
dt dt dt dt
pressions de P, P', Q, Q' par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites, aux positions de leurs périhélies et de leurs nœuds, et en substituant, au lieu des différences de ces quantités,
leurs valeurs. Mais on aura plus simplement ces valeurs de -j--> etc.
