LIVRE VI
on peut donc négliger les inégalités de ^r" dont le coefficient est audessous de ± 0,000001 . Nous négligerons les inégalités du mouvement de la Terre en longitude, au-dessous d'un quart de seconde.
Inégalités de la Terre indépendantes des excentricités.
èi>" =
- 1 8", 56'] 565. sin 7. [n't --
— '3.",'2g^58'2.sin3[n' t —
n"t-yt'
n!'tA-z'
— o",28i5ii.sin5(Ai'^ —
-- o'^ i32i i3.sin6{^i'i —
-- o",o67984.sin7(w'^ —
— o",o3']'20i.sin8[n' t —
i",3i8563.sin [n'" t -
-{- 1 0", 75o 1 1 5 . sin -2 [n'" t —
— 0", 664350. sin 3 (n'^^ -
ïi"t-\-z"'
- 0", I45I3o.sin4(;^"7 —
- 0^,048984. sin 5 (/i'"/ -
— o",oi993i .sin 6 (rt'" if —
— o'',oo90'2'2.sin7(«"'^ —
21", 787201 .sin [n^^ t —
- 8'',25388o.sin2(Ai'''/-
- 0", 5 1 7808. sin 3 (/î'^^-
— o",o5io76.sin4(W"? —
l^ 356204. sin [n't -
-- 0", 34-2623. sin 2 (n'f —
— 0", 01 2792. sin 3 (w^/ —
0,000001 5553 — 0,00000600 12. CCS [n H- o , 0000 1 7 1 43 1 . CCS 2 [n 6r"=: (i-f-^') I + 0,0000027072. ces 3 (« 10, 0000009358 .cos^{n -;~ o , 0000004086 , ces 5 [n -i- o , 0000002008 . cos6 In
-n"tA-
fi'
~n"tAr
MÉGANIQUE CÉLESTE.
+ o , 0000005487 . cos [n'" l — n" t -^ e'"
— o , 0000006475 . cos 3 [n!" t — n" t -v- t'"
— 0,0000001643. cos 4 (w'"^ — n" t -h- e'"
-f- o , 0000 1 59384 .cos («" / — n" / + e "
— 0,0000090986. cos 2 (n"^ — n" t -;- e"''
— o,oooooo655o.cos3(n"^ — n" t -^ t^"
— 0,0000000704. cos 4 ('î''^ — n" t -\~ e"
— o,ooooooo58o
-f- 0,00000 10337. cos ('^'^ — n" t -.- i"
— 0,0000003859. cos 2 (/?,'/ ~ n" t -T- 1"
Inégalités dépendantes de la première puissance des excentricités.
àv"--
— 3", 381490. s + 6", 597 7 II. s
H- 1" ,^C)loHl.S
-i- i",87i6oi.s
n t in' t 111" t in"t 3n"t - 3n"t
m'" t - ■2n"'t - 3n"'t - 3n"'t f[n"'t - /in"'t - Cm"'t -
n" t 4n"t + m'' t in^'t - 3n'U- -inU - ■în"t -
- n" t -^ iz'
- n' t -V- 2 1" '- n t -h 2£" -in't +3£"
- in' t -\~ 3e" -3/i'? -i-4e" -3n't +46" ~ ^n' t H- 5e"
- n"t +2e"' ~in"t -4- 3 e'" -in"t +3e'" -3n"f +4e'" -3n"t -f-4£'" ~f^n"t +5e'"
e--sj")
- n" t -V- 2 e" -in"t H- Se'"
- n'U-{-ii"
■^') ^") îd") Gï'") ^")
CJ J
- e" -e- -2 e" -rn-
- e--îD"
— e'^ — ro'^
— i", iio867.sin(n';-'re^— TO^)
— o",46837i.sin('2«^; — n" t +11" — t"
— o , 0000080439 . cos [Zn" t — 2 w' ^ + 3 e" — '2e'-
— o, 000004981 5. cos ( 4 w"^ — 3n' t + ^z" — 3e' - + 0,00000 15895. cos (4^"^ — Zn! t + ^t" — 3s'-
o , 00000 17707. cos ( ^n'" t — 3 n" ^ + 4 &'" — 8 1"-
— o,ooooo3o4ïo.cos(2/i"'f — n"t + 'îz'^ — e" -i- 0,00000 lîôSa. cos (2 «"'^ — n"t ~\- it'^— e"--
— 0,0000018101 .cosfS/î'"; — in"t H- 3e" — iz" -
m ht'
Inégalités dépendantes des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites.
v"= (! + ;/'). 3",473997.sin(5n'7-3/i'/ ^-5^"-3e'-|-'23^3759) ^ 3", 067702. sin(4«/"^ — inU + 4e'"— 2e"+ 75'',35o6) 1
( -M",o85790.sin(5/i'"^- 3w'7-T-5e"'- 3£"+ 76°, 0214;
En vertu des rapports qui existent entre les moyens mouvements de Vénus, la Terre et Mars, 5n"— 3n' et ^n" — iii' sont de petits coefficients, en sorte que, par le n° 3, les deux premières de ces inégalités sont les seules de cet ordre qui doivent être sensibles. On a cependant calculé la troisième, parce que 3/i"— 5/^" n'étant à peu près que le tiers de ri' , il était utile de s'assurer que cette inégalité n'acquiert par cette considération qu'une valeur très-peu sensible.
Inégalités dépendantes du cube et des produits de trois dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites.
Sv"=^ (n- fi).o",'2i5787.sin(«/ — 4^"^ -f- e — ^e"-\' -21°, iSoiî).
Inégalités périodiques du mouvement de la Terre en latitude. On a trouvé, par les formules du n° 51 du Livre II,
o",3o6ji'i.sin{').n"t - n' t -a- iz" — e' — 6'
H- o", 723012. sin(4n"i - 3n'i + 4e" — 3e'— ô'
o", 508343. sin( -in'*/— n"/H-ae'^— e"— 0'^
Inégalités de la Terre dépendantes de l'action de la Lune.
30. Si l'on nomme U la longitude de la Lune vue du centre de la Terre, et v" la longitude de la Terre vue du centre du Soleil; si l'on nomme encore R le rayon vecteur de la Lune, et r" celui de la Terre; enfin, si l'on désigne par m et M les masses de la Lune et de la Terre, et par s la latitude de la Lune; on a vu, dans le Chapitre IV, que l'inégalité du mouvement de la Terre en longitude, produite par l'action de la Lune, est
— :^ -,; Sin U — V').
L'inégalité du rayon vecteur de la Terre est
-^Rcos(U-."),
et l'inégalité du mouvement de la Terre en latitude est
Il faut, pour plus d'exactitude, substituer v. — au lieu de ^^ dans les * *^ M + m M
expressions de ces trois inégalités.
Nous supposerons , conformément aux phénomènes des marées
(Livre IV, n°* 31 et 35),
S étant la masse du Soleil. Or on a, par la théorie des forces centrales,
n^t étant le moyen mouvement de la Lune; on a donc
m 3n^'^ M H- />i ~~ nf
n" Suivant les observations, — = 0,0748013, ce qui donne
et, par conséquent.
Nous supposerons ensuite la parallaxe horizontale du Soleil égale à
27", 2, et la parallaxe moyenne horizontale de la Lune égale à 10661",
d'où l'on tire
et conséquemment
dr"= — 0,00004^808. CCS (U ~v").
En prenant ensuite pour s la plus grande inégalité de la Lune en latitude, que nous supposerons égale à 57231". sin(U — 6), U — G étant la distance de la Lune à son nœud ascendant, on aura
pour l'inégalité du mouvement de la Terre en latitude; il faut l'ajouter à la valeur précédente de h" pour avoir la valeur entière de h". Cette valeur entière, prise avec un signe contraire, donne les inégalités du mouvement apparent du Soleil en latitude. Elle influe sur l'obliquité de l'écliptique, conclue de l'observation des hauteurs du Soleil vers les solstices : elle influe encore sur le moment de l'équinoxe, conclu des observations du Soleil vers les équinoxes, et sur l'ascension droite et la déclinaison des étoiles, déterminées par leur comparaison avec le Soleil. Vu la précision des observations modernes, il est nécessaire d'y avoir égard. Il est facile de voir que la déclinaison apparente du Soleil en est augmentée de la quantité
ô*". cos(obliqiiilé de l'écliplique) CCS (déclinaison du Soleil)
OEuvres de L. — UI. l5
et que son ascension droite apparente en est augmentée de la quantité
ô/'.sin (obliquité de l'écliptique).cos (ascension droite du Soleil ) cos (déclinaison du Soleil) '
il faut donc diminuer de ces quantités les déclinaisons et les ascensions droites observées du Soleil, pour avoir celles qu'on observerait si la Terre ne quittait point le plan de l'écliptique.
Des variations séculaires de l'orbe terrestre, de l'équateur et de la longueur de l'année.
31. Nous avons donné, dans le n° 26, les variations séculaires des éléments de l'orbe terrestre; mais l'influence de ces variations sur les phénomènes les plus importants de l'Astronomie nous engage à les déterminer avec plus de précision, en ayant égard au carré du temps. t exprimant un nombre quelconque d'années juliennes écoulées depuis 1750, on a trouvé, par la méthode du n'^ 58 du Livre II, et en adoptant les valeurs des masses des planètes données dans le n*^ 21, le coefficient de l'équation du centre de l'orbite terrestre égal à
"îE — ^.o",'579i3o — t' .0" yOoooîO'^^^Q,
2E étant ce coefficient au commencement de lySo, où t est nul. On a trouvé pareillement la longitude sidérale du périhélie de l'orbe terrestre égale à
xs"+ ^36", 881443 + «2.0", 0002454382.
Enfin, les valeurs de/?" et de q", pour un temps quelconque t, ont été trouvées respectivement égales à
Nous avons présenté dans les n°^ 6 et 7 du livre V les formules de la précession des équinoxes et de l'inclinaison de l'équateur soit à une écliptique fixe, soit à l'écliptique vraie; mais ces formules supposent
que la valeur de p" est sous la forme lcsïn{gt-+-^), et que q" est sous la forme lccos{gt + ê). On a vu, dans le n° 59 du Livre II, que les expressions finies de p" et de q" se présentent sous ces formes, et l'on peut déterminer, par la méthode exposée dans le n° 56 du même Livre, les valeurs de c, g, ê, etc.; mais cela suppose les masses des planètes exactement connues, et l'on a vu l'incertitude qui existe encore à cet égard. Ainsi, au lieu de faire le calcul pénible que cette méthode exige, il est préférable de le simplifier en n'étendant les résultats qu'à mille ou douze cents ans avant et après l'époque de lySo, ce qui sufEt aux besoins de l'Astronomie. On pourra facilement recommencer ces calculs à mesure que le développement des variations séculaires fera mieux connaître les masses des planètes. Donnons aux valeurs de/?" et de q" les formes suivantes, comprises dans cellesci, 2csin(^^H-ê), 2ccos(^/-f-ê),
csin
ê — ccosSsing-; — csinêsin (g-7+ - j,
c cosê — c cosê cosg'^ — c sinê ces ig't H J >
TU étant la demi -circonférence dont le rayon est l'unité. Si l'on développe ces deux fonctions par rapport aux puissances du temps t, on aura, en les comparant aux séries précédentes.
cg cos6=: — o",236793,
Cg-^cosêr^: o", OOOo4l65o6,
d'où il est facile de conclure
g-=:-iii",978, csinê= i7967",o,
sinê sinê
i", 5461 56, o",oooi33o55o,
c CCS ê = 1 346", 2 I .
Maintenant on a vu, dans le n^ 6 du Livre V, que la précession ^ des équinoxes par rapport à l'écliptique fixe de 1760 est, en ne considérant que les variations séculaires,
1 1 lang/j -I- colA y sin( /V 4- g)
Pour avoir 2 c sin (/^ + ê), il faut, par le n*' 5 du même Livre, augmenter, dans lcsin{gt^ ê), l'angle gt-h^ de h, ce qui donne/— g-i- l; on aura ainsi
lcsin[ft-\-S] = csin{lt-{-&) — ccosSs'm[g^t-hlt) — csinêsin ig-'t-hlt-^- - | ;
par conséquent,
^ = lt-\-^-\-c col h s'm{lt-{-6)— ccosê f cot/i— j-^ langA j sin{gt-^lt)
— -, 7 cslnê (cot/t — y-- — 7 lang/j 1 sin isr't'r-lt h — | •
En nommant ensuite V l'inclinaison de l'équateur à l'écliptique fixe de 1760, on aura, par le n** 6 du Livre V,
V=A-2yC0s{/i+6).
Pour avoir 2ccos(y^-i~ ê), il faut, par le n" 5 du même Livre, augmenter, dans 2ccos(^i-f-ê), l'angle ^^4- S de lt\ on aura ainsi
2ccos{//-f-6) = ccos{/f + ê) — ccos6cos(g-; + /^) — csinêcos (g-7 + /f+ - | ;
partant,
V= A — ccos{// + ê) -\- -. ccos6cos(g^f + It)
