CHAPITRE XV

DE QUELQUES EQUATIONS DE CONDITION QUI EXISTENT ENTRE LES INEGALITES PLANÉTAIRES, ET QUI PEUVENT SERVIR A LES VÉRIFIER.

39. Les inégalités à longues périodes, produites par les perturbations réciproques de deux planètes m et m', sont à peu près, par le n° 65 du Livre II, dans le rapport de m'sja' à ~-m\ja, en sorte que, pour avoir les perturbations de ce genre correspondantes, dans le mouvement de m', à celles du mouvement de m, il suffît de multiplier

celles-ci par — ^ v^- Ce résultat est d'autant plus exact, qu'en vertu msja'

du rapport qui existe entre les moyens mouvements des deux planètes, la période de ces inégalités est plus grande par rapport aux durées de leurs révolutions. Nous allons, au moyen de ce théorème, vérifier plusieurs des inégalités précédentes.

L'action de la Terre sur Vénus produit, par le n° 28, dans le mouvement devenus, les deux inégalités dont la période est d'environ quatre années,

— 4",78256i.sin(3n"i-2n7 + 3e"— 2e'-5j')

+ i4",7io9oa.sin(3»"< — nn't-h 3e"-- iz'—m").

En les multipliant par — ^~^^ on a, pour les inégalités correspondantes de la Terre,

3",4995.sin(3n"/ — in't -h 3e"— 2e'— xs'

— 10", 7644. sin {3»"/ — in't -+- 3e"— it'— xs").

Le calcul direct a donné, par le n° 29, pour ces inégalités,

3^ 66 1 696. sin( 3 n'7 — in't + 3ê"— -îe'— xs') — ii",-ii%i^'].sm[^n"t — in't + ?>z"—iz'—xs"),

ce qui diffère peu des inégalités précédentes.

L'action de la Terre sur Vénus produit encore, par le n*" 28, l'inégalité suivante, dont la période est d'environ huit ans :

— 4",645i72.sin(5»";— 3n7 + 5e"— 3e'+a3°,^3o-2).

En la multipliant par -- -^^—^ on a, pour l'inégalité correspondante

m" sja"

de la Terre,

3'',399002.sin{5/i'7 — 3n7 -4- 5 e"— 3e'+ :i3°,a3oci),

et le calcul direct a donné, par le n° 29,

3",473997.sin(5n'7-3/i7 + 5£"-3e'-f-23°,3759).

Mars éprouve, par l'action de Vénus, comme on l'a vu par le n" 32, l'inégalité à longue période

— cii",-295i2i.sin(3/i"7— n'^ + Se'"— e'H- 72°, 7083).

En la multipliant par rW' ^^ ^

6'',4i44.sin(3/i"'^ - n't + 3g'"- 6'+ 72°, 7083) .

Le calcul direct donne, par le n° 28,

6", 202706 . sin ( 3 n"'t — n7 + 3 e'"— e' + 73", 2o65 ) ,

ce qui diffère peu de l'inégalité précédente.

Mars éprouve, par le n" 32, de la part de la Terre, les deux inégalités suivantes, dont la période est d'environ seize ans :

— 3 1 ", 2 1 8207 . sin ( 2 n"'t — n"t + i z'"- z" - cj'" ) + i5%8i 1920. sin (2/1'"/ — n"t + 2e'*— e"— rs").

>n"' In'"

En les multipliant par ^î on a, pour les inégalités correspon-

m" sja"

dantes de la Terre,

6",88o7.sin(2w"7 - ti"t + iz'"- t"- c/") - y, 485 1 . sin ( -î n'"t -n"t^ i s'" - e" -w").

Le calcul direct donne, par le n° 29,

6", 5977 1 1 . sin ( 2 n"'t - n"t + 1 z'"- e"- m'" ] - y. 38 1 490 . sin ( -2 n"7 -n"t-\-i e'"- e"- sj'^ ) ,

ce qui diffère peu des précédentes.

Mars éprouve encore, de la part de la Terre, par le n" 32, l'inégalité à longue période

— i3",49o44i .sin(4n"'^ - in"t + ^e"- -2 s" h- 75°.35i8).

m'" d'à"' En la multipliant par r^^' ^^ ^' P^^^ l'inégalité correspondante

m" ^ Cl"

de la Terre,

2",9734.sin(4n"7-3n'7+4e'"-2£"+75°,35i8),

ce qui diffère peu de l'inégalité

3",o677ocs.sin(4Aî"7 - ■în"t + 4e'"— 2e"-f- 75°,35o6),

trouvée dans le n*^ 29.

Les deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne sont encore à peu près l'une à l'autre dans le rapport de — m' sja' à m" \la'\ comme il est facile de s'en convaincre.

Enfin Uranus éprouve de la part de Saturne, par le n*^ 37, l'inégalité à longue période

— 408^978001 .sin (3 w^'/ — rVt + 3e^' - z"— 98°,i3i3).

En la multipliant par — --» on a, dans le mouvement de Sa-

turne, l'inégalité

99",90o.sin(3n^'^ — n'/ + Se'"— s''— 98% i3i3),

ce qui diffère peu de l'inégalité

95",334222.sin(3n^'f — TVt+ 3e^'— e'— 97°, 1319),

donnée dans le n° 35 (*).

40. Considérons, dans le développement de R, le terme de la forme

m! W^^ ee' cos\^i[n' t — nt -\- e'— e) -+- int + iz — xs — cj'],

et supposons que i{n'— n) + in soit fort petit par rapport à /ï et à n'\ ce terme produira, par le n** 69 du Livre II, dans l'excentricité e de l'orbite de la planète m, considérée comme une ellipse variable, l'inégalité

— -ri—, r W^^ e' cos\ i in' t — nt -h e'— gj + anf+^e — gj — gt'1,

i[n — n) -\' nn ^ ^ ' -•

et dans la position u du périhélie l'inégalité

m' an ,„,xe' . r-/ / , v

— VT— j r M(<J— sml lin /— nt+ e — e + int -\-it — m— gt 1.

i\n — n]-^'xn e ^ ^ ' ^

Nommons Se la première de ces inégalités, et Sa la seconde. L'expression de V contient le terme ieûn(nt + e — cj), et par conséquent l'inégalité

■iàe sin [nt -\- t ~ Xxs) — le àrs ces ( n/ 4- e — zn ) ,

ce qui donne dans v l'inégalité

/(n'-'^^+c.n M^')^'sin[(/ -i) [n't - nt + e'- e) + n't + e'- gt'].

(*) L'inégalité donnée dans le n" 35 [voir page 144) est

95",757344sin(3«^'/ - n" t -f- 3e^' - e" - 95°,0779), valeur un peu différente de celle qui est rapportée ici. V. P.

Il résulte du n° 65 du Livre II que, dans le cas de i{n'— n) -h in trèspetit, l'expression de R' relative à l'action de m sur m' renferme encore à très-peu près le terme

mM.(*iee'cos[i{n't — nt -+- e'— t) -{- 7.111 -h i£ — rn — us'];

puisque, en n'ayant égard qu'aux deux termes de ce genre dans R et R', on a, par le numéro cité, à très-peu près

m/dR + /n'/d'R'=o, on a donc dans v' l'inégalité

■2ma'n' ,,,, . r, • ^ , , , ^

Ces deux inégalités de v et de v' sont dans le rapport de m'e' \ja' à mesja, en sorte que la seconde se conclut de la première, en multipliant le coefficient de celle-ci par ^^^. — •

m' \Ja' ^

5n"— 3/i' étant peu considérable par rapport à n' et même à n'\ on a dans v', en supposant i= 5, une inégalité dépendante de l'argument 5n"t — 4/i7h- 5e"— 4^'— ^'\ et dans p" une inégalité dépendante de l'argument ^n"t — "dn't 4- 4^"— Se'— ct'. La première de ces inégalités est, par le n° 28,

6",7794o5.sin(5«'7-4/i7 + 5e"-4e'-c3").

En multipliant son coefficient par "^ ^^ %, on a pour la Terre l'iné-

m" sja" ^

galité

2",o3io.sin{4/i'7 — 3/i7-t-4£"— 3e'— gt');

le calcul direct donne, par le n° 29, l'inégalité

2", a297o4.sin(4«"^ — 3w'/4- 4e"— 3e'— gî'),

ce qui diffère peu de la précédente.

Pareillement, [\tï" — in!' est assez petit relativement à n", et même

à ri". En supposant / = 4» on a dans v" une inégalité dépendante de l'argument [\ri" t — Zn!' t -\- [\t" — ^^^' — vs"\ et dans v'" une inégalité dépendante de l'argument 3n"'/ — iri't + 3e"— iî' — cj". La première de ces inégalités est, par le n° 29,

•2",49io8a.sin(4/i"7- 3/i"/ + 4e'"- ?>^' ~ gî'").

En multipliant son coefficient par - — ^-=. —,-. on a pour Mars l'inégalité

m!" \ja!" ^

2",o4i5.sin(3n'"/ - 9.n'7 + 3e'"- ae"- cj"). Le calcul direct donne, par le n° 32,

2", 6 1 1 1 23 . sin { 3 «'"/ - i ri't + 3 e'"- i z" - cr" ) ;

la différence est dans les limites de celle que l'on peut supposer, d'après le rapport de [\Ti" — in" à ri", qui est à peu près celui de i à 4-

41. Il résulte encore du n° 71 du Livre II que, si i(ri — n) -\- 2n est très-petit par rapport à ri, l'inégalité de m en latitude, dépendante

de (z —\){rit — nt -{- 1' — t) -{- rit + e', est à l'inégalité de m' en latitude, dépendante de (i —■ \)(rit — nt^ t' — t) -^ nt -\- 1, dans le rapport de m' \[â' à - msja.

En supposant / = 5, on a, par le n° 28, dans le mouvement de Vénus en latitude, l'inégalité

-o",9646i5.sin(5n"/-4n'f + 5e"-4e -Ô').

En multipliant son coefficient par — —7^' on a, dans le mouvement

de la Terre en latitude, l'inégalité

o",7o5835.sin(4n"/-3n'/ + 4e"-3e'-0').

Le calcul direct donne, par le n° 29, l'inégalité

o",723oia.sin(4n"/ — 3/i7 + 4e"— 3e'— 0'),

ce qui diffère peu de la précédente.

^rf' — n"' est peu considérable par rapport à /i""'; en faisant donc i—'d, on a dans S5' une inégalité dépendante de ?>n""t— irCt-^- Se"'— 2s'', et dans ts" une inégalité dépendante de in'H — rCt -\~ :it" - ^'. La première de ces inégalités est, par le n** 36,

2", 046-267.8111 (3 71"'; — -2/1^/+ Se'"— iz" — \i"),

II'' étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite d'Uranus sur celle de Saturne. En multipliant le coefficient de cette inégalité par

^^^î on a dans ^s"' l'inégalité

— 8", 37 7-2 . sin ( rirV" i — «^ / 4- 2 e"" — e^ — II'' ) , et, par le n° 38, cette inégalité est

— 9",oi559'2.sin(2«''^ — iVl+is,"' — s' -H^') , ce qui diffère peu de la précédente.

42. Il suit du n^ 69 du Livre II que, i'n'— in étant supposé trèspetit relativement à n et à n\ si l'on représente par

m'Psin(/'w7— int -\- i'e'— /e) -h m' P' cos{i'n't ~ int + i'e'~ ie] la partie du développement de R qui dépend de l'angle

i'n't — int -r i'e'— ie,

il en résulte dans ^v l'inégalité

( dP . , , ^

l -r— cos, [i n t — int -{- 1 e — le — Ht ~ î -h vs] ] o.man ] de ^ ' f

i'n' — in ] ^p' ['

— -r— sm[i'n't — int h- i'e'— ie — nt ~ e -{- w) \

et dans W l'inégalité

■2 ma i'n' — in

, , i -p cos{i n t — mt -'r i e'-' le — n't — e'-{-us') ]

dP' . , ., , .

— -^ sin{i n t — mt-h i'e'— le — n't — s'-f xs') ]

OEuvres de L. — III.

11 suit encore du n° 71 du Livre II que les mêmes termes de R donnent dans h l'inégalité

i -r- cosii'n't — ini -h i'e'— ie — ni — e-hU] i m'an \ ôy ^ ' f

f r— sin (i'n't — int -+- i't'— ie — nt — s-hU] \

l Oy ^ ' j

Y étant la tangente de l'inclinaison respective des orbites de m et de m', et n étant la longitude du nœud ascendant de l'orbite de m' sur celle de m.

Si l'on augmente l'argument de l'inégalité de ^v de nt-h t ~ cr, et que l'on multiplie son coefficient par e; si l'on augmente l'argument de l'inégalité de §/ de n' t -i- z — zs' , et que l'on multiplie son coefficient par — ~ e'; enfin si l'on augmente l'argument de l'inégalité m sj a

de ts de nt-h z — II, et si l'on multiplie son coefficient par — 2y, la somme de ces trois inégalités sera

l ^T- -f-^-rr+y^r- cosli n t — int -h i e — le) J iman ] \ de de ' ùy ) ^ \

i'n - in 1 / dV ,dV' d¥\ .,.,,, -, ; , . ^ ('

\ — [e — h e -r-r H- "/ -r— sm [i n t — int -{- 1 e -— le] ]

' \ de de ' dy ) ^ '

or P et P' sont des fonctions bomogènes en e, é et y de la dimension

i' — i, i étant supposé plus grand que i; la fonction précédente est

ainsi égale à

im'an{i'— i) F Pcos(i'/i'^ — int -h i't'— /e) "1 in'— in L — V'sin{i'n't — int + /'e'— it) J

Maintenant on a, par le n** 69 du Livre II, dans ^^, l'inégalité

3 m'an- / j" P cos ( i'ii' t — iîit -i- i'e'— ie]~ [i'n'—iny^ l — P'sin{i'n't'~inl-hi'£'—is)j

D'où il suit que, si l'on représente par

K sin (/'/i7 — int -f- i'e' — i e — nt — e -r- 0)

l'inégalité de ^v dépendante de l'angle i'n't — int-i- i't — iz — nt — s;

si l'on représente par

K' sin[i'n't — int + i't'— it — n' t — e'-+-0')

l'inégalité de tv' dépendante de l'angle i'n' l — int + i't — ii — n't — s'; enfin, si l'on représente par

K"sin(z'/i7 — int -+- i'i — it — nt — t ^ O")

l'inégalité de S^ dépendante de l'angle i'n't — int -h i't — it — nt — s,

on a

eK s\n[i'n' t — int H- i'z' — «e — cj + 0)

-\ ^—=- e K sm [int — int -h i t — iz — m H-0)

m \ja

— lyYJ' ?>\n[i' n' t — int + i'z'— /e — Il + 0")

-~ —-. — - H — — sin I /i 7 — ini h- i' z — ?c + Q),

ùi n ^

Hsin(i'7î'/ — int -\- i'z — it 4- Q) étant l'inégalité de "^v dépendante de l'angle i'n't — int -f- i't — it.

5n — in étant fort petit par rapport à n' , on a, par le n° 27, dans (5^

l'inégalité

5", 2i74i7-sin(5«7 — 3n/ + 5e' — 3£ + li^°,\i\o] .

L'inégalité de h dépendante de Sn't — "int -h 5e'— 3e est insensible. On a ensuite, par le n** 28, dans '^v' l'inégalité

— i",o'296i7.sin(4«'^ — nnt -[- ^z'— 'iz — 43°, 8980). Enfin on a, par le n° 27, dans ^^ l'inégalité

26", i8446o.sin(5/i'/ — int + 5e'— 2e — 33°,585'2).

Ici i'— 5, et î — 2; on a donc, par ce qui précède, l'équation de condition

5",'2i']^i'] .esin[5n't — int ■+- 5z' — iz — ts ■+■ 48", mo)

— i'\oiq6i'] .e' - — -^=- sin [5 n' t — int -h 5e' — iz — Ts' — ^3°, 8()8o) m sja

=. - 26", 1844G0. '^'~''-- sin(5/i'/ -- int + 5e'- iz - 33",5852).

16ii. MÉCANIQUE CÉLESTE.

Le premier membre de cette équation donne

1 ", 1 1 o35 . sin [5 n' t — n nt -h 5 e' — ie — 3i°,6iii).

Le second membre donne

i", I i35.sin (5/i7 — -^nt -+- 5e'— ie — 33°,585'2);

la différence est insensible.

On pourrait vérifier par les théorèmes précédents plusieurs des inégalités respectives de Jupiter et de Saturne; mais, comme toutes les inégalités de ces deux planètes ont été vérifiées plusieurs fois, et avec beaucoup de soin, par divers calculateurs, cette dernière vérification devient inutile.

43. L'inégalité de m, produite par l'action de m' et dépendante de l'argument n'i -+- 1 — zs', est, par les n°* 50 et 55 du Livre II, égale à

{o, i).e' sin {n't -h t'—Ts').

L'inégalité de m', produite par l'action de m et dépendante de l'argument nt -\- t~x3, est

— - [\, o).esm[nt -\- z— m).

nin^ — n

Les coefficients de ces deux inégalités sont donc dans le rapport de — (o, i)./i^e' à (i, o).7i''e; or on a, par le n" 55 du Livre II,

en nommant donc Q le coefficient de la première inégalité, le coefficient de la seconde sera

ma" e

Les inégalités de ce genre ont été vérifiées, soit au moyen de cette équation de condition, soit au moyen de l'expression précédente de Q.

Ainsi l'action de Jupiter produit par le n° 29, dans la Terre, l'inégalité

sensible

— 7",839i49.sin(w,'^^ + e'^ - gt").

Cette inégalité, par ce qui précède, est

-- . (2, 4).e'^sin(n"'i + £'^ — cj'^).

Or on a, par le n° 24, (2, 4) = 2i",444oi5; en substituant dans cette formule cette valeur, et celles de ti", n''' et e"^, données dans le n"* 22, et multipliant le résultat par l'arc égal au rayon, on trouve

— 7",8397.sin(n'^; + e'^ — cj'^).

L'action d'Uranus sur Saturne produit, par le n° 35, dans le mouvement de Saturne, l'inégalité

— 3", 1 22367 • sin [ii"t-^ e' —rs"'].

l'inégalité

Tïi n f*^

En multipliant son coefficient par — - —5 on a dans Uranus

o", 663 124. sin (n^/ + z" — cj"), et le calcul direct a donné, dans le n° 35,

o",663i39.sin(n^f H- e^ — 73").