CHAPITRE XVIII

DE l'action des ÉTOILES SUR LE SYSTÈME PLAiNÉTAIRE (*).

47. Pour compléter la théorie des perturbations du système planétaire, il nous reste à considérer celles que ce système éprouve de la part des comètes et des étoiles. Mais, vu l'ignorance où nous sommes des éléments des orbites de la plupart des comètes, et même de l'existence de celles qui, ayant une grande distance périhélie, se dérobent à nos regards et cependant peuvent agir sur les planètes éloignées, il n'est pas possible de déterminer leur action. Heureusement, il y a plusieurs raisons de croire que les masses des comètes sont très-petites, et qu'ainsi leur action est insensible; nous nous bornerons donc ici à considérer l'action des étoiles.

Reprenons pour cet objet les formules (X), (Y) et (Z) du n" 46 du Livre II,

a cos i>fn dtrsinv i'^.J'AR-hr -r^-j —asinvfndtrcosv io.fdK-^r -r~|

•},rdèr-\- drdr 3a^„,,„ la ^ ., dR

— L- — ifndtdR-]- — ndtr-^—

^ a'^ndt u. "^^ a ^ dr

\] ôi'— —

acosv fn dtr s\x\v — a smvj ndtr cost'

Désignons par m' la masse d'une étoile; par ce', y', z' ses trois coordon-

(*) Il y a, dans les formules de ce Chapitre, quelques erreurs qui ont été signalées par Laplace lui-même, dans un Mémoire faisant partie des Additions à la Connaissance des Temps pour 1829. Il aurait fallu, pour les corriger, remanier entièrement les calculs de l'Auteur; on a cru devoir respecter le texte original. V. P.

nées rectangles, rapportées au centre de gravité du Soleil, et par r' sa distance à ce centre, ce, y, z étant les trois coordonnées de la planète m, et r étant sa distance au Soleil. On aura, par le n° 46 du Livre II,

m' [xx -\- yy' + zz')

sj[x'- xY- + (r'-r)2 + (z'- z)2 ,

En développant le second membre de cette équation suivant les puissances descendantes de r', on aura

m' m'r"^ , , [xx' -\- yy' -\- zz' — ^r'^Y r ir <» ^ r *

Prenons pour plan fixe celui de l'orbite primitive de la planète; nous aurons, en négligeant le carré de s,

^^ircosv, f^rsmv,

rs.

Nommons ensuite / la latitude de l'étoile m\ et U sa longitude; nous

aurons

^'=: r'cos/cosU, j^'= r'cos/sinU, s'^r'sin/,

d'où l'on tire, en négligeant les puissances descendantes de r' audessus de r'S

„ mm r-

-y—r- f'-* — 3 CCS-/ — 3cos2/cos f^t^ — sU] — ôssinoi/cosiV — Il )1.

Maintenant, r', /et U variant d'une manière presque insensible, si l'on désigne par R, la partie de R divisée par r'^, on a, en négligeant le carré de l'excentricité de l'orbite de m, et le terme dépendant de s et qui est de l'ordre des forces perturbatrices que m éprouve par l'action des planètes,

/dR = R, - -^yj {'X - 3cos2 /), r -^- -= ^R,.

La formule (X) deviendra ainsi, en supposant [j^ — i, ce qui revient à très-peu près à prendre pour unité la masse du Soleil,

dr= ^a cosv fndtrR, sini> — \a sinv J'ndlrl\, cosi'.

Substituons pour r sa valeur a[i -h ecos(ç^ — cj)] (*), et pour ndt sa valeur c?^'[i — 2 ecos(ç^ — cT)], et négligeons, sous le signe/, les ternies périodiques affectés de l'angle v\ nous aurons

ndtr^, sin(^= —f-r-j— [(' — fcos^/) e sinm-h f cos^/.e sin(Gj — -aU)],

nJirR, cost-^ , ,3 ■ [(i — fcos^/) ecosGT — f cos^/.ecosfcj — 2U)],

ce qui donne, en regardant u, l, r' et U comme constants à très-peu près,

ôr nx' o,^ V

—- = — - — 7^— [(i— fcos2/)esin(i' — Gj) — fcos2/.esin(i' + GT — 2U)].

Maintenant on a

àr

— =11 ôecosft' — Gj) + eôcjsinft^ — Gj);

en comparant cette équation à la précédente, on aura

oe = — . ,,. cos-/.esin(2gT — aU , 4r •» ^

Tfi' ci^ V Sjs= r^ — [i — fcos^/ — |cos2/cos(2Gï— 2U)].

Ainsi l'action de l'étoile m' produit des variations séculaires dans l'excentricité et dans la longitude du périhélie de l'orbite de la planète m; mais ces variations sont incomparablement plus petites que celles qui sont dues à l'action des autres planètes. En effet, si l'on suppose que m soit la Terre, r' ne peut pas, d'après les observations, être supposé

plus petit que 1 00000a, et alors le terme — -,j- n'excède pas

t exprimant un nombre d'années juliennes, ce qui est incomparablement au-dessous de la variation séculaire de l'excentricité de l'orbe

(*) La valeur de r est a\i — e cos(c — o)]. V. P.

terrestre, résultante de l'action des planètes, et qui, par le n° 25, est

égale à

à moins qu'on ne suppose à m' une valeur entièrement invraisemblable. De là nous pouvons conclure que l'action des étoiles n'a aucune influence sensible sur les variations séculaires des excentricités et des périhélies des orbes planétaires, et il est facile de voir, par le développement de la formule (Z), que leur action n'a pareillement aucune influence sur la position de ces orbes.

Examinons présentement leur influence sur le moyen mouvement des planètes. Pour cela, nous observerons que la formule (Y) donne, dans d^v, le terme l\andt.^^, et par conséquent le terme

— ,— ndt[i — 3cos2/).

Supposons r' égal à r'{i— cet), et / égal à / (i— ê/), r et / étant les valeurs de r' et de / en 1760, ou lorsque ^=0; on aura dans })v la

variation

Sm'a^ , „ „,, ^„ 3m'a^ . , « „ ■ — rg — (i — icos'l,)<xnt^ ^,3- smcî/, .ên^2.

Les observations ne donnent point la valeur de cet, mais elles peuvent faire connaître celle de ^t. En supposant, pour la Terre, ê = 1" et

r = looooo.a, la quantité — ry-ê/i^^ devient, à très-peu près,

quantité insensible depuis les observations les plus anciennes.

L'expression de d^ç contient encore, par ce qui précède, les termes

s sin'2/cos(f — U);

^ndt

~s sinil

cos(

Gm'a^n r'3

.dt

or

on a

^ dt

sini' —

dt

COSt',

OF.uvres

dcL.

ce qui donne, en négligeant les quantités multipliées par le sinus et le cosinus de l'angle i',

ssmr'

ini/ , jj. s\nil dq . dp \

-, ces t^— U — — 7-- t-ji- sinU — t~f- cosU ,

r-'s ^ ' ar'3 \ dt dt )

et par conséquent

d . - — n — CCS t^ — U = — -- -.4 sinU f~ cosU dt,

r 'i ^ ' ir^ \dt dt J

d'où résulte, dans d^^v, le terme