INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT LUNAIRE
1. Reprenons les équations différentielles (K) du n** 15 du Livre II, et donnons-leur la forme suivante
dt *
, . / 2 fàO dv
\d^ "^ 7 V "^ Â2 J dV «2 j + h^ui dv dv " Dans ces équations, t exprime le temps, et l'on a
M + m m'[xx' -{-ff' -V- zz')
c?2m ^ \ / ^ Çdq dv\ ^ du àQ i dQ s dQ
dv^ ' / \ "*" P / "dîT M^)"^ Wû^'dv ~dv h^ dû h^u ds
o , , „ , o,, . , ,^ , , "'h^u^dvdv h^u du h^u^ ds
M, m et m' sont les masses de la Terre, de la Lune et du Soleil; x, y, z sont les coordonnées de la Lune, rapportées au centre de gravité de la Terre et à une écliptique fixe; x\ y\ z' sont les coordonnées du Soleil; r et r' sont les rayons vecteurs de la Lune et du Soleil; s est la tangente
de la latitude de la Lune au-dessus du plan fixe; - est la projection de
son rayon vecteur sur le même plan ; v est l'angle fait par cette projection et par l'axe des x; enfin h^ est une constante arbitraire dépendante principalement de la distance de la Lune à la Terre.
La valeur précédente de Q suppose la Terre et la Lune sphériques.
Œuvres de L. III. 25
19i MÉCANIQUE CÉLESTE.
Pour avoir sa vraie valeur due à la non-sphéricité de ces corps, nous observerons que, par les propriétés du centre de gravité, il faut transporter au centre de gravité de la Lune : i° toutes les forces dont chacune de ses molécules est animée par l'action des molécules de la Terre, et diviser leur somme par la masse entière de la Lune; 2^ les forces dont le centre de gravité de la Terre est animé par l'action de la Lune, prises en sens contraire. Cela posé, il est facile de voir que, dM étant une molécule de la Terre, et dm une molécule de la Lune dont la distance à la molécule dM est/, on aura les forces dont le centre de gravité de la Lune est animé dans son mouvement relatif autour de la Terre, au moyen des différences partielles de la double intégrale
M + m r r dM dm
ff
Mm J J f
prises par rapport aux coordonnées du centre de la Lune. Ainsi l'on
doit substituer cette fonction à dans l'expression précédente
de Q. Si la Lune était sphérique, on pourrait, par le n° 12 du Livre II, supposer sa masse entière réunie à son centre de gravité; on aurait
donc alors / / — 7. — égal à la masse m de la Lune, multipliée par la
somme de toutes les molécules de la Terre, divisées par leurs distances respectives au centre de la Lune; en nommant ainsi V cette somme, on aurait
dM dm
V serait égal à - si la Terre était sphérique; en désignant donc V
par SV, mSV sera la partie de l'intégrale / / — . — due à la non-sphéricité de la Terre. Si l'on nomme pareillement V la somme des molécules de la Lune, divisées par leurs distances au centre de gravité de la Terre supposée sphérique, on aura
'dMdni
ff
en désignant ainsi par ^Y' la différence V > M W sera la partie de
l'intégrale / / — 7^ — > due à la non-sphéricité de la Lune; on aura donc, à très-peu près,
Mm J J f r ^ ^\M m /
Il faut, par conséquent, augmenter, dans l'expression précédente de Q,
— de la quantité
'ÔV ÔV
pour avoir égard à la non-sphéricité de la Terre et de la Lune.
2. Supposons d'abord ces deux corps sphériques, et développons l'expression de Q en série. On a
Ce second membre, développé suivant les puissances descendantes de r', devient
I xx'^yy'-i- zz'—-^r^ 3 {xx'-hXT' ^ zz'— ^r^)^ r' ' r'^ 2 r's
5 {xx'-\-yy'-\- zz'—'^r^)^ 9. r"'
Prenons pour unité de masse la somme M -f m des masses de la Terre et de la Lune, et observons que
COSV
Marquons d'un trait pour le Soleil les quantités u, s elv relatives à la Terre; nous aurons
3 [uu'cos{v — v')-huu'ss'—^u'^[i-hs^)']^
U m'u' ! 5 luu'COS{v~ V') -\- UU'SS' — |m'2(i + 52)]3
La distance du Soleil à la Terre étant à très-peu près quatre cents fois plus grande que celle de la Lune, u' est très-petit relativement à u; ainsi l'on peut, dans la théorie lunaire, négliger les termes de l'ordre u'^. On peut encore simplifier les calculs en prenant pour plan de projection celui de l'écliptique. A la vérité, ce dernier plan n'est pas fixe; mais dans son mouvement séculaire il emporte l'orbite de la Lune, de manière que l'inclinaison moyenne de cette orbite sur lui reste constante, en sorte que les phénomènes dépendants de cette inclinaison respective sont toujours les mêmes.
3. Pour le faire voir, nous observerons que s' est, comme il résulte du n** 59 du Livre II, égal à une suite de termes de la forme ksïnlv'-i-ù -h z); nous la représenterons par
lksin{v'-h it + e),
i étant un coetFicient extrêmement petit, dont nous négligerons le produit par m'u'^. La valeur de s sera, en négligeant les quantités de l'ordre ^^ égale à lkûïi(v ~\- it -\- 1) + s^^ s^ étant la tangente de la latitude de la Lune au-dessus de l'écliptique vraie. Cela posé, on aura
dv dv ou ^ ' ôs
Zm'u'^V , „ u' 5u' „, ,. nr , ,, ds . , ,, ,1
En substituant dans le second membre de cette équation, au lieu de s,
lksm{ç + à-Jf-z) -f-^,, et au lieu de s\ 1 k sin (v -\- it -{- s), il devient
La troisième des équations (L) du n*' 1 donne, par conséquent,
ou
dv^ . n^u"
Si l'on néglige les excentricités et les inclinaisons des orbites, on a
u = -, u'= —y a' et a étant les moyennes distances du Soleil et de
la Lune à la Terre ; on verra dans le numéro suivant que h^ ~- a k fort peu près; on aura donc
dv^ ■* a ■* '
Nommons mt le moyen mouvement du Soleil, m n'exprimant plus ici
ni la masse de la Lune; on aura, par le n° 16 du Livre II, m} = —^j-
Si l'on suppose ensuite que le temps t soit représenté par le moyen mouvement de la Lune, ce que l'on peut toujours faire, on aura
— = I ; partant.
Substituons dans cette équation lksïn{v -i- it -]- e) -\- s^ au lieu de s, et observons que l'on peut ici changer à dans «V; on aura
d'^s o= -—- H- (i+ fm^js, -1- 2/f[i— (i -l-i)2]sin(t^-i- iV-H- e) H-. . .,
ce qui donne, pour la partie de *, relative au mouvement séculaire de
l'écliptique,
2(21 -h /2]/f sin(v+ iV-4- e) s, —
Cette dernière quantité est insensible; car, iç s'élevant au plus à cinquante secondes par année, et ^m^ç, qui exprime à peu près, comme on le verra dans la suite, le mouvement rétrograde du nœud, surpassant 20°, |m^ est au moins quatre mille fois plus grand que 21; on peut donc négliger le terme
2/f[i— (i+i)2]sin(t'-t- iV + s)
dans l'équation différentielle en j,, et alors cette équation est indépendante de tout ce qui a rapport au mouvement séculaire de l'écliptique. L'inclinaison moyenne de l'orbite lunaire à l'écliptique vraie est une des arbitraires de l'intégrale de cette équation; on voit donc qu'à raison de la rapidité du mouvement des nœuds de la Lune, cette inclinaison est constante, et la latitude s^ de la Lune au-dessus de l'écliptique vraie est la même que dans le cas où cette écliptique serait immobile; nous pourrons conséquemment supposer dans les recherches suivantes s'= o, ce qui simplifiera les calculs.
Nous aurons de cette manière, en négligeant les quantités des ordres m'u'^s* et m'u'^,
Q — — -1- m'u -h -7—^ [1+ 3cos('2t; — IV ) — is^}
+ ^ [3{î— ^s^) cos[v — v') + 5cos(3f — Sv')"],
d'où l'on tire, en négligeant les quantités de l'ordre m'u'*s^,
-^^^[(3-45»)cos(i'-(^') + 5cos(3c'-3c^')],
dQ 3m'M'3 . m'u'\^, , „. . , m <- • /q o -\n -T- — 7— smliv — iv]- :t-— 13 I — 4«^ smu' — f M-i5sin Bt' — 3(M ,
ÔQ us m'u'^s 3m'u'*s , ,,
-— = . CCS V — v').
os — 7/2 7/3 » '
4. Pour intégrer les équations (L) du n*' 1, nous observerons que, sans la force perturbatrice du Soleil, la Lune décrirait une ellipse dont le centre de la Terre occuperait un des foyers. On aurait alors, par le n** 16 du Livre II,
5 = y sm ( V
"— Â2"(7+y2] [N/i + «- + ecos((^-Gj)],
équations dans lesquelles y est la tangente de l'inclinaison de l'orbite lunaire, 6 est la longitude de son nœud ascendant, e et rs sont deux arbitraires dépendantes principalement de l'excentricité de l'orbite et de la position du périhélie, y et e sont des quantités fort petites; en négligeant la quatrième puissance de y, on aura
Cette valeur de u suppose l'ellipse lunaire immobile; mais on verra bientôt qu'en vertu de l'action du Soleil, les nœuds et le périgée de cette ellipse sont en mouvement. Alors, en désignant par {i — c)i^ le mouvement direct du périgée, et par (^ — i)^ '^ mouvement rétrograde des nœuds, on aura
s—ysm{gv~ (5), " ^ «(i \. y2) [^''" Ty'' + g cos(ci^ - m) ~ |y^ cos(2g-t^ -'^0)].
Si l'on substitue cette valeur de u dans l'expression de dt du n° 1, et si l'on observe qu'en négligeant l'attraction solaire, — est nul, on aura
' i-:-|(e2 i-y2) -ie(,-|-|e2 4 |y2 j(.,os(ci^ — cr) '
dt — h^dv I + r^e'^ cos[i.cv — ixs) — e^ Q,os['icv —'ixjs)'^-\y'^ cos['xgv — lO) !,
ce qui donne, en intégrant,
/ = const. -l-A3i'(i + fe2-+-|y2)- ^-^ (i + fe2-+-fy2) sin(c(^ -cj)
4--, sin(2cc— 2ct)— -5 — sin(3cc^ — 3gj)h- ~^-J- sin(-2gv — qiÔ)
3/i3ey2 . . „ , 3h^ey^ . , . .
— -r-7 L-r sin 2^f H- cf — -2 0 — sj — 7-7 '—T sin 2 ^f — cf — 2 0 -1- sj .
Les coefficients de cette intégrale sont un peu modifiés par l'action du
Soleil, comme on le verra dans la suite.
Dans l'hypothèse elliptique, le coefficient de v de cette expression
est, par le n° 16 du Livre II, égal à a\ ce qui donne
a étant le demi-grand axe de l'ellipse; on a donc alors
et par conséquent,
«= - [n-e2 + jy2^e(i|e2j cos(cf — gt) — jy^cos{'2gi>~ 2 6)].
En faisant ensuite n = a "*, on aura
nt + t = v {i — jy^)sin{ci>~m)+ -. — sin (a et' — aw)
— — sin(3cv — 3cj) + -.— sin(agv — iB)
3ey2
' sin('2gv H- c^■ — 26 — cj)
3ey2
e étant une arbitraire. Dans la substitution de nt -h s, on pourra supposer c et g- égaux à l'unité, et négliger les quantités de l'ordre e^ ou ey'* dans les coefficients des sinus. On aura ainsi, en conservant
le terme dépendant de sm{2gi' — w — 2Ô 4- cy), qui nous sera utile,
— |ey2 sin( 2 g-(^ — c(^ — 20 + gj).
En marquant d'un trait pour le Soleil les quantités relatives à la Lune, et observant que y'= o, on aura
n't-ht'=v'— 2e'sin(cV'-~ gt') + |e'2 sin('2cV'— -îw'), u'= ^ [iH- e'2 + e'(i+ e'2) cos(cV'— rs')].
L'origine du temps t étant arbitraire, nous pouvons supposer e et s' nuls, et alors, en faisant ~ = m, la comparaison des valeurs de nt et
n n de n't donnera
v' — 2e'sin(cV— js') -f-fe'^ sin(acV— im')
= mv — •2/nesin(cc — gt) ^- fme^ sin(2Cf — 2gj)
+ {wy2 sin('2g-c — -iô) — f/ney^ sin(2g-(' — cv — iB -\- is) ,
d'où l'on tire, en observant que c' est extrêmement peu différent de l'unité,
v' = mv — 1 me sin [cv — gt) + 1 me^ sin [ncv — im)
-hjmy- s\n{i gv — iO) —~mey^sin[-}.^ — cv — -2 9-\-rs)
+ 2e'(i — ^e'2 ) sin{c'mv — ci') — -2 mee' sin {cv -i- c'mv — vs— tjs')
— imee' sm[cv — c'mv — TS-\-rjs'] -\-je'^sin[rf.c'mv— 2gj'),
I ( iH-e'fi — ^e'2)cos(c'mc — cj'l 4-e'2cos(2c'mi' — 2Cï')
« ( 4-mee'cos(cc — c'mc — ct + gt') — mee'cos(c(' + c'mc — gj — gj')
5. On substituera ces valeurs de w, u\ s et ç'' dans l'expression de Q et de ses différences partielles, que l'on développera ainsi en sinus et cosinus d'angles proportionnels à v, mais il est nécessaire, pour ce développement, d'établir quelques principes relatifs au degré de petitesse des quantités qui entrent dans ces fonctions et à l'influence des intégrations successives sur leurs différents termes.
Œuvres de L. — \\\. 26
La valeur de m est à peu près égale à la fraction ^3; nous la regarderons comme une quantité très- petite du premier ordre. Les excentricités des orbites du Soleil et de la Lune et l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique sont à peu près du même degré de petitesse. Nous regarderons ainsi les carrés et les produits de ces quantités comme très-petits du second ordre; leurs cubes et leurs produits de trois dimensions, comme très-petits du troisième ordre, et ainsi de
suite. La force perturbatrice du Soleil est de l'ordre — :-•> et l'on a vu, dans le n*' 3, que cette quantité est de l'ordre rn^y ou du second ordre. La fraction — étant à peu près égale à > — » elle peut être considérée comme étant du second ordre. Nous porterons d'abord les approximations jusqu'aux inégalités du troisième ordre inclusivement, et, dans le calcul de ces inégalités, nous aurons égard aux quantités du quatrième ordre; mais il faut une attention particulière pour ne laisser échapper dans les intégrales aucune quantité de cet ordre.
Le développement de la seconde des équations (L) du n*' 1 lui donne la forme suivante
N^ ne différant de l'unité que d'une quantité de l'ordre m% et n étant une suite de cosinus de la forme /[:cos(tV-+ s). La partie de u relative à ce cosinus est, par le n° 41 du Livre II, égale à
ces Ut*
or il est clair que, si i^ ne diffère de l'unité que d'une quantité de l'ordre m, le terme ^cos(iV H- e) acquiert par l'intégration un diviseur de cet ordre, et par conséquent il devient beaucoup plus considérable et de l'ordre r — 1, s'il est de l'ordre r dans l'équation différentielle. On verra dans la suite que c'est à cela qu'est due la grandeur de l'inégalité nommée évection.
Les termes dans lesquels i est fort petit, et qui ne se rapportent qu'au mouvement du Soleil, n'augmentent point par l'intégration dans la valeur de u; mais il est visible, par la première des équations (L) du n^ 1, que ces termes acquièrent le diviseur i par l'intégration, dans l'expression du temps t; il faut donc faire une grande attention à ces termes. C'est de là que dépend la grandeur de l'équation nommée équation annuelle.
Les termes de la forme k dv sïn{iv -+■ t) de l'expression de -^ -^
acquièrent, par l'intégration de cette expression différentielle, un diviseur de l'ordre i dans la valeur de u; d'où il semble que, dans l'expression du temps t, ils doivent acquérir un diviseur de l'ordre P, ce qui rendrait ces termes fort grands, lorsque î est très-petit; mais il est essentiel d'observer que cela n'est pas, et que, si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, ces termes n'ont point, dans l'expression du temps, de diviseur de l'ordre i^. Pour le faire voir, nous observerons que, par le Chapitre VIII du Livre II, l'expression de ç en fonction du temps ne peut acquérir de diviseur de l'ordre i^ que par la fonction ~3afndtfàQ, la différentielle dQ étant uniquement relative aux coordonnées de la Lune. Si Q contient un terme de la forme kcos{it -i- s), i étant fort petit, ce terme ne peut acquérir un diviseur de l'ordre P qu'autant que dQ n'acquiert point un multiplicateur de l'ordre i; la partie de l'angle it relative à la Lune ne peut dépendre que des moyens mouvements de la Lune, de son périgée et de ses nœuds, lorsque l'on n'a point égard au carré de la force perturbatrice; cette partie, si i est fort petit, ne dépend point du moyen mouvement de la Lune; elle ne peut donc alors dépendre que des mouvements de son périgée et de ses noeuds. Dans ce cas, dQ acquiert un multiplicateur de l'ordre de ces mouvements, c'està-dire du second ordre, ce qui fait perdre au terme dont il s'agit son diviseur de l'ordre i^. Les angles croissant avec lenteur n'ont donc, dans l'expression de la longitude vraie en fonction du temps, qu'un diviseur de l'ordre i; il est aisé d'en conclure que cela a également
lieu dans l'expression du temps en fonction de la longitude vraie. Mais si l'on a égard au carré de la force perturbatrice, la partie de l'angle it relative aux coordonnées de la Lune peut renfermer le moyen mouvement du Soleil, et alors la différentielle dQ n'acquiert qu'un multiplicateur du premier ordre ou de l'ordre de m. On pourra, d'après ces principes, juger de l'ordre auquel les divers termes des équations différentielles s'abaissent dans les expressions finies des coordonnées.
6. Développons, d'après ces considérations, les différents termes de la seconde des équations (L) du n" 1. Dans l'hypothèse elliptique, la
