AV"-7 cosfr— mf

H- A^'^'— e'cos(.c — mv -h c'mv\— gj'j) + A'/^'-7 e'cos((^— w(^ — c'mt^ -h nj').

Les nombres o, i, 2, placés au bas de la lettre A, indiquent que la

quantité est de l'ordre zéro, ou de l'ordre m, ou de l'ordre m^ . Je ne considère ici que les inégalités du troisième ordre et celles qui, étant du quatrième, peuvent produire des quantités du quatrième ordre dans les coefficients des inégalités du troisième. Je porte l'approximation plus loin, relativement à l'inégalité dépendante de cos(ç' — m(^).

Cela posé, le terme ^^-3 donne, par sa variation, le suivant

,., ^ 5 et il en résulte la fonction

aèu

- cïA',^'e2cos(2(' -- -îmv — nw -;- ^xn) i-f A,"ee'cos(2f — ■imi' — cv -Y- c'mv-\- xjs — rs' 'v I A',' ' ee' CCS [o-v — 1 mv — cv — c'mv -\-xn-h rs' \- f ( A'/'~ A',«')ee'2cos(6v - m)

r- f A'/''' -7 e'cos(t' — ■ mv -\~ c'mv — m')

3m2(I-^fe'2;

H- |A'/^*-7 e'cos(t' — mv — c'mv -'- cj')

F f AJ)'^'-7 e'2cos(t' — mv)

u! éprouve une variation, par la variation de v\ qui dépend du temps t et de ses inégalités en fonction de v\ mais ces inégalités sont multipliées par m dans l'expression de v' , et, de plus, par e' dans l'expression de m'; on peut donc d'abord négliger ici, sans erreur sensible, la variation %u . Nous aurons bientôt égard au terme de cette variation qui dépend de l'action de la Lune sur la Terre.

Le terme — yv t cos(2^' — :iv') a pour variation

— ^ ■„ . 5a.cos(2(' — IV ) -f- -Tir^r of . sin 2(^ — iv']. Si l'on substitue, au lieu de %u, sa valeur précédente, on trouve que

le premier de ces deux termes donne la fonction

+ (A<;'-4A;j»'H-A;,2)i^(6)g,2^7A,7)g,2)e(,__|e'2)cosi + ( 3 A|j»' + A|j3' 4- A^^' ) e' cos( c'mt' - cj' ) + (A',®' + |A'/') ee'cos{cf — c'mc — cj + cr') H- (A'/' — -iA'/') ee'cos(cc + c'/nt- — cr — gt') -4- A'/'ee'cos(ac — 2 me — eu — c'mv + gj + cj') + A,^'ee'cos(2C — imv — cv -{- c'mu-h xs — xs') 1-k- m

cv—rs]

[aV

■afi + mlA

. x^, ^^. , ,..,yx^^ n-'y^ cos(2gv — cc-

-h A'o"'' ey2 cos(2(^ — 2 me — agv -v cv -^ iB — js] a

■20+GT

j e cosie — mv + c me

(AS)'*' -h |AV'') " e'cos(e - me - c'me + nr')

a (5m contient un terme dépendant de cos(3f' — ?>mv), que nous avons négligé à cause de sa petitesse ; mais, comme il peut influer sur le terme dépendant de cos(^ — mt^), nous aurons égard à cette

influence. Pour cela, désignons-le par >.2 — cos(3ç' — 3mç^); la fonction — ^ ,^ , %u. 0,09,1 2V — iv') donnera le terme

—, — A2 -7 ces e 4«, «

Pour développer la variation -,^ 3 Sç''.sin(2ç^ —' iv'), nous observerons que V contient, par le n° 4, les mêmes inégalités que l'expression de la longitude moyenne de la Lune en fonction de sa longitude vraie; mais elles y sont multipliées par la petite quantité m. Il suffit ici d'avoir égard aux termes dans lesquels le coefficient de v diffère peu de l'unité, et il est aisé de voir que, le terme ecos(w — w) de l'expression de au donnant, par le n° 4, dans tv' le terme — 2mesin(w - ct), un terme quelconque de a%u, tel que ^cos(iV + e), dans lequel i

diffère peu de l'unité, donne à fort peu près, dans V, le terme — 2mksin{w H- s). On trouve ainsi que la variation précédente donne, par son développement, la fonction

mA\"e(i— |e'2) cos{cv — cj)

-+- f /nA',"ey2cos(agv — cv — 0.9 + gt) 3m2 ) + mAy^'ey2cos('2f — imv ~ igv -\- cv -\- -iB — m]

-h m A'"'-: cosfc — mv)

+ m AL**' -7 e'cosff — mv — c'mv h- gt') " a ^

les autres termes de ce développement sont insensibles. Les termes

g|^[3cos(t^-('') + 5cos(3c'-3c')]

de l'expression de

h^ [dû '^ u ds) ont pour variation

— [3cos((' — mv) -T- 5cos(3 v — 3mv)];

en substituant, pour «Sm, A2"'cos(2Ç' — 2mv), il en résulte le terme

— A)^' ~j CCS u' — mv).

La variation du terme

3m'u'^ du . ,

2/i^u'^ dv ^ '

peut se réduire aux termes suivants

6m'u'^ du du . , ,. ?>m'u'^ dHu . ,

~l~r~r ~J' — sin 2f — 24^ ^-— 7— sm 2f — 2(;')

li^u'* dv u ^ ' o.li^u'' dv ^ '

?>m'u'nv' du , -^-J^uy" ^^os{iv-2v);

OF.uvr^s de L.— \\\. 28

3iïi^

ey2 cos(cig-f — ce

ces termes, par leur développement, produisent la quantité

2(i-m)Af (i-|e'2)

+ [ +l(2 3/n-c)A'/'e'2-i{2-m-c)A',«'e'2 J H-[6(i-m)A^»' + (a-m)A^'>4-(a-3m)A'2*']e'cos(c'mc'-cj') + [(2 - 3m - c) A7' - 1(2 - ^m - c) A'/'] eé cos(cc + c'mc - gt - tn' + [(3 m - c) A',«' + 1(2 - 2m - c) AV] ee'cos(c(^ - c'mc; - r^ + cï' + (c — m) A7'ee'cos(2v — 2m(^ — cf + c'mt' + cr — gï' ) (+ c + m) A',*' ee'cos(2Ç'- 2mt' — ce — c'me + gî + gt')

r4£±i±^!^^^AV'-^(i-^m)AV«'l

L +(2-2m — 2g-+c)AV'' J

+ A'o'^'ey2cos(2C — 2me — 2gv-4- ce + 20 — gt) + [(i-w)AV"-iA'o'«'e'2 + 3{i-m)X2]^cos(e-me)

+ [(i-2m)AV'''-^(i-'w)AV'']^e'cos(e-me + c'we-Gi') + [Ai,' «' + |(i - m) A'/ "] ^ e' cos(e - me - c' mv + gt' )

L'expression de ^ ^"^ renferme encore la variation ^f[[3sin(e-me) + i5sin(3e-3me)]^ -^■,

et il en résulte la quantité

91^(i-m)Af ^cos(e-me).

La fonction

contient d'abord le terme

— -, (- M 1 / — nr—, — sm ( 2 e

ce — GJ

sa variation est

-p^-[i + |y2cos(-2gv-29)]j —^;^Y— s\n[iv-iv') + ^èv .(:os[iv-iv )J

Le développement de ces termes donne, en observant que c est à trèspeu près I — fmS et que g est à très-peu près n- fm'*,

^'"^ [4(i-mp-i]A<o'(i-|e'2)

4tf,(i — m

' i ^ ^ ' -^yi — im — c 1 — im + c)

[4Alj"'+A'2''-A<2^'-ioAV'e2+|(A'/'-A',«')e2]

+ < 3j^2 )e'cos(c'm(/ — cj')

2 — 3/n 2 — m^ P;^^^l[{^-^)^-0Af-h[(2-3m)2-i]A',^'

Gm^A',»'

ee'cos(2(' — 2/ni' — et' — c'mv -\- gj + cj') ee' CCS [iv — 1 ntv — cv + c'mv 4- gj — gj' )

(A',*" + |AV')ee'cos(cc — c'/nc — rn + gt') ( A7' — jAV) ee' ces ( ce + c'mc — gt — gj' )

^ e^ CCS (2 et' — 2f -h 2mf — 2Gj)

a,{ic — 2H-2m)

y^cos{igv— IV + inw — 20)

6m2Ay=^'

+ 5E! /'^ AV" - AV' + ^ AV) ey2cos(2g-t' ci/ - -20 + gï]

a, (2 — im — ig+c 3m2

ey- cos(2c — imv — igv + cv -\- ny — xs]

naAx — m

{(44-3/n)AV''-2A;,'8'e'2-f[i-(i-m)2]A2J-^cos((/-mf)

(A'o'*' + |A'/^') — e'cos(f — m(/ — c'm(^ -4- cj').

On doit observer ici que C2"sin(2(^— imv) est l'inégalité dépendante de ^m(2v — :imv) dans l'expression de la longitude moyenne de la Lune en fonction de sa longitude vraie;

C^^^e' s\n{'xv ~imv -{- c'mv — Ts') et Cy°'e'sin(2f — amf — c'mt» + nr')

sont les inégalités dépendantes des angles iv — imv -\- c'mv — xs' et 2v — ^mv — c'mv -+-xs' dans la même expression. On peut observer encore que le terme

— (4A!,»' 4- A!j'' - A'a*') e' ces (c'mf - 57' )

parait être de l'ordre m\ ce qui produirait une quantité de l'ordre m' dans l'expression de la longitude moyenne de la Lune> mais ce terme n'est véritablement que de l'ordre m*; car on verra, par les valeurs que nous donnerons ci -après de A^"', A'/' et Aî^*', que la fonction 4 Aj"' H- A'/' — Alj*' est de l'ordre m^ ; il n'en résulte donc qu'un terme de l'ordre m" dans l'expression de la longitude moyenne. Nous le conservons ici, parce que nous nous sommes imposé la loi de conserver les termes de cet ordre dans le calcul des inégalités du troisième ordre. Il est indispensable, par cette raison, dans le développement de

j-j- \ — — sin(2(^ — 2v ), de porter la précision jusqu aux quantités de l'ordre lu^-, il en résulte le terme

Som'u , ^ ^^ . . , ,

— T^ — / :; — dv sin ( -2 f — 2 V

Ce terme produit le suivant

i5m2 {A\^^)^e^cos{icv — 'i.v-ho.mv — irs)^

quoiqu'il ne soit que du cinquième ordre, cependant, comme il acquiert par l'intégration, dans l'expression de la longitude moyenne, le diviseur 2c — 2 + 2m, il faut y avoir égard.

La fonction

(d^ \ -! rdQ dv \dv-' '^'"jh^J dv M-»

donne celle-ci

Sa variation produit les termes suivants

" a, \d^ "^ '^"j j "47^^" t3sm(t; -(;') + i5sm(3(; - Sc^')] + --. — — /aÔMC?c[3sin(f — v') + i5sin(3f — ^v')'],

d'où résulte le terme

"*' [,3 + 8(i-m)2]Ay»'-^cos((/-mt>).

ia.[i — m] '- ' ' ■* a

On doit faire ici une observation importante relativement aux termes dépendants de q,os>(v — mv)y et que nous nous proposons de déterminer avec exactitude. Les expressions du rayon de l'orbite du Soleil et de sa longitude contiennent des termes dépendants de l'angle V — mv, et qui résultent de l'action de la Lune sur la Terre; ces termes en produisent d'autres dans l'expression de u et de la longitude moyenne de la Lune, auxquels il est essentiel d'avoir égard. Pour cela, nous observerons qu'en vertu de l'action lunaire, le rayon vecteur du Soleil contient, par le Chapitre IV du Livre VI, le terme

-cos((' — v'), \j^ étant le rapport de la masse de la Lune à la somme

des masses de la Lune et de la Terre, ce qui donne dans u' le terme

— i- — cos [v — V ).

La longitude i^' du Soleil contient encore, par le Chapitre cité, le terme

[XU'

sin [V — V u

m^ li^ 3

Cela posé, le terme -rj^ contient le suivant

Le terme

contient les deux suivants

— ^ Ir . ces f — v' ces 2f — 2f' H rf-— sin (^ — (/' sm 2t^ — af ,

ce qui donne le terme

3m'(J-ii'* , ,.

/ Lo . ces f — c' 1 .

En le réunissant au précédent, on aura

— /Af . ces f — (^ ,

d'où résultent les termes suivants

— î^ — ^ — cosff — mv] — ^ > '^ -7 e cos v — mt' + c mt- — gt 4a, a ^ ' ^a, a' ^

'-. ~ ~ e co^iv — mv — cmv -\-xis ].

Le terme

3m' ru'^dv . , ,, rr- I — 7— sm av — ^v'

SECONDE PARTIE, donne pareillement les suivants