LIVRE VII
Sm^u. a a , , Sm^a a a , , , ,>
7 ~ ^ cos (^ — mv\ 7 e cos t^ — mv + c mv — rs]
7 e cos [v — mv — d mv -^ js ].
2(1 — 2m) a, a Il nous reste à considérer la partie du développement de ^
qui dépend du carré de la force perturbatrice. Ce développement ren-
ferme la fonction — (^^)^» ce qui produit les termes suivants
+ — B\^^'B^^^ ey^ cos{-îgv — cv — -id -h rs).
9. Rassemblons maintenant les divers termes que nous venons de développer. La seconde des équations (L) du n° 1 deviendra ainsi
' ' dv^ a,\ 4
^(4-3m-m2)A^»'(i-fe'2) + ^L(B<«))2y^
2 + e2 4 3e'2^(By^'H-B'2=")-^ + (i + 2m-c)Aif' (i-|e'2)
ecos ce— Gî
iH- (1+ '2m)e^ + '-. I
C0S('2l' — 2/nt^]
A^«'-(Br-By');{-
ni"
—, — — 1- iWr^—T H-2A*/' e cos 2c — imv -\- c mv -- xs ]
?i!l!(7ii=l^2Br'-4-aA^*'V'cos(2t'-a/ni^-c'mt' + Gj') 4a, \2 — 3m m^ -*/ ^ '
+ ~-[4A[«' + A;j''-A^*'-ioAV'e2 4-|(A'/'-A<«')e2]
/3 + 2/n-c ^ 1-hm 3^,,, ^,s,
— — { ,„ , , lee'cosbt^ — '2 ml' — cf + c'/nt^H- ct--ct']
\ \ 2 2 — m — cj
/7(3 + 6m — c) , 7(2 + 3m) » ah) ) 3m^\ 4 ' 2-3m-c"^^^' /
\ ' \ 2 i — dm—cj ' /
) eecos [Ci' + cmv — Ts — xs'
3m>) 2 '\ 4 c — mj
i + nt-i-c , 4 ^^,,,
ce'cosfcf — c'mv — gj + w'
~-^-B''" -4 - Ay«Me2cos(2C(^-^i
/2-i-iim + 8m2 io4-i9mH-8m2
3m2\ 2 2c — 24-am ,„
e^ cos(2Cv^ — cic + 2.mv -- ^cj]
4«. J 8A''*" -I- lof A''M2
ia, 1 oB'O' 8 A"2)
y2 cos(2g'(; -— 2VH-2/nt^ — iô)
H (| — A'J^')e'2cos(2c'wv — 2ct')
ia,^ ^ ' . -^
' ' H-(54-m)Ar^-^^^-+A'„'«' )
!!+ 2/n H ■+ -^ '- + 2AV®^ 1— 2m 3 — 2W I o / /> ^
m2 I — im
9/ \/ , 0 'o\ 3(i— 2U) (i+fe2 + 2e'2)
I I — 2a 1+2^2 + 26 2 H ^ ZLLl 1 „J
m^l 36+ .,m -5m^ ^ 3|^ ^ ,^ |iieos(.~mv)
- ^Tzi^ Aij»' + t(By ^' + By «') -4 4(i — m) '^ ^^ ■^ ^ ' m^
H- - — — { 4 4 }-: e cos (v — mv -h cmv — Ts)
o fi ï in.
^"^'1 -(S + mjAV"» )
3m2 \ 7 I— 2y. — -^^ -, Av^' fa , , , ,.
'^ M -5A^'»'-(i-2m)AV'" )
Je n'ai point eu égard aux termes multipliés par >.2, parce qu'ils se détruisent réciproquement, aux quantités près de l'ordre m\
OEuvres de L. — UI. 20
10. Pour intégrer cette équation différentielle, nous observerons qu'elle donne, en n'ayant égard qu'aux parties non périodiques,
Nous avons désigné, dans le n° 6, cette quantité par - ( i -f- e^ h- ^ f- ^ ) ; on aura donc, en observant que, sans l'action du Soleil, on aurait - = — î et qu'ainsi l'on peut supposer € -- ê",
^-(4-3m-m=^)A!/'(i-|e'^)-^(Bf)»y^.
L'action des planètes fait varier l'excentricité e' de l'orbe terrestre, sans altérer son demi-grand axe a', comme on l'a vu dans le Livre II;
la valeur de - subit donc des variations correspondantes, à raison du
terme — —. qu'elle contient, et, comme la constante de la parallaxe de la Lune est proportionnelle à -> on voit qu'elle doit éprouver
une variation séculaire; mais on voit en même temps que cette variation sera toujours insensible.
Nous avons représenté précédemment par - (i + e^) cos(w — ct) la
partie de u dépendante de cos(cç' — cy). En la substituant dans l'équation différentielle précédente, en comparant ensuite les sinus et co-
sinus de cv — cy, et négligeant les quantités de l'ordre y-^, ce qui est
permis, vu la lenteur des variations séculaires de l'excentricité de l'orbe terrestre, on aura les deux équations
e{i-he^) d'*m l drjs\ \ a
a dv^ \ dv } dv
qé
la quantité —p — qe"^ étant supposée égale au coefficient de ecos(cf — cr) dans l'équation différentielle (L') du numéro précédent, divisé par
~'-^, où l'on doit observer que les valeurs de A^"', A'/', ^f et B'/'
renferment déjà le facteur i — \e'^. La première de ces équations donne, en l'intégrant,
\^ ke^{i-v-e^)^
k étant une constante arbitraire. La seconde donne, en négligeant le carré de qe"^,
et par conséquent, si l'on regarde/? et q comme constants, ce que l'on peut faire ici sans erreur sensible, on aura, en désignant -z^~ par ^',
JS--CV — V <^i — p ^{q'fe"^dv + e,
£ étant une arbitraire, ce qui donne
cos(ct^ — Gj) = CCS {vsji- - p — -- fe'^dv — e).
Il suit de là que, conformément aux observations, le périgée lunaire a un mouvement égal à {\ — sj i — p) v -\- ^q'Je'^dv.
Ce mouvement n'est pas uniforme, à raison de la variabilité de e\ et si l'on suppose qu'à partir d'une époque donnée, on représente e' par E'+yî' H- A^^, E' étant l'excentricité de l'orbe terrestre à la même époque, le mouvement du périgée sera
(i-v/T:^ + i^'E'2). + i^'E'>=H-i^'(aE'/+/2)i.3.
Cette expression pourra servir pendant deux mille ans, soit avant, soit après l'époque. La partie
forme l'équation séculaire du mouvement du périgée, qui maintenant se ralentit de siècle en siècle. La valeur de la constante c peut être supposée égale à yji —p — ^^'E'^ ; l'angle ct est alors égal à la constante s, plus à l'équation séculaire du mouvement du périgée.
L'excentricité e de l'orbe lunaire est assujettie à une variation séculaire analogue à celle de la parallaxe, mais insensible comme elle, ces
variations étant proportionnelles à y-? qui ne devient sensible que dans l'intégrale / ~ dv.
TJ
Si l'on représente par — cos(ïV -h ê) un terme quelconque de l'équatien (L'), et que l'on désigne par
Pcos(zV-i-ê) + Qsin{iV -!-ê)
la partie correspondante de u, on aura, pour déterminer P et Q, les deux équations
\ dv ) dv dv'^
dv ) Les variations de ê et de P étant extrêmement lentes, et i étant très-
la
grand relativement à -5-» la valeur de Q est insensible, et l'on a
où l'on doit observer que, i+ ~j~ étant le coefficient de dv dans la
différentielle de l'angle iV-f- ê, on peut supposer ê constant dans cet angle, pourvu que l'on prenne pour i le coefficient de v correspondant à l'époque pour laquelle on calcule. On déterminera ainsi les coefficients Aj**', A'/', ... de l'expression de aSw.
Relativement aux termes dans lesquels le coefficient de v ne diffère de l'unité que d'une quantité du second ordre, et qui dépendent des angles 2gv^ — w— 26-1-15 et v — rrn^ -+- c'mv — zs', la considération des termes dépendants du cube de la force perturbatrice devient nécessaire; mais en portant, comme nous l'avons fait, l'approximation jusqu'aux quantités du quatrième ordre inclusivement, les termes dépendants du cube de la force perturbatrice qui peuvent devenir sensibles se trouvent compris dans les résultats précédents. Cela posé, si l'on substitue dans l'équation (L'), au lieu de u, la fonction
i-h e^ -h ^ + ê H- e ( I -F- e2 ] ces (cf — cr ]
du.
la comparaison des divers cosinus donnera les équations suivantes
o = [i - (-2 - 2m - c)2] AV' + 3m2
A (0) I |ï(0) jiH)] y__
.i(AV'-^Af)4-i(B^«^-B^«')^
o=z:r,-(2-2/n-+- c)2] A'^' - |m2 - (s + C - 4m + -?iî^ — ^^- •- ^ /ja 4 ^y t 2 — 2m4-c
o = [i - (2 - m)2] A''' - f m2 - ^ — 1- -i- 2B',9' JL- -f- 2 A^'' ,
I +(B'«'-hBr')Br:^ ~A',«'-iiC^«'-2Ci,«' -;--2Ci,'<" 6/n[4Aij")+ A'2=" - Ai,^'- lo AV'e2 + f (A<" - A\'')e^l
o =[i - (2 - m - c)2]A',«' +im2 - ^
