ET DE LA LUNE

20. Nous allons présentement considérer les termes dus à la nonsphéricité de la Terre et de la Lune. On a vu, dans le n" 1, que, pour y avoir égard, il suffit d'augmenter, dans l'expression de Q, la quan-

... , M + m I tite de

Si l'on nomme ap l'ellipticité de la Terre, D son rayon moyen, acp le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, enfin jx le sinus de la déclinaison de la Lune, on a, par le n° 35 du Livre III,

V=^H-(ia<p-«p)?jM{fx2-i).

Si la Terre n'est pas elliptique, on a, par le n° 32 du Livre III,

V=: ^ + [(la(p - ap) (^2 ±) + a^' (, y.2)cos2Gj]M 5!,

ap et <y.h' étant des constantes dépendantes de la figure du sphéroïde terrestre, et vs étant l'angle formé par l'un des deux axes principaux de la Terre situés dans le plan de l'équateur, avec le méridien terrestre passant par le centre de la Lune. Il est facile de voir, par l'analyse suivante, que le terme dépendant de cos2cj n'a aucune influence sensible sur le mouvement lunaire, à cause de la rapidité avec laquelle l'angle cr varie, en sorte que la valeur de V dont on doit ici faire usage

est la même que dans l'hypothèse elliptique et d'une ellipticité égale à ap; mais, dans le cas général d'un sphéroïde quelconque, ap n'exprime plus son aplatissement. On peut donc supposer, dans ce cas général, que la valeur de Q du n'' 1 s'accroît, par la considération de la non-sphéricité de la Terre, de la fonction

M 4- m étant pris pour l'unité de masse.

Considérons d'abord la variation de l'orbite, ou le mouvement de la Lune en latitude, dépendant de cette cause. Si l'on nomme \ l'obliquité de l'écliptique sur l'équateur, et si l'on fixe l'origine de l'angle v à l'équinoxe du printemps d'une époque donnée, on aura, à très-peu près,

/ut = sin A y/i — «2 sin/l' H- ■$ cosA,

fv étant la longitude vraie de la Lune, rapportée à l'équinoxe mobile du printemps. Il faut ainsi ajouter à la valeur de Q la fonction

{joccp — ap) — [sin2X(i— s^) s'm^fv -h 2 5sinAcosXsin/c -+- s^ cos^X — |].

Cela posé, reprenons la troisième des équations (L) du n° 1. Nous avons développé, dans les n*" 11, 12 et 13, les divers termes de cette équation dus à l'action du Soleil; il est facile de voir que la fonction précédente lui ajoute la quantité

-^-,^'^ D2 u sinX cosX ?,\nfv + [g"^ — i ) H sin/c ,

Hsinyî^ désignant l'inégalité de s dépendante de ^mfv. On peut d'ailleurs se convaincre aisément que cette quantité est la seule sensible qui résulte de cette fonction. En l'ajoutant à l'équation différentielle du n° 13, et observant que /— i est extrêmement petit par rapport à ^ — i , l'intégration donnera

d'où résulte dans s, ou dans le mouvement de la Lune en latitude, l'inégalité

— ■-- — ' —r sm/cos/smu'.

C'est la seule inégalité sensible du mouvement lunaire en latitude, due à la non-sphéricité de la Terre. Cette inégalité revient évidemment à supposer que l'orbite de la Lune, au lieu de se mouvoir sur le plan de l'écliptique avec une inclinaison constante, se meut avec la même condition sur un plan passant constamment par les équinoxes, entre l'équateur et l'écliptique, et incliné à ce dernier plan, d'un angle égal à

-^ — - — rsmAcosÂ.

Nous avons trouvé précédemment

=: o,oi655ioi, g- — I = 0,0040^176;

on avait, en 1760,

enfin a<p = -tt-; en supposant donc ap = —y» l'inégalité précédente

devient

— 20", 023 . sin/f.

Elle serait

— 4i",47o.sin/r,

si l'aplatissement de la Terre était ,5 comme dans le cas de l'homo-

généité de cette planète; cette inégalité, bien observée, est donc trèspropre à faire connaître l'aplatissement de la Terre.

Considérons présentement les variations du rayon vecteur et de la longitude de la Lune, dues à la non-sphéricité de la Terre. Nous pouvons les déduire de la première et de la seconde des équations (L) du n° 1 ; mais il est plus exact et plus simple de faire usage des formules

du n° 46 du Livre IL Pour cela, nous supposerons que, dans ce n'' 46 , la caractéristique différentielle S se rapporte à la quantité ^acp — ap. Nous observerons ensuite que la fonction R du même numéro est égale à ce que nous représentons ici par

et que rR' est égal à f'-f^ ce qui change l'équation (S) du numéro cité dans la suivante

R contient le terme

•2 ( ap — ^ a<jp )-— sin X ces X . 5 sin/f,

et par conséquent celui-ci

{acp — ^«9) — sinXcosX.y cos{gv - fv — Q)\

en supposant donc que ^R représente ce terme, /^dR sera égal à ce même terme; car, la caractéristique différentielle d se rapportant aux seules coordonnées de la Lune, on aura, en n'ayant égard qu'au terme précédent,

/ôdR = âR;

on aura ensuite

• ^''Jr ^-3(ap-ia9) -- sinX cosX.y cos(gv -/i/ ~ ô).

dR Si l'on substitue ces valeurs de /^dR et de %.r —- <'ans l'équation

différentielle précédente, on verra que l'expression ^r contient un terme dépendant de {ios{gv —fv — B), mais qui, n'ayant point g— \ pour diviseur, comme le terme correspondant de ?),v, est insensible.

Il n'en est pas de même de l'expression de la longitude. La formule (T) du n" 46 du Livre II donne, dans d^i^, la fonction

dK

Sdt^fèdR-hidt^.è.r

dr

r^dv

En y substituant pour ^R le terme qu'il représente, on aura, dans d%v, le terme

l^'v 7T smXcosX.y cos(sr<^ -fv - B).

Mais ce terme n'est pas le seul de ce genre qui entre dans l'expression de dtv. L'action du Soleil donne, par le n° 3, dans Q, le terme

En y substituant, pour u, ■■— — •> on aura, dans R, le terme

ce qui donne, dans ^R, le terme

ses ,

et par conséquent, dans la fonction 3/^dR H- 2S.r-r-» le terme

dr 11 m' u'^r^

ses.

On a à très-peu près m'u'^r^ -= m}, et, par le n** 13, ^^ est à fort peu près égal à i 4- \m^, ce qui donne jg'égal à i -+- fm'^; le terme précédent devient ainsi

En substituant, pour %s, — -^~-^- — sin'X cosX siny^», et pour s.

Ysin(^f — G), on aura le terme

~ 7{ap — àa?) "T sinXcosX.y cos(g-f —fv — B) ,

qui, ajouté au terme que nous venons de trouver pour 3/SdR-l- 2^.r^) donne dans d%v le terme

L Ji^ — d.-Xj' — - sin/cosA.y cos^gt'— /f — 9).

■^dv

On peut, dans ce terme, substituer a pour r, et </(^ pour nt/i; en observant ensuite que n-a^ -- i, il devient

— iodv[ap — ja^) — sinXcosX.y cos(g-f —fv — Q).

Cette valeur de d^v est, par le n*' 46 du Livre II, relative à l'angle compris entre les deux rayons vecteurs consécutifs r et r-^dr', or, si l'on nomme dv^ cet angle, dv représentant alors sa projection sur le plan de l'écliptique, on a, par le numéro cité.

dv — dv, -. , , :

ou , à très-peu près ,

En substituant, pour s,

. . ,. ap — ■^«9 D2 -i . /

ysui[gv — Q) — ^—^ --- sinXcosAsmyi;,

on aura dv:

I -\-{[a.p — -^««p) — j ysinXcosXcos(g'i' —fv — B) -\-. . . •

On voit donc que, pour avoir la valeur de d'^v, relative à l'angle v formé par la projection du rayon vecteur r sur l'écliptique avec une

droite fixe, il faut ajouter à l'expression précédente de d^ç le ternie

^dv{ocp — ^(Xf) -Y sinXcos>..ycos(g-f — /t- — 6),

ce qui donne

dèv= — ^dviocp -—j(x<p) —- sinXcos>,.y cos(g-(^ — /c —9),

et, en intégrant,

- IQ OCp — ^OCO D2

tf(/ =: ^ — ~ — -- — T- sin À cos / . y sin fi'i' — ft' — y .

C'est la seule inégalité sensible du mouvement de la Lune en longitude, due à la non-sphéricité de la Terre. On doit observer que^/r — ^ç' + 6 exprime la longitude du nœud ascendant de l'orbite, comptée de l'équinoxe mobile du printemps. Il suit de là que l'expression de la longitude vraie en fonction de la longitude moyenne renferme l'inégalité

-5 — — ' — '■■ — - sinXcosX.y sinflongitude du nœud ascendant), a g-— I «2 I \ c

Le coefficient de cette inégalité est 17",! 35, sip = jf^; il s'élève à 35", 490, si ? = ^-

La non-sphéricité de la Terre influe encore sur les mouvements du périgée et des nœuds de l'orbite lunaire. En effet, la valeur de Q étant par là augmentée de la quantité

(ap — ^a9)(i — f 52) [|—(i— 52)sin2Xsin2/(; — 9.5 sinXcos?iSin/(^ — 52 cos2X]D2m3, il en résulte, dans la seconde des équations (L) du n° 1, le terme

(iLP^l)J'Jf!(,|si„n).

En y substituant pour u sa valeur approchée - [i -H ecos(w — ct)] , et observant que h^ est à très-peu près égal à «, on aura , dans l'équation

différentielle (L') du n" 9, les termes

ap — 4 «9 D^ g

sin2X),

d'où il est facile de conclure que le mouvement du périgée sera augmenté à très-peu près de la quantité

(ap-iacp) — t'(i-|sin2X).

Il est aisé de voir, en considérant la troisième des équations (L) du n° 1, que le mouvement rétrograde du nœud sera augmenté de la même quantité. En la réduisant en nombres, on trouve o,oooooo26384^, ce qui est insensible.

Nous ferons ici une remarque intéressante sur l'inégalité précédente du mouvement de la Lune en latitude. Cette inégalité n'est que la réaction de la nutation de l'axe terrestre, observée par Bradley. Pour le démontrer, nommons y l'inclinaison de l'orbite lunaire sur le plan dont nous avons parlé, et qui, passant constamment par leséquinoxes, est incliné à l'écliptique d'un angle égal à

— '^—-^ — - sinXcosX.

L'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique sera

y ^ '^ ^ -— sinXcosXcosffi't' — fv— Q);

or l'aire décrite par la Lune autour du centre de gravité de la Terre est ^r-dv; cette aire, projetée sur l'écliptique, est diminuée dans le rapport du cosinus de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique au rayon; elle est donc égale à

|r2</(;cos y c-__?__T . sinXcosXcos(g-(' — fv — B) •

OEuvres de L. — Ul. 35

Ainsi , l'expression de cette aire renferme l'inégalité

^r^dv -- — ^-^ -— sinXcosX.y cos{s;v — fv — 9); ^ g— i a^ / \n ^ y»

et comme on a r^dv = à^dt à fort peu près, en représentant par dt le moyen mouvement de la Lune, cette inégalité est égale à

ID^J^ gp-7Q^9 sinXcosX.ycos(gv->- 0).

En la multipliant parla masse de la Lune, que nous exprimerons ici par L, et en la divisant par dt, le double de ce quotient sera le moment de la force de la Lune par rapport au centre de gravité de la Terre, et due à la non-sphéricité de cette planète, ce qui donne, pour ce moment,

En vertu de l'égalité de l'action à la réaction , la même cause doit produire, dans les molécules de la Terre, un moment égal et contraire au précédent. Ce moment est indiqué par la nutation de l'axe terrestre : déterminons sa valeur par les formules du n° 6 du Livre V. On a vu, dans le numéro cité, que, si l'on représente par V l'obliquité de l'écliptique à l'équateur, l'action de la Lune sur la Terre produit, en vertu de la non-sphéricité de cette planète, un accroissement dans cet angle , égal à

ycos{gv—fv — 0),

l etl étant les mêmes que dans le numéro cité. L'élément du mouvement de rotation de la Terre étant supposé ndt, la somme des moments des forces qui animent chaque molécule de la Terre, multipliées par la masse de cette molécule, est égale à wG, G étant le moment d'inertie de la Terre par rapport à son axe de rotation. Pour rapporter ce moment à l'écliptique, il faut le multiplier par le cosinus de son obliquité, ou par

ces V + . r-YT T y cos(£'<^ —fv—B) ;

on aura donc dans ce moment l'inégalité

/XnCsinV , j, ^.

— 7 Tw \ y ces fi^r —fv — d).

On a vu, dans ie n° 6 du Livre V, que

1=-^ — -c (' + ^)cosV,

mt exprimant le moyen mouvement de la Terre. De plus, par le n** 5 du même Livre, m^l = —, a étant la moyenne distance de la Lune à la Terre; et puisque nous représentons par t le moyen mouvement de la Lune, et p; ce qui donne

la Lune, et par M la masse de la Terre, on a à fort peu près — = i ,

l'inégalité précédente devient ainsi

~pï ^-^-p-sinVcosV.ycos(gi;-/(;-e).

Par le n° 2 du Livre V,

p étant l'aplatissement de la Terre, D son demi-diamètre, et R le rayon d'une de ses molécules, dont n est la densité; enfin, tc étant la demicirconférence dont le rayon est l'unité. La masse M de la Terre est ^TzJïlR^dK, ce qui donne pour l'inégalité précédente, en y changeant V en >> qui, dans la formule précédente («), exprime l'obliquité de l'écliptique,

— LD* -^ — ^— - sinAcos>.y cos(gv — /t' — 5).

Cette formule est la formule («), prise avec un signe contraire, d'où il suit que l'inégalité précédente du mouvement de la Lune en latitude est la réaction de la nutation de l'axe terrestre, et il y aurait équilibre

autour du centre de gravité de la Terre en vertu des forces qui produisent ces deux inégalités, si toutes les molécules de la Terre et de la Lune étaient fixement liées entre elles, la Lune compensant la petitesse des forces qui l'animent par la longueur du levier auquel elle serait attachée.

21. Pour avoir égard à la non-sphéricité de la Lune, nous observerons que, par le n** 1, elle introduit dans Q le terme (M + m) — »

ou plus simplement — ? parce que nous supposons M + m = i . On a, par le n° 14 du Livre III,

l'intégrale étant prise depuis a = o jusqu'à a égal au demi-diamètre de la Lune, que nous désignerons par a, et p étant ici la densité des couches de la Lune. On a, de plus, m--^T:J^d.a^\ on a donc

^ ' m orypd.a^

Pour déterminer f^d{a^Y^^'^), nous observerons que l'on a, par le n° 32 du Livre III, pour Y^'^^ une expression de cette forme,

Y(2) = A' (i — /:i2) H- h" Il v^i — /^2 sinnj H- /t"> y'i — /x» coscr H- A"(i — /Jt2j siniTs-+- h^li — if.^) C0S2CJ.

Ensuite les propriétés des axes de rotation donnent, par le n" 32 du Livre lïl,

o = fpd{a^h"), o^=fpd{a^h"'), o=^ fpdia^h'"), et par le n° 2 du Livre V, on a

aC - A - B = Il a7r/p</(«s A' ) , B-A = ||a7r/p</(a«A').

Ainsi l'on a

76^H7^:^3[(-C-A-R)(i-^^) + (B-A)(i-fx=^)cos.r;j].

On a à très-peu près, par le n° 2 du Livre V,

C = -:^fpd.a^;

partant,

Dans cette dernière expression, cj est l'angle que le rayon mené du centre de la Terre à celui de la Lune fait avec l'axe principal de ce satellite dirigé vers cette planète; (x est le sinus de la déclinaison de la Terre vue de la Lune, par rapport à l'équateur lunaire. Il est clair que , l'angle (^ croissant de d{^, l'angle u croît de di^; on sl donc

d.cosacj = — idvsiniTSy

la caractéristique différentielle d se rapportant aux seules coordonnées de la Lune; de plus, on a, par le n° 46 du Livre II,

la partie de dR relative à la non-sphéricité de la Lune, dans la formule (Y) du n° 46 du Livre II, est ainsi, en négligeant le carré de (x,

.„ 3 fpd.a^ B — A j .

aR= =— r '^'--,—7, —,— - dvsm'irs, 5r3 Jpd.a* C

d'où résulte dans ^v, ou dans la longitude vraie de la Lune, par la formule (Y) du n*^ 46 du Livre II, le terme

q fpd.a^ I B -A ^^, . .

5 fpd.a^ r^ C *'''

L'angle ct est toujours très-petit, par le n° 16 du Livre V, en sorte

que l'on peut supposer sin2cy = 2cy. Déplus, parce même numéro, CT contient un terme de la forme

-Ksin(^c;05^^+Fj.

Ce terme, pris avec un signe contraire, représente, par le n° 15 du Livre V, la libration réelle de la Lune. Gomme il croît avec beaucoup de lenteur, il semble pouvoir devenir sensible par la double intégration : c'est le seul de l'expression de u auquel il soit nécessaire d'avoir égard. Il produit dans ^ç le terme

6 fpd.a^ K / /3B-A \

La libration

étant insensible, on ne peut pas supposer qu'elle s'élève à un degré.

De plus, le coefficient ^ A f j'^, est extrêmement petit. Si la Lune ^ 5 r^ Jpd.a^ ^

est homogène, il devient ^ -^; or - est le sinus du demi-diamètre

apparent de la Lune; ainsi le produit de K par ce coefficient est entièrement insensible. Si la Lune n'est pas homogène, sa densité croît de la surface au centre; alors ce coefficient est moindre encore : d'où l'on doit conclure que l'inégalité précédente de la longitude de la Lune est insensible, et que la non-sphéricité de ce satellite ne produit aucune variation sensible dans son mouvement en longitude.

Quant à sa latitude, on doit observer que, [J^ étant le sinus de la déclinaison de la Terre vue de la Lune, par rapport à l'équateur lunaire, et le nœud ascendant de l'orbite lunaire coïncidant toujours avec le nœud descendant de son équateur, on a

>. étant ici l'inclinaison de l'équateur lunaire à l'écliptique, ce qui

donne

la non-sphéricité de la Lune ajoute donc à l'expression de — y^-^ -^)

lit Cv OS

dans la troisième des équations (L) du n** 1, le terme

ou, à cause de cos2cj = i à très-peu près, elle lui ajoute le terme 6 fpd.a^ I X + y C — A

5 J'pd.a'^ r^ y C

Il est facile de voir, par le n° 14, que ce terme ajoute au mouvement du nœud la quantité

3 fpd.a^ v l^j C — A 5 fpd.a^ r^ y C *

Par le n° 18 du Livre V, — ^ — = 0,000599, d'où il est facile de voir

que la quantité précédente est insensible. On trouve pareillement que la non-sphéricité de la Lune ajoute au

terme — j^ -^ de la troisième des équations (L) du n° 1, le terme

? fpd-a^ j C — 2A + B ■~ 5 TprfT^ ra C~~ *'

ce qui ajoute au mouvement du nœud le terme

A fpd-a^ J' C— :^A + B 10 fpd.a^ r2 C '

quantité entièrement insensible.