CHAPITRE IH
DES INÉGALITÉS DE LA LUNE DUES A l'aCTION DES PLANÈTES.
22. Il nous reste à considérer l'action des planètes sur la Lune. Si l'on nomme P la masse d'une planète, X, Y, Z ses coordonnées rapportées au centre de la Terre, / sa distance à ce centre, il est visible, par le n° 1, que la valeur de Q sera augmentée, par l'action de P, de la quantité
P(a:X+rY + -zZ) , P
P ~^ ^J^'^^+ÏY - j)2 + (Z - z )2'
ou
p iPr^ 3 (X^+Y,r+Zz)^
Soient X', Y', Z' les coordonnées de P, rapportées au centre du Soleil, ir',y', z' étant celles de la Terre; on aura
X = X'-a:', Y = ¥'-/, Z=rZ'-z',
ce qui change la fonction précédente dans celle-ci,
P |Pr2 3„ {X'x-{-Y'r-+-Z'z—a;x' — r.r' — zz')^
Prenons pour plan fixe celui de l'écliptique, ce qui rend z' nul, et nommons R le rayon vecteur de la planète P projeté sur ce plan , U l'angle formé par cette projection et par une droite fixe prise sur le même plan, et S la tangente de la latitude héliocentrique de P. Nommons encore r' le rayon vecteur de la Terre, v' l'angle formé par ce rayon et par la droite fixe ; on aura
/= v/l^=^(i -h S«) + r'-^ — 2Rr' cos(U
La partie de Q relative à l'action de P sur la Lune sera donc
— r'cos(c— p') + R5S]2
OU, en négligeant le carré de S,
P P(i — -252) R^cos('2V~'2.\])-\-r'^cos{-3.v — '2v') — 'îRr'cos{'3.v — l] — v')
R^S[Rcos((^-U) — r^cos(t> — </')]
Le terme j ne renfermant ni m, ni f, ni 5, il n'entre point dans les
équations (L) du n° 1 . Le terme 7—^-2=3 ^^^^^ P*^ son développement
une fonction de la forme
7^ [^A«» + A(o cos(U - v') + A(2^ cos3(U t.') +. . .].
Le terme — ^ ^ de la seconde des équations (L) du n° 1 donne ainsi la fonction
-^^ [^ACo) + Af O cos(U - f' ) + A(2) cosa (U - c' ) 4- . . .].
De là il est facile de conclure, par les n°^ 9 et 10, qu'il en résulte dans l'expression de au la fonction
IPa^f-
A(''cos(/ — m)c A(2)cosa(i — /n]f \(^'>cos3{i — m]v
fm2 — (i — /n)2 ,|m2 — 4(i — /n)2 ^ i |/n2 — g(i ;„)2
i étant le rapport du moyen mouvement de P à celui de la Lune. De là résulte, par le n° 15, dans ndt la fonction
et par conséquent dans w« -+- e la fonction
Pa» r A(Osin(i — m)v ^A^a)sina(i — m)t^ ^A(^^sm3{i~m)v 1
/-/nLi-fma — (ï — /n)2"^ i-|/n=«-4(i — m)a "^ , ima-9(/m)2 "*""*J' OEuvres de L. — HI. 36
Or on a, par ce qui précède, — r^ = rri^, m! étant la niasse du Soleil; la fonction précédente devient ainsi
' ' i — m [i— f/na — (i— m)2~^ I— |/n2 — 4(i— m)2"^ I — fm2 — 9(i — m)2"^
Dans le cas d'une planète inférieure à la Terre, on a, en nommant a le rapport de la distance moyenne de la planète au Soleil, à celle du Soleil à la Terre, et conservant les dénominations du Ghap. VI du Livre Vf,
a'3A(') = 6'3", al^kW^hf, a'^\W = b'i\ ..., â ï î
ce qui change la fonction (A) dans celle-ci,
— j/n^r 6;," sin ( I — m) f ^b^^^ sinili — m]v ^b^^^ sin3{i — m)v "]
/- m Li — 3^2 — (* — "»)» "^ 1 -|m2— 4(1 — m)=» i — fm^— 9(1 — m)» " ' J '
dans laquelle on peut prendre pour {i — m)v la longitude moyenne de la planète, moins celle de la Terre.
Relativement à une planète supérieure, a exprime le rapport de la moyenne distance de la Terre au Soleil, à celle de la planète; ainsi Ton a
ce q^ui change la fonction (A) dans celle-ci, P
[ft'," sm (i — m) c ^6i,^'sin'2(i — m)c ^6^" sm3(i — mjv "I I 1 i I I ^ ...\
i — m Li — |m^ — (i — m)2 i — ^m^ — ^{i — m)'* i-~^m'^ — ^[i
Ce sont les seuls termes sensibles qui peuvent résulter de l'action directe de la planète P sur la Lune.
Mais l'action du Soleil sur la Lune peut rendre sensibles, dans le mouvement de ce satellite, les perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre dues à l'action de P sur la Terre , et y produire des
inégalités du même ordre que celles que nous venons de considérer. Pour le faire voir, considérons le terme .^ 3? qui, par le n° 6, fait partie de la seconde des équations (L) du n° 1. Soit
^Kcosie' n" t -Sn't -h B) àr'
un terme quelconque de —7-» résultant de l'action de P sur la Terre, n"t exprimant le moyen mouvement de P, et n't étant celui de la Terre ; le terme correspondant de —7- sera
- ^Kcos(8'n"/-ên'f + B);
ainsi le terme ,, , produit le suivant, 3Pm'3
Kcos(ê'/i"f — ê«'f + Bl
àr' Si l'on ne considère que les inégalités de -7- indépendantes des excentricités des orbites, et qu'on les représente par la série
p |"K(')cos(n"f — n'/4-£"~e') + K(2) coscs{/i"/ - w' / -h- e"- s') m
' rK(')cos(n"f — n'/4-£"~e') +KC2)coscs(/i"/-/i'/-h-e"-6') "I
' L +Kf3>cos3(n"^-/i'f + e'-e')H- ...J
le terme ,^ 3 produira, dans le second membre de l'équation (L') du n° 9, la fonction
£^L il[K(') cosfï -m)v-\- K^a) cos-ifi -m)(^ H-K(3) ces 3 (/ - m) (; + . . .1,
d'où résulte dans a^u la fonction
3m2 Pr Yi^^)cos[i — m)v K^^^ cosi{i — m)v K(3) cos3(/ — m)f
>r K^Ocos(/ — m)(^ K(2)cos-i(f — m)v
2 w Li — f/n'— ^^ — mj* i — f m* — 4^1 — mj- i ^/n^ — 9(/ — /n)^ et par conséquent, par le n° 15, dans nt -\- t\2i fonction
3m'^ pr KO?sin(/-m)c/ |K('^)sin-2(/-m)(^ iK^3)sin3(f-m)(/
^ ' i-mm\i-im^ — [i~m)^ i— |/n2-4(i-m)2 "^ i — f ma-9(ï-m)a
fonction du même ordre que celle qui résulte de l'action directe des planètes sur la Lune. Nous allons déterminer ces diverses inégalités pour Vénus, Mars et Jupiter.
Relativement à Vénus, on a, par le n*' 23 du Livre VI,
d'où l'on tire, par les formules du n° 49 du Livre II,
Les observations donnent
en supposant donc , comme dans le n° 22 du Livre VI,
la fonction (B), réduite en arcs de cercle, devient
-f- i",78i7o6.sin {i—m)v + o", 746665 . sin 2 ( i — m)v 4- o'',4o575i .sin3(/ — m)v
Ce que nous désignons ici par -7- est désigné, dans le n" 29 du Livre VI, par Br"; on a donc par ce numéro, en vertu de l'action de
Vénus,
dr'
— 0,000006001 2. cos [i — m)v -h 0,0000171431 .cos2(/ — m)v -+- o, 0000027072. cos3(/ — m)v
La fonction (D) réduite en arcs, devient ainsi
+ i",38524i .sin (/ — m)v
— i", 991770. sin2(/ — m)v
— o", 2 1 2o54 . sin 3 ( i — m)v
En la réunissant à la précédente, on a, pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Vénus sur la Lune,
+ 3", 16694 7. sin [i—m)v — i",245io5.sin2(/ — ni)v -h o", 193697. sin3(/ — m)v
Il faut, par le n° 44 du Livre VI, augmenter ces inégalités dans le rapport de 1,0743 à l'unité.
Relativement à Mars, on a, par le n° 23 du Livre VI,
a = o,6563oo3o,
d'où l'on tire
6S;" = 36,2ooi3.
Les observations donnent
en supposant donc, comme dans le n° 22 du Livre VI,
m' 1846082 la fonction (C) devient
— o", 090054 . sin [i — m)v
— o", 034753 . sin "2 ( / — m ) (-•
— o",oi7234.sin3(/ — m)^
On a ensuite, par le n° 29 du Livre VI, en vertu de l'action de Mars,
+ 0,0000005487.005 [i — m]v -\- o , 0000080620 . ces 2 ( i — m]v — o , 0000006475 . CCS 3 ( / — rn)v
La formule (D) réduite en arcs devient ainsi
+ o", i690i2.sin [i~m)v + i", 246244 •sin2(i — m) V — o", 067 1 89 . sin 3 ( I — m ) c
En la réunissant à la précédente, on a, pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Mars sur la Lune ,
-h o", 078958. sin [i — m]v + i", 21 1491 •sin2(i — m)v — o",o84373.sin3(i — m)v
'H^l iM'
Il faut, par le n*' 44 du Livre VI, diminuer ces inégalités dans le rapport de 0,725 à l'unité.
Relativement à Jupiter, on a, par le n° 23 du Livre VI ,
d'où l'on tire
6y'= i,i33io.
Les observations donnent
i — m= — o , 0684952 ; en supposant donc, comme dans le n° 22 du Livre VI,
la fonction (C) devient
rn' 1067,09'
— 0", 026380 . sin 2 ( / —
— 0", 003936 . sin 3 ( i —
On a , par le n** 29 du Livre VI , en vertu de l'action de Jupiter,
TV- = — o , 00000 1 1 00 1 à
— o , 0000090986 . CCS 2 ( I — m)v
— o , oooooo655o . cos 3 ( i — m)v
La formule (D) réduite en arcs devient ainsi
+ 2",5i9556.sin {i~m)v
— o", 739560. sin2(/ — m)v
— o", 035879 . sin 31J — m)v
En la réunissant à la précédente, on a, pour les inégalités lunaires dues aux actions directe et indirecte de Jupiter sur la Lune ,
+ -2", 802299. sin (/ — m)f
— o", 755940 . sin 2 ( / — m)v
— o",o398i5.sin3(i — m)v
Si l'on prend avec un signe contraire toutes ces inégalités résultantes de l'action des planètes sur la Lune, on aura les inégalités que cette action produit dans l'expression de la longitude vraie de la Lune; on pourra donc les réduire en Tables, en observant que {i — m)v peut être supposé égal à la longitude moyenne de la planète, moins celle de la Terre. Il serait utile de les employer dans les Tables de la Lune, vu la précision à laquelle ces Tables ont été portées.
Le terme 7 ,„ , de l'expression de — /- ~ donne , dans l'équa- ^li^u^ ^ h,^ ou ^
tion (L') du n° 9, le terme
3Pa2A«») , ,
; ecosicv — vs);
d'où il est facile de conclure que la valeur de c est diminuée, par l'action d'une planète inférieure à la Terre, de la quantité
8 m' et par l'action d'une planète supérieure, de la quantité
Pareillement, le terme —r^^ donne, dans l'équation (L') du n° 9, la quantité (')
-xh^u^
ecosfcv — TU),
èr'
—r étant ici la partie constante des perturbations du rayon vecteur de
Torbe terrestre, donnée par le n** 29 du Livre VI; la valeur de c est donc par là diminuée de la quantité
Il est facile de s'assurer que toutes ces quantités sont insensibles.
Considérons présentement les perturbations du mouvement lunaire en latitude. La somme des termes
li-ii du li'^u^ ds
qui font partie de la troisième des équations (L) du n° 1, acquiert par l'action de P la quantité
3P^ SPRA-^Scoslt^-t^'j-SPRaScosit^^-U)
Cette fonction contient, relativement à une planète inférieure, le terme
X étant l'inclinaison de l'orbite de P à l'écliptique, et 0 étant la lon-
( 1 ) Bowditch fait remarquer que cette quantité doit être affectée du signe -1- et non pas
du signe —, d'où il suit que la valeur do c est augmentée et non pas diminuée de ^-r— —r-
Il y a lieu également de changer les signes des deux formules de l'alinéa suivant qui ont g' — I en dénominateur, ainsi que ceux des trois inégalités qui ont pour arguments v — 0', (, — 9"\ V -0'\ V. P.
OEuvres de L. — III. 87
gitude de son nœud ascendant. Il en résulte dans s, pour une planète inférieure, l'inégalité
pour une planète supérieure, cette inégalité devient
1^3 l mUb'l^~ccb'l'\
^ ^ ^Xsin(i^-9).
En réduisant en nombres ces inégalités, on a, en employant les masses du n" 44 du Livre VI , relativement à Vénus ,
+ o", 853296. sin(f—0');
relativement à Mars ,
— o",oi6Q66.sm{v-ô"'),
et relativement à Jupiter,
— o", ii7o5i.sin(p — 6'"),
6', 6" et 6" étant les longitudes des nœuds ascendants des orbites de Vénus, Mars et Jupiter.
Enfin il est aisé de voir que la valeur de g est augmentée, par l'ac-
3 P tion de P, delà quantité ^ —nî^b^^^ relativement à une planète infé-
3 P ricure à la Terre, et de la quantité ^ —ym^oL^bi"^ relativement à une
planète supérieure.
Le terme — î^r— r-
équations (L) du n** 1, augmente encore la valeur de ^de la quantité 9-- ~, -4- étant la partie constante des perturbations du rayon vecteur de l'orbe terrestre. Ainsi la valeur de g est augmentée par l'ac-
Le terme — . " ^ ? qui, par le n° 11, fait partie de la troisième des
tion des planètes de la même quantité dont cette action diminue la valeur de c. Mais ces quantités sont insensibles.
L'action directe de P sur la Lune introduit dans l'équation (L') du n*' 9 une quantité de la forme
e" étant le rapport de l'excentricité au demi-grand axe dans l'orbite de P. Il en résulte dans la longitude moyenne de la Lune une équation séculaire, analogue à celle que nous avons trouvée dans le n" 15
égale à
Celle-ci résulte du développement du terme i^ 3' ^^^^ est incompa-
rablement supérieure à la première, à cause du très-petit facteur — ;
qui multiplie cette première équation. Ainsi l'action indirecte de la planète P sur la Lune, transmise par le moyen du Soleil, l'emporte de beaucoup, à cet égard, sur son action directe, que l'on peut négliger ici sans erreur sensible.
