Les équations différentielles du numéro précédent
rdv-
cos^ô — r
dd^dt-
Hi
d{r^-~cos''-d "'dt
dQ
d-^9 dv^- , ^
~TTr -^ '■ -TTT sin&cos6> dt^ dt^
o.rdrdQ ~'~di^
dQ
ne sont qu'une combinaison des équations différentielles [i) du même numéro, mais elles sont plus commodes et plus adaptées aux usages astronomiques. On peut leur donner d'autres formes qui peuvent être utiles dans diverses circonstances.
Au lieu des variables r et 6, considérons celles-ci u et s, u étant égal
à - — ^ ou à l'unité divisée par la projection du rayon vecteur sur le
plan des x et des y, et s étant égal à tangO ou à la tangente de la latitude de m au-dessus du même plan. Si l'on multiplie la seconde des équations (H) par rVt^cos^O, et qu'ensuite on l'intègre, on aura
dv
u'^dt
çdq dv^
h étant une constante arbitraire; on a donc
dv
dt
Si l'on ajoute la première des équations (H), multipliée par — cosd,
sinQ
à la troisième, multipliée par — —i on aura
dt- ^ u dt'^
àQ
=- u- — ^ + us au
ds
^ du , dj^ ^ ^^,^^ (^ + £ ^\ u-dt ' udt \du ' u ()s I
En substituant pour dt sa valeur précédente et regardant dv comme
constant, on aura
dQ du àQ s^dQ d'^u ~
dv-
ôv u-dv du u as
roQ d^
J dv u-i
La troisième des équations (H) deviendra de la même manière, en y traitant d{> comme constant,
dv-
ds dQ .,, r)0 ^)0
-y- -r-^ — r + 52 -r^ — US -^
dv ôv ' us (lu
Wao CàQ dv
On aura donc, au lieu des trois équations différentielles (H), les suivantes
'•f>Q dv
dt =
o //. / '>Q di'
dQ du <]Q iàQ d^u ôv u'^dv Ou u Os
I ""^-d^-^"-" :; — rw'd'v —
Oz=z -—— -h S
dv^
ds ÔQ ÔQ , ^.ÔQ
dv dv
du
Si l'on veut éviter les fractions et les radicaux, on pourra donner à ces
équations la forme suivante
l av^ uav^ dv dv^
] /^ \/ ±C^^\ ï (àQ. du dQ 5 ()Q\ ^^^ \''~\dv^ ^"'jV'^li-'J di> u^)~^ hA^di> u-'di> du û ôs)'
d^s dv^
En employant d'autres coordonnées, on formerait de nouveaux systèmes d'équations différentielles : supposons, par exemple, que l'on change les coordonnées ce et y des équations [i] du n*^ 14 en d'autres relatives à deux axes mobiles situés sur le plan de ces coordonnées, et dont le premier indique la longitudç moyenne du corps m, tandis que le second lui est perpendiculaire. Soient oo^ et y, les coordonnées de m relativement à ces axes, et désignons par nt -h t la longitude moyenne de m ou l'angle que l'axe mobile des x^ fait avec l'axe des x-, on aura
:r =z X, Qos' nt 4- e) — r, sinfnf -f- e), j- = jr, sin(n^ + e) + j, cos(n^ + e), d'où l'on tire, en supposant dt constant,
d^xcos[nt 4- e) + d^x sin(/i^4- e) — d'-x, — n'-x, dt- — -^ndy, dt, d'-y cos [nt -h e] — d'^ x sin [nt -Jn z) = d^r, — n-y, df^ -h '?.ndx,dt.
En substituant dans Q, au lieu de x et de j, leurs valeurs précédentes,
on aura
dQ dQ
dx
dQ
cos [nt
sin (nt -h e]
dQ . s
dQ
cos [nt
dx, -"^— ' '' ' dx.
Cela posé, les équations différentielles {i) donneront les trois suivantes
d-^x, df^
df^
'dt^
dQ
dz '
dr, dt
dx, ^""df-
dx.
OEuvres de L.
Après avoir donné les équations différentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, et après en avoir déterminé les seules intégrales exactes que l'on ait pu obtenir jusqu'à présent, il nous reste à intégrer ces équations par des approximations successives. Dans le système solaire, les corps célestes se meuvent à peu près comme s'ils n'obéissaient qu'à la force principale qui les anime, et les forces perturbatrices sont peu considérables; on peut donc, dans une première approximation, ne considérer que l'action mutuelle de deux corps, savoir, celle d'une planète ou d'une comète et du Soleil dans la théorie des planètes et des comètes, et l'action mutuelle d'un satellite et de sa planète dans la théorie des satellites. Nous commencerons ainsi par donner une détermination rigoureuse du mouvement de deux corps qui s'attirent : cette première approximation nous conduira à une seconde dans laquelle nous aurons égard à la première puissance des forces perturbatrices; ensuite nous considérerons les carrés et les produits de ces forces; en continuant ainsi, nous déterminerons les mouvements célestes avec toute la précision que les observations comportent.
