CHAPITRE III
PREMIERE APPROXIMATION DES MOUVEMENTS CELESTES, OU THEORIE DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE.
16. Nous avons déjà fait voir, dans le premier Chapitre, qu'un corps attiré vers un point fixe par une force réciproque au carré de la distance décrit une section conique; or, dans le mouvement relatif du corps m autour de M, ce dernier corps étant considéré comme en repos, il faut transporter en sens contraire à m l'action que m exerce sur M; ainsi, dans ce mouvement relatif, m est sollicité vers M par une force égale à la somme des masses M et m divisée par le carré de leur distance; le corps m décrit donc une section conique autour de M. Mais l'importance de cet objet dans la théorie du système du monde exige que nous le reprenions sous de nouveaux points de vue.
Pour cela, considérons les équations (K) du n" 15. Si l'on fait M + w = [7., il est visible, par le n*" 14, qu'en n'ayant égard qu'à
l'action réciproque de M et de /w, Q est égal à ^ ou à
équations (K) deviennent ainsi
dt ~
les
dv
dv^
d^s dv^
L'aire décrite pendant l'élément de temps dt par la projection du rayon
dv
vecteur étant égale à — ^^ la première de ces équations nous apprend
que cette aire est proportionnelle à cet élément, et qu'ainsi, dans un
temps fini, elle est proportionnelle au temps. La dernière équation
donne, en l'intégrant,
* = y sin(p — Q),
Y et 9 étant deux arbitraires. Enfin la seconde donne par son intégration
"=Aa(^^y.) y^-^s-^-^ecos{i>-r;5)]
e et ts étant deux nouvelles arbitraires. En substituant dans cette expression de u, au lieu de s, sa valeur en v, et substituant ensuite cette
expression dans l'équation dt = y-—^ l'intégrale de cette équation donnera t en fonction de ^'; on aura donc ainsi v, w et * en fonction du temps.
On peut simplifier considérablement ce calcul, en observant que la valeur de s indique que l'orbite est toute dans un plan dont y est la tangente d'inclinaison sur le plan fixe, et dont 6 est la longitude du nœud, comptée de l'origine de l'angle v. En rapportant donc à ce plan le mouvement de m, on aura * = o et y = o, ce qui donne
M=^ = ^[i + ecos(i;-r3)].
Cette équation est à une ellipse dans laquelle l'origine des r est au foyer; — r— - — ^ est le demi -grand axe, que nous désignerons par a; e est le rapport de l'excentricité au demi -grand axe; enfin rj est la longitude du périhélie. L'équation dt — ~ devient ainsi
v/;:x[n~ ecos(v -'ijs)y
Développons le second membre de cette équation dans une série de
