PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
vitesse primitive de m et de sa distance primitive à M; a est positif dans l'ellipse, il est infini dans la parabole, et négatif dans l'hyperbole; ainsi l'orbite décrite par m est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que V est moindre, égal ou plus grand que Ut/-- Il est
remarquable que la direction du mouvement primitif n'influe point sur l'espèce de la section conique.
Pour déterminer l'excentricité de l'orbite, nous observerons que, si l'on nomme s l'angle que fait la direction du mouvement relatif de m avec le rayon vecteur r, on a
^z=:V2COS2e.
dt- En substituant au lieu de Y^ sa valeur |x ( - — - ] » on aura
dt'^ ^\r a mais on a, par le n° 19,
on aura donc
a[\ — e^\ = r2sin2È(
ce qui fera connaître l'excentricité ae de l'orbite. L'équation aux sections coniques
donne
«fi — «2) — r
cosv =
er
On aura ainsi l'angle v que le rayon vecteur r fait avec la distance périhélie, et par conséquent on aura la position du périhélie. Les équa-
tions (/) du n° 20 feront ensuite connaître l'angle u, et par son moyen l'instant du passage par le périhélie.
Pour avoir la position de l'orbite par rapport à un plan fixe passant par le centre de M, supposé immobile, soit 9 l'inclinaison de l'orbite sur ce plan, et ê l'angle que le rayon r forme avec la ligne des nœuds; soit de plus z l'élévation primitive de m au-dessus du plan fixe, élévation supposée connue; on aura
rsinêsincp = js,
en sorte que l'inclinaison 9 de l'orbite sera connue lorsque l'on aura déterminé ê. Pour cela, nommons \ l'angle, supposé connu, que fait avec le plan fixe la direction primitive du mouvement relatif de m; si l'on considère le triangle formé par cette direction prolongée jusqu'à la rencontre de la ligne des nœuds, par cette dernière ligne et par le rayon r, en nommant / le côté de ce triangle opposé à l'angle ê, on aura
" sin(ê-f-e)' on a ensuite j = sinX; on aura donc
-o zsine
tangê r= — ^—
rsml — zcose
Les éléments de l'orbite de la planète étant déterminés par ces formules en fonction des coordonnées r et 2, de la vitesse de la planète et de la direction de son mouvement, on peut avoir les variations de ces éléments correspondantes à des variations supposées dans la vitesse et dans sa direction, et il sera facile, par les méthodes que nous donnerons dans la suite, d'en conclure les variations différentielles de ces éléments dues à l'action de forces perturbatrices. Reprenons l'équation
Dans le cercle, a = r, et par conséquent V= U t/--, ainsi les vitesses
