PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

des planètes dans des cercles différents sont réciproques aux racines carrées de leurs rayons.

Dans la parabole, a = co , partant V = U i/--, les vitesses dans les

différents points de l'orbite sont donc alors réciproques aux racines carrées des rayons vecteurs, et la vitesse à chaque point est à celle qu'aurait la planète, si elle décrivait un cercle d'un rayon égal au rayon vecteur r, comme v/2 : i .

Une ellipse infiniment aplatie se change en ligne droite, et dans ce cas V exprime la vitesse de m, s'il descendait en ligne droite vers M. Supposons que m parte de l'état du repos, et que sa distance primitive à M soit r; supposons de plus que, parvenu à la distance r', il ait acquis la vitesse V; l'expression précédente de la vitesse donnera les deux équations suivantes :

c'est l'expression de la vitesse relative acquise par m, en partant de la distance r et en tombant vers M de la hauteur r— r'. On déterminera facilement, au moyen de cette formule, de quelle hauteur le corps m, mû dans une section conique, devrait tomber vers M, pour acquérir, en partant de l'extrémité du rayon vecteur r, une vitesse relative égale à celle qu'il a à cette extrémité; car, V étant cette dernière vitesse, on a

mais le carré de la vitesse acquise en tombant de la hauteur r—r' est 2U'^^~,^ ; en égalant ces deux expressions, on aura donc

r[ia — r]

Dans le cercle, a -~ r, et alors r — r'=|/'; dans l'ellipse, on a r~r'<C{r; a étant infini dans la parabole, on a r — r'~ ^r; et dans l'hyperbole, où a est négatif, on a r — r' > ^r.