PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

observant que, si T est la durée de la révolution sidérale de la Terre, dont la moyenne distance au Soleil est prise pour unité, on a, par le nM6, T = 2x,

[a] T= — - [arccos^' — arccosz — sin (arccos^') -{- sin (arccosz)].

Les mêmes cosinus pouvant appartenir à plusieurs arcs, cette expression de T est ambiguë, et il faut bien distinguer les arcs auxquels répondent les cosinus z et z' .

Dans la parabole, le demi-grand axe a est infini, et l'on a

. , ,, I /R-+-c\^ arccosz — sm (arceosz ) = ^ • I ^j •

En faisant c négatif, on aura la valeur de arccos^ — sin(arccosz); la formule [a) donnera donc, pour le temps t employé à décrire l'arc sous-tendu par la corde c,

= ^[[r+r' + cfzp[r-r-r'-cf].

le signe — ayant lieu lorsque les deux extrémités de l'arc parabolique sont situées du même côté de l'axe de la parabole, ou lorsque, l'une d'elles étant située au-dessous, l'angle formé par les deux rayons vecteurs est tourné vers le périhélie; il faut employer le signe -f- dans les autres cas. T étant égal à 365J, 25638, on a

Dans l'hyperbole, a est négatif; z et z' deviennent plus grands que l'unité; les arcs arccos^ et arccos^' sont imaginaires, et l'on a en logarithmes hyperboliques

arccos2 = — =r= log(2 + v/2^^~— ^),

OEuvres de L.— V

arccosz'= -= Iog(z'+ s/^'^» -i);

la formule (a) devient ainsi, en y changeant a dans — a,

^ [^z'-' - i^s/z' -i -\og{z' + s/z"^ - i)±log{z -h s/z-' -l)].

La formule {a) donne le temps qu'un corps emploie à descendre en ligne droite vers le foyer, en partant d'une distance donnée, avec une vitesse donnée; il suffît pour cela de supposer l'ellipse qu'il décrit alors infiniment aplatie. Si l'on suppose, par exemple, que le corps parte de l'état du repos, à la distance 2a du foyer, et que l'on cherche le temps t, qu'il emploie à s'en approcher de la distance c, on aura dans

ce cas R= 2a H- r, r~ 2a — c, ce qui donne z' = — i, z — — -- -, la formule (a) donnera donc

a^T / c — a l-xac — c-

1 7r — arecos h i/ :,—

Il y a cependant une différence essentielle entre le mouvement elliptique vers le foyer et le mouvement dans une ellipse infiniment aplatie. Dans le premier cas, le corps, parvenu au foyer, passe au delà et s'en éloigne à la même distance dont il était parti; dans le second cas, le corps, parvenu au foyer, revient au point d'où il était parti. Une vitesse tangentielle à l'aphélie, quelque petite qu'elle soit, suffit pour produire cette différence, qui n'influe point sur le temps que le corps emploie à descendre vers le foyer.

28. Les observations ne faisant pas connaître les circonstances du mouvement primitif des corps célestes, on ne peut pas déterminer par les formules du n** 26 les éléments de leurs orbites. Il est nécessaire pour cet objet de comparer entre elles leurs positions respectives observées à différentes époques, ce qui présente d'autant plus de difficultés que l'on n'observe point ces corps du centre de leurs mouvements. Relativement aux planètes, on peut, au moyen de leurs oppositions ou de leurs conjonctions, avoir leur longitude telle qu'on l'observerait du