PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL

T~id^ (ê — esinêcosê').

Si l'on ajoute l'une à l'autre les deux expressions de r et de r' en u et u\ et si l'on observe que

on aura

ces m' h- ces m = 2 cosê ces 6',

R = 2a(r — ecos6cos6').

Maintenant soit c la corde de l'arc elliptique ; on a

c2 = r^ + r'2 — 2rr' cos(f — t^') ;

mais les deux équations

ai — e^ . ,

r:= — ^5 rr-a I— ecoSM

i + ecosv ^

donnent celles-ci

cosa — e . adi—e'^sinu cosf = a— ) sin('=— ï

On a pareillement

a (ces a' — e) , , adi — e'^sinu'

COSV = — ^^ r -•> Smf =— '^ r— :

on aura donc

rr' cos{v — i^') — a2(e — cosm) (e — cosm') + «2(1 — e2) sinwsinM',

et par conséquent

c2 = 2a2(, e-) (i — sinMsinM'— cosMCOSw') -+ a'e-[cosu — cosu')'^;

or on a

partant

sinMsina'-f- cosmcosm'= acos^S - i, CCS u — ces m' = 2 sin 6 sin 6' ;

c2 = 4^2 sin26(i — e2 cos2g

2fiM.

on a donc ainsi les trois équations suivantes :

R = 2a(i — ecosêcos6'),

T — 2a'' (6 — esinêcosê'), c2 = 4a2sin2ê(i — e2cos26').

La première de ces équations donne

-, 2rt — R

ecosê = s;

aacosb

en substituant cette valeur de ecosê' dans les deux autres, on aura

T =2a^(êH tangê).

c^ = /^a^xang^ëïcos^B-l^^^-\ ].

Ces deux équations ne renferment point l'excentricité e, et, si dans la première on substitue au lieu de ê sa valeur donnée par la seconde, on aura t en fonction de c, R et a. On voit ainsi que le temps t ne dépend que du demi-grand axe, de la corde c et de la somme R des rayons vecteurs extrêmes.

Si l'on fait

la dernière des équations précédentes donnera

COSaê = 22' + v^(l — 22) (i a'2),

d'où l'on tire

2ê = arccos2' — arccos2,

arccosz désignant ici l'arc qui a z pour cosinus; on a par conséquent

sin farccos2') — sin(arccos2]

tangê

on

a ensuite z + z'= ; l'expression de t deviendra donc, en