PREMIERE PARTIE. LIVRE II
n quantités a, \-J- )•>"•' Mais on doit observer que, s étant supposé fort
petit, on peut négliger les termes multipliés par s"", s"^\ . . ., ce qui réduit la suite infinie à ses n premiers termes, que l'on pourra déterminer par les n observations. Ces déterminations ne seront qu'approchées, et leur exactitude dépendra de la petitesse des termes que l'on néglige; elles seront d'autant plus précises que s sera plus petit et que l'on emploiera un plus grand nombre d'observations. La théorie des interpolations se réduit donc à trouver une fonction rationnelle et entière de s, qui soit telle, qu'en y substituant pour s le nombre des jours qui correspondent à chaque observation, elle se change dans la longitude observée.
Représentons par ê, ê', ê", ... les longitudes observées de la comète, et par i, i , i" , ... les nombres des jours dont elles suivent l'époque donnée; ces nombres doivent être supposés négatifs pour les observations antérieures à cette époque. Si l'on fait
^' —^ ^£ ^" — ^' ^s' ^"' ~" ^" — Ai?"
la fonction cherchée sera
ê + (^ - i)Be-ï-{s-i){s~ i'] Ô2ê + [s-i){s- i') (5 - i") 536 -+-... ;
car il est facile de s'assurer que, si l'on fait successivement s = i,
s= i', s = i", . . , elle se changera dans ê, ê', ê",
Maintenant, si l'on compare la fonction précédente à celle-ci
fdcc\ s^ (d^cc
on aura, en égalant les coefficients des puissances semblables de s,
a = g - i Ô6 -4- ii' Ô2 6 — ii'i"è^ g -f- • . . ,
!i^^ == ôê {i-^i'] Ô2ê + [ii' + //"+ i'i'^) Ô3i
les différences ultérieures de a nous seront inutiles. Les coefficients de ces expressions sont alternativement positifs et négatifs; le coefficient de ?5'"ê est, abstraction faite du signe, le produit r à r des r quantités i, i', i", ..., i''^"'^ dans la valeur de a; il est la somme des produits des
mêmes quantités r—i à r— i dans la valeur de (t^); enfin il est
ds
la somme des produits de ces quantités r — 2 |à r — 2 dans la valeur
, 1 / d- <x\ 2 \ ds- 1
Si l'on nomme y, y', y"»--- les latitudes géocentriques observées de la comète, on aura les valeurs de 6, {j-y (^)'* "' ^" changeant, dans
les expressions précédentes de a, ( ^ ) 5 ( -^) ' • - • » les quantités ê, ê', b ,..., en y, y , y ,
Ces expressions sont d'autant plus précises qu'il y a plus d'observations et que les intervalles qui les séparent sont plus petits; on pourrait donc employer toutes les observations voisines de l'époque choisie, si elles étaient exactes; mais les erreurs dont elles sont toujours susceptibles conduiraient à un résultat fautif; ainsi, pour diminuer l'influence de ces erreurs, il faut augmenter l'intervalle des observations extrêmes, à mesure que l'on emploie plus d'observations. On pourra de cette manière, avec cinq observations, embrasser un intervalle de 35 ou 4o degrés, ce qui doit conduire à des valeurs très-approchées de la longitude et de la latitude géocentriques et de leurs premières et secondes différences.
Si l'époque que l'on choisit est telle qu'il y ait un nombre égal d'observations avant et après, de manière que chaque longitude qui la suit
