PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

ait une longitude correspondante qui la précède du même intervalle,

cette condition rendra les valeurs de a, l-^) et (-j^) plus approchées,

et il est facile de s'assurer que de nouvelles observations, prises à égales distances de part et d'autre de l'époque, ne feraient qu'ajouter à ces valeurs des quantités qui seraient, par rapport à leurs derniers termes,

du même ordre que le rapport de s'^ ( ^-r) ^ *• Cette disposition symétrique a lieu lorsque, toutes les observations étant équidistantes, on fixe l'époque au milieu de l'intervalle qu'elles comprennent; il y a donc de l'avantage à employer de semblables observations. En général, il sera toujours avantageux de fixer l'époque vers le milieu de cet intervalle, parce que, le nombre de jours qui la séparent des observations extrêmes étant moins considérable, les approximations sont plus convergentes. On simplifiera encore le calcul en fixant l'époque à l'instant même d'une des observations, ce qui donnera immédiatement les valeurs de a et de 9.

Lorsque l'on aura déterminé, parce qui précède, [-?-]•' ['ifT)'' \'t] et [-rr]'» on 6n conclura de cette manière les différences premières et

secondes de a et de 0, divisées par les puissances correspondantes de l'élément du temps. Si l'on néglige les masses des planètes et des comètes vis-à-vis celle du Soleil, prise pour unité de masse; si, de plus, on prend pour unité de distance sa moyenne distance à la Terre, le moyen mouvement de la Terre autour du Soleil sera, par le n*" 23, la mesure du temps t. Soit donc \ le nombre de secondes que la Terre décrit dans un jour, en vertu de son moyen mouvement sidéral ; le temps t correspondant au nombre s de jours sera \s\ on aura donc

\dt)~l\ds)' [dt'^J- l'^\ds'^)'

Les observations donnent, en logarithmes des Tables, Iog>> — 4,0394622 ; de plus, logX^ = logX -f-logvr^ R étant le rayon du cercle, réduit en

secondes; d'où résulte log"X^ = 2,275o444; partant, si l'on réduit en

secondes les valeurs de l-^) et de (-jr)' ®^^ ^"**^ ^^^ logarithmes de d(x\ ,1 / d-

-^\ et de ( -j^ \ •> en retranchant des logarithmes de ces valeurs les logarithmes l\,oZc)l\Ç>i-2 et 2,275o444- 0" aura pareillement les logarithmes de ( -TT-) et de (^77)' en retranchant respectivement les mêmes logarithmes des logarithmes de leurs valeurs réduites en secondes. C'est de la précision des valeurs de a, \-^]-> \ -ïw) ' ^' ( jt ) et ( -7-7- )

que dépend l'exactitude des résultats suivants, et, comme leur formation est très-simple, il faut choisir et multiplier les observations, de manière à les obtenir avec le plus de précision qu'il est possible. Déterminons présentement, au moyen de ces valeurs, les éléments de l'orbite de la comète, et, pour généraliser ces résultats, considérons le mouvement d'un système de corps animés par des forces quelconques.

30. Soient x, y, z les coordonnées rectangles du premier corps; x', y', z celles du second corps, et ainsi de suite. Concevons que le premier corps soit sollicité, parallèlement aux axes des x, des y et des z, par les forces X, Y et Z, que nous supposerons tendre à diminuer ces variables. Concevons pareillement que le second corps soit sollicité, parallèlement aux mêmes axes, par les forces X', Y', Z', et ainsi de suite. Les mouvements de tous ces corps seront donnés par les équations différentielles du second ordre

0^-^4-X, 0=.^+Y, 0=:^-HZ,

Si le nombre de ces corps est n, ces équations seront au nombre 3/i, et leurs intégrales finies renfermeront Ç)n arbitraires, qui seront les éléments des orbites des différents corps.