LIVRE II
da
raAC^'J
/(« — n')[i2(/i — «')2 — «2] m' ( A C + A' D) /i^ sin ( n< + s ) + m' ( /C 4- /' D) n? cos ( nf H- e )
sin iin't — nt -i- e' — e 1
nm'lt
rr sin[i(n'^ — n^ + e'— e) + nf H-e]
-7- cos[i{n7 — n/4-e — e) + n^ + ej
En réunissant ces expressions de Br et de tv aux valeurs de r et de p relatives au mouvement elliptique, on aura les valeurs entières du rayon vecteur de m et de son mouvement en longitude.
51. Considérons présentement le mouvement de m en latitude. Pour cela, reprenons la formule (Z') du n° 47. Si l'on néglige le produit des inclinaisons par les excentricités des orbites, elle devient
d^-àu' ,» , I ^R
l'expression de R du n'' 48 donne, en prenant pour plan fixe celui de l'orbite primitive de /w,
dz
2R(') cosiin't — nt + e'— e),
la valeur de i s'étendant à tous les nombres entiers positifs et négatifs, en y comprenant même « = o. Soient y la tangente de l'inclinaison de l'orbite de m' sur l'orbite primitive de m, et II la longitude du nœud ascendant de la première de ces orbites sur la seconde; on aura, à trèspeu près,
2'=a'ysin(n7 + e'— H),
ce qui donne
dR m
-— = — - y sinin't -t- e'- H) «',R(<)ysin(n/ + e — II)
a' 2R('-0y sm{i[n't — nt -h e'— t] -h nt -h e — H],
OEtivres de L — \. Sg
me MÉCANIQUE CÉLESTE.
la valeur de i s'étendant ici, comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres entiers positifs et négatifs, la seule valeur i= o étant exceptée. L'équation différentielle en Sm' deviendra donc, en multipliant la
valeur de -r- par n^a^, qui est égal à l'unité,
o= — j-^ h n^6u'~m'n--j^ y sin(« / + e'— H) H a«'B(')7sm(Ai^ -he - U]
+ ^^^ oa' 2B('-')y sin[i («7 - n^ -t- e'— e) + n^ + e — H] ;
d'où l'on tire, en intégrant et en observant que, par le n° 47, ^^ = — a tu\
05= ;,— — — -^ysmin't-he —U) -, B^^^nt.y cosint -^ e — Il
H ^-i; — f n MTïï ysinf/ n7 — n/-f-e'— £ +n^ + £ — n |.
2 n- — in — i[n — n)j-' ^ ^ ' -•
Pour avoir la latitude de m au-dessus d'un plan fixe peu incliné à celui de son orbite primitive, en nommant 9 l'inclinaison de cette orbite sur le plan fixe, et 0 la longitude de son nœud ascendant sur le même plan, il suffira d'ajouter à h la quantité tangcp sin(ç' — 8) ou tang(psin(/i/ -f-6 — 0), en négligeant l'excentricité de l'orbite. Nommons (p' et 6' ce que deviennent ç et 0 relativement à m'. Si m était en mouvement sur l'orbite primitive de m', la tangente de sa latitude serait tang(p'sin(/i/ + e — 6'); elle serait tang9 sin(/î^ + e — 6), si m continuait de se mouvoir sur son orbite primitive. La différence de ces deux tangentes est à très-peu près la tangente de la latitude de m audessus du plan de son orbite primitive, en le supposant mû sur le plan de l'orbite primitive de m'; on a donc
tartgcp' sin(n/ -{-e — 6')— tang9 sin [nt + e -- 9) = y sin («; -f- e — H).
Soit
langcp sin9=/?, tangç' sinô'=:^',
langfjpcosô = ^, tang9' cos0'=ç';
on aura
ysinU=p' — p, ycos'n = q'—q,
et par conséquent, si l'on désigne par s la latitude de m au-dessus du
