PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE IL

plan fixe, on aura, à très-peu près,

m'a^a' $ = ^sin(nf + e) — p QOs[nt -{- e) -;; — ip'—p) B(*^wf sin{/i/ + e)

[ —r — -? ^:, r\-n: sm 1 1( n' t — nt -h £ — e) -h nt -h^sli

f — T — -w t^tt cosTi w / — nt-+-z — e 4-nf -f-ej \

m ti-a^a „ ,

52. Rassemblons présentement les formules que nous venons de trouver. Nommons [r) et [v) les parties du rayon vecteur et de la longitude V sur l'orbite, qui dépendent du mouvement elliptique; on aura

r— (r)-f-ôr, v=^[v) -\- àv.

La valeur précédente de s sera la latitude de m au-dessus du plan fixe; mais il sera plus exact d'employer, au lieu de ses deux premiers termes, qui sont indépendants de m! , la valeur de la latitude qui aurait lieu dans le cas où m ne quitterait point le plan de son orbite primitive. Ces expressions renferment toute la théorie des planètes, lorsque l'on néglige les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui est le plus souvent permis. Elles ont d'ailleurs l'avantage d'être sous une forme très -simple, qui laisse facilement apercevoir la loi de leurs différents termes.

Quelquefois on aura besoin de recourir aux termes dépendants des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons, et même des puissances et des produits supérieurs. On pourra déterminer ces termes par l'analyse précédente; la considération qui les rend nécessaires facilitera toujours leur détermination. Les approximations dans lesquelles on y aurait égard introduiraient de nouveaux termes, qui dépendraient de nouveaux arguments. Elles reproduiraient encore les arguments que donnent les approximations précédentes, mais avec des coefficients de plus en plus petits, suivant cette loi, qu'il est aisé de con-

dure du développement de R en série, donné dans le n° 48 : Un argument qui, dans les approximations successives, se trouve pour la première fois parmi les quantités d'un ordre quelconque r, n est reproduit que par les quantités des ordres r4-2, r-f-4'----

Il suit de là que les coefficients des termes de la forme t int-h s),

^ ces ^ '

qui entrent dans les expressions de r, v et s, sont approchés jusqu'aux quantités du troisième ordre, c'est-à-dire que l'approximation dans laquelle on aurait égard aux carrés et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites n'ajouterait rien à leurs valeurs; elles ont donc toute la précision que l'on peut désirer, ce qu'il est d'autant plus essentiel d'observer, que de ces coefficients dépendent les variations séculaires des orbites.

Les divers termes des perturbations de r, v, s sont compris dans la

forme

» sin r ., ,^ , , T

k \i[n t — nt-i- 1 — z) -h rnt-\- rt],

CCS'

r étant un nombre entier positif ou zéro, et k étant une fonction des excentricités et des inclinaisons des orbites de l'ordre r ou d'un ordre supérieur. On peut juger par là de quel ordre est un terme dépendant d'un angle donné.

Il est clair que l'action des corps m", ni", ... ne fait qu'ajouter aux valeurs précédentes de r, v ei s des termes analogues à ceux qui résultent de l'action de m', et qu'en négligeant le carré de la force perturbatrice, les sommes de tous ces termes donneront les valeurs entières de r, V et s. Cela suit de la nature des formules (X'), (Y) et (Z), qui sont linéaires relativement aux quantités dépendantes de la force perturbatrice.

Enfin, on aura les perturbations de m', produites par l'action de m, en changeant, dans les formules précédentes, a, n, h, l, e, ct, p, q et m' en a', n\ h', /', e', vs', p' , q' et m, et réciproquement.