PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
En égalant séparément à zéro les coefficients des sinus et des cosinus semblables, on aura
dn
dh . de m'n ,.^ ,,,, dl , dz m'n , , „ ,,^.
Si l'on intègre ces équations, et si dans leurs intégrales on change 0 en t, on aura, par le n° 43, les valeurs des arbitraires en fonctions
de t, et l'on pourra effacer les arcs de cercle des expressions de -J- et
de r; mais, au lieu de ce changement, on peut tout de suite changer 0 en t dans ces équations différentielles. La première de ces équations nous montre que n est constant, et, comme l'arbitraire a, de l'expression de r, en dépend, en vertu de l'équation /i^ = — , « est pareillement constant. Les deux autres équations ne suffisent pas pour déterminer h, l, £. On aura une nouvelle équation, en observant que
l'expression de -^ donne, en l'intégrant, ^ndt pour la valeur de la longitude moyenne de m; or nous avons supposé cette longitude égale à 71^ + £ ; on a donc w^ -f- e = /n dt, ce qui donne
dn de
'dt^m='''
et, comme on a ^ — o, on aura pareillement -r == o. Ainsi les deux
arbitraires n et e sont constantes; les arbitraires h et l seront par conséquent déterminées au moyen des équations différentielles
La considération de l'expression de -r- nous ayant suffi pour déterminer les valeurs de n, a, h, l et e, on voit a priori que les équations différentielles entre les mêmes quantités, qui résultent de l'expression de r, doivent coïncider avec les précédentes. C'est ce dont il est facile de s'assurer a posteriori, en appliquant à cette expression la méthode du n° 43.
Considérons maintenant l'expression de s. En la comparant à celle de y du numéro cité, on aura
X — gsin(«^H- e) — pQ,os{nt -\- e) -h m'Xf
Y = ^ a^a'B(*){p -p')sm{nt h- e) + ^ a^a'BO [q - q'] cos{nt + e).
n et e étant constants, par ce qui précède, on aura, par le n° 43,
X'= -jI sin(«<4-e) — -^ cos(nf H-e), X"= o.
L'équation o = X'-+- 6X' — Y devient ainsi
o= t| sin{nt-he) — -^ cos[nt -{- e)
^aaa'B(*)(^|,')sin(n/ + e)- ^ a^a"R(')[q-q')cos{nt-^ t);
d'où l'on tire, en comparant les coefficients des sinus et des cosinus semblables, et en changeant 6 en t, pour avoir directement /> et q en fonctions de /, ^
(4) ^ = i^a.«'BO.(;,-p').
Lorsque l'on aura déterminé p et q par ces équations, on les substi-
