PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II
tuera dans l'expression précédente de s, en effaçant les termes qui contiennent des arcs de cercle, et l'on aura
5= ^ sinfnf H- s) — pcos[nt + e) +,w'%.
54. L'équation -y- = o, que nous venons de trouver, est d'une
grande importance dans la théorie du Système du monde, en ce qu'elle nous montre que les moyens mouvements des corps célestes et les grands axes de leurs orbites sont inaltérables; mais cette équation n'est approchée que jusqu'aux quantités de l'ordre m'h inclusivement. Si les quantités de l'ordre m'h^ et des ordres suivants produisaient
dans -T- un terme de la forme 2 /et, k étant une fonction des éléments at
des orbites de m et de m', il en résulterait dans l'expression de (^ le
terme kt-, qui, en altérant la longitude de m proportionnellement au
carré du temps, deviendrait à la longue extrêmement sensible. On
n'aurait plus alors -!j = o; mais, au lieu de cette équation, on aurait,
par le numéro précédent, ~ = 2k; il est donc très-important de savoir s'il existe dans l'expression de (^ des termes de la forme kt^. Nous allons démontrer que, si l'on n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices , quelque loin que l'on porte d'ailleurs les approximations relativement aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites, l'expression de v ne renfermera point de termes semblables.
Reprenons pour cela la formule (X) du n" 46,
a CCS
V 1 ndt.rs'mvUfdK-hr-y-\—asmv / nr//.rcosi^( 2/dR + r — j
ix^i
Considérons la partie de ^r qui renferme des termes multipliés par /^ ou, pour plus de généralité, considérons les termes qui, étant multipliés par le sinus ou par le cosinus d'un angle cet -h ê, dans lequel a
OEuvres de L.— \. 4®
est très-petit, ont en même temps a^ pour diviseur. Il est clair qu'en supposant a = o, il en résultera un terme multiplié par t^, en sorte que ce second cas renferme le premier. Les termes qui ont a^ pour diviseur ne peuvent évidemment résulter que d'une double intégration; ils ne peuvent donc être produits que par la partie de §rqui renferme le double signe intégral /. Examinons d'abord le terme
2 a ces (' /n <// ( r sin t' /dR )
Si Ton fixe l'origine de l'angle v au périhélie, on a dans l'orbite elliptique, par le n° 20,
I 4- e ces V et par conséquent
cosv— -i—
er
d'où l'on tire, en differentiant.
„ , . a I — c2 r2 dv sm v — — i '- dr;
mais on a, par le n° 19,
on aura donc
andt.r sinv rdr
T 4 'i.acosv fndtirsinv fd^] i • i • • Le terme ^^ — ^ — ^ deviendra ainsi
ay'i — e'^ ■^/(rrfr/dR), ou S^ [r^fdK -fr-dK).
Il est visible que, cette dernière fonction ne renfermant plus de doubles intégrales, il ne peut en résulter aucun terme qui ait x^ pour diviseur.
