LIVRE II

ce qui donne

ans , ,

o, I j — cos GT — cî ;

on aura donc, en vertu des actions réciproques des corps m, m', m",....

dT

dw' dt

dm" dt

= (o, i) -+- (o, 2) +...— [o, ij — cos(cî'— eu)

— CCS rn — Tir

H- (i, 2) H-...— |i, o I — cos(cT — rn')— 1 1, 2 I — cos(to"— m)

(2, o) + (2, i) +...— 1 2, o I — cos(cj — ct")— I^Tj] — , cos(cî' — cî") —

Si l'on multiplie ces valeurs de -1-5 —-, - • - •> -^> -|^3 ••• par le

temps t, on aura les expressions différentielles des variations séculaires des excentricités et des périhélies, et ces expressions, qui ne sont rigoureuses que lorsque t est infiniment petit, pourront cependant servir pendant un long intervalle, relativement aux planètes. Leur comparaison avec des observations précises et éloignées entre elles est le moyen le plus exact de déterminer les masses des planètes qui n'ont point de satellites. On a, pour un temps quelconque t, l'ex-

centricité e égale à e 4- ^

de

de d- e

-T-r-> ' • ' étant

P d^e Tt ''~ TTô. It^ ' " ' ' ^' dt' dt'^

relatifs à l'origine du temps z ou à l'époque. La valeur précédente de

■j- donnera, en la différentiant et en observant que a, a,

stants, les valeurs de

sont con-

Hfi ' ^/3 ' ' ^^ pourra donc continuer aussi loin que l'on voudra la série précédente, et, par le même procédé, la série relative à ct; mais, relativement aux planètes, il suffira, dans la comparaison des observations les plus anciennes qui nous soient parvenues, d'avoir égard au carré du temps, dans les expressions en séries de e, e', . . . , cT, ny', . . . .

33i MÉCANIQUE CÉLESTE.

59. Considérons présentement les équations relatives à la position des orbites. Reprenons pour cela les équations (3) et (4) du n*" 53,

'dp m'n „ ,„,,w ,, dq m'n ,i,/,w n

On a, par le n° 4-9,

on a ensuite, par le même numéro,

on aura donc

Le second membre de cette équation est ce que nous avons désigné par (o, i) dans le n° 55; on aura ainsi

^ = io,i){q'-q], § = {o,r)[p-p').

De là il est aisé de conclure que les valeurs de q, /?, q', p' ,. .. seront déterminées par le système suivant d'équations différentielles

df =-[(o,i) + (o,2)-i-.

'•Iq +[o,i)q' +

dq' r, ^ , ^ -^= [(i,o) + (i,2)-+-.

dq" V, s , ^

dp" r/ N / ^