PREMIERE PARTIE. - LIVRE II
renfermera le terme
Si i'' est la plus haute puissance de t que contiennent les valeurs de A, /, A', /',..., i^^ sera la plus haute puissance de t renfermée dans le premier membre de l'équation [ii)\ ainsi, pour que ce membre puisse se réduire à une constante, il faut que l'on ait
o = (P2 + Q2)mv/« + {P'- + Q'-)m'vV+...,
ce qui donne ? = o, Q = o, ?'= o, Q' = o,.... Les expressions de h, l, h', /',... ne renferment donc ni exponentielles, ni arcs de cercle, et par conséquent toutes les racines de l'équation en g sont réelles et inégales.
Le système des orbites de m, m', m",... est donc parfaitement stable relativement à leurs excentricités; ces orbites ne font qu'osciller autour d'un état moyen d'ellipticité, dont elles s'écartent peu, en conservant les mêmes grands axes; leurs excentricités sont toujours assujetties à cette condition, savoir, que la somme de leurs carrés, multipliés respectivement par les masses des corps et par les racines carrées des grands axes, est constamment la même. " ^
58. Lorsque l'on aura déterminé, par ce qui précède, les valeurs de e et de cj, on les substituera dans tous les termes des expressions
de r et de y-? données dans les numéros précédents, en effaçant les
termes qui renferment le temps t hors des signes sinus et cosinus. La partie elliptique de ces expressions sera la même que dans le cas de l'orbite non troublée, avec la seule différence que l'excentricité et la position du périhélie seront variables; mais les périodes de ces variations étant fort longues, à raison de la petitesse des masses m, m\ m",... relativement à M, on pourra supposer ces variations proportionnelles au temps pendant un grand intervalle qui, pour les planètes, peut s'étendre à plusieurs siècles avant et après l'époque où l'on fixe l'origine
du temps. Il est utile, pour les usages astronomiques, d'avoir sous cette forme les variations séculaires des excentricités et des périhélies des orbites; on peut facilement les conclure des formules précédentes. En effet, l'équation e^ = h^+l^ donne e de = h dh-[- Idi; or, en n'ayant égard qu'à l'action de m', on a, par le n'^ 55,
dt
dl dt
partant
mais on a h'I— hl'= ee' sin(cy'— cr) ; on aura donc
-r- =T I o, 1 1 e sm (cj — GJ) ;
ainsi, en ayant égard à l'action réciproque des différents corps m, m',. .., on aura
-3- = I o, 1 1 e'smjgT — ct) + lo, 2| e^'sm(ro — gt )+...,
de dt
d^ dt
de" dt
-jy = |i.o| e sm(Gj — cj ) + l ij 2 c"sm(Gj' — rn ) 4-. . .,
■%'fcin /— "
[2. o| e sin(cT — cj") -4- [âTj] e' sin(Gj' — ro") +. . .,
L'équation tango = 7- donne, en la différentiant,
e^dra— Idh — hdl.
En n'ayant égard qu'à l'action de m\ et substituant pour dh et dl leurs valeurs, on aura
î^=r(o,r){/i»-h/».) \Z7T\{hh+ll'),
