PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE IL 3»r

Des expressions précédentes de petdeq résulte ce théorème :

Que l'on imagine un cercle dont l'inclinaison au plan fixe soit N, et dont gt-h^ soit la longitude du nœud ascendant ; que sur ce premier cercle on imagine un second cercle qui lui soit incliné de N,, et dont g^t -{-^, soit la longitude de son intersection avec le premier cercle ; que sur ce second cercle on imagine un troisième cercle qui lui soit incliné de Na, et dont ^2 ^ + ^2 soit la longitude de son intersection avec le second cercle, et ainsi de suite; la position du dernier cercle sera celle de l'orbite de m.

En appliquant la même construction aux expressions de A et de / du n° 56, on voit que la tangente de l'inclinaison du dernier cercle sur le plan fixe est égale à V excentricité de V orbite de m, et que la longitude de l'intersection de ce cercle avec le même plan est égale à celle du périhélie de l'orbite de m.

60. Il est utile, pour les usages astronomiques, d'avoir les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites. Pour cela, reprenons les équations du numéro précédent,

tangcp= v//'2.g2^ tang0=^-

En les différentiant, on aura

e?(p = dp sin B ^ dq ces B,

dp cos B — dqs'mB

dB = : ~

tangcp

Si l'on substitue pour dp et dq leurs valeurs données par les équations (G) du numéro précédent, on aura

^ = (0,1) langcp' sin(9 -B') + (o, 2) lang^'^sin [B-B") + ..., dt Ll"»'i • i > ; ^ j V > / tangtp ^ 1 \ 1 ta^gcp

OEuvres de L. — I.

on aura pareillement

^^- = (i, o) langcpsin(9'- 9) -f- (i, 2) langç''"sin{0'- 9") 4- ... ,

dt L^ ' ; V ' / j ^ ' ; iang9 ^ 1 \ ' ! langcp • ^ '

Les astronomes rapportent les mouvements célestes à l'orbite mobile de la Terre; c'est, en effet, du plan de cette orbite que nous les observons; il importe donc de connaître les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l'écliptique. Supposons ainsi que Ton veuille déterminer les variations différentielles des nœuds et des inclinaisons des orbites relativement à l'orbite de l'un des corps m, m\ m",..., par exemple, à l'orbite de m. Il est clair que

^sin(n'/-H e') — />cos(/i7 -h e')

serait la latitude de m' au-dessus du plan fixe, s'il était en mouvement sur l'orbite de m. Sa latitude au-dessus du même plan est

^' sin ( n7 -f- e' ) — />' CCS ( n7 + e' ) ;

or la différence de ces deux latitudes est à très- peu près la latitude de m' au-dessus de l'orbite de w; en nommant donc 9^ l'inclinaison, et 6' la longitude du nœud de l'orbite de m' sur l'orbite de m, on aura, par ce qui précède,

tang<p; = v/(^'- />)» + ( V'~7)^. lange; - P^^.

Si l'on prend pour plan fixe celui de l'orbite de m à une époque donnée, on aura à cette époque /> = o, ^ = o; mais les différentielles dp et dq ne seront pas nulles; ainsi l'on aura .

d<^\ = [dp'— dp) sin9'-f- [dq'— dq) cos6',

dff — ^^P'~ ^P^ cosQ'— [dq'— dq )smd' ' " tang<p'