PREMIERE PARTIE. — LIVRE II

En substituant pour dp, dq, dp' , dq\ . . . leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura

^ = [{i, 2) - (o, 2)] langcp" sin(0'- Q")

+ [(i,3)-(o,3)]tang9"'sin(e'-ô'")+...,

+ [('»=^)-(o,2)]^^cos(e'-e'')

+ [(i,3)-(o,3)]1^2;'cos(9'-ô'") + ....

Il est facile de conclure de ces expressions les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des autres corps m", m!\ . . . sur l'orbite mobile de m.

61. Les intégrales trouvées précédemment des équations différentielles qui déterminent les variations des éléments (^es orbites ne sont qu'approcbées, et les relations qu'elles donnent entre tous ces éléments n'ont lieu qu'en supposant les excentricités des orbites et leurs inclinaisons fort petites. Mais les intégrales (4), (5), (6) et (7), auxquelles nous sommes parvenus dans le n° 9, donnent ces mêmes rapports, quelles que soient les excentricités et les inclinaisons. Pour

cela, nous observerons que --^ , '^ ^ est le double de l'aire décrite

durant l'instant dt par la projection du rayon vecteur de la planète m sur le plan des x et des y. Dans le mouvement elliptique, si l'on néglige la masse de la planète vis-à-vis de celle du Soleil, prise pour unité, on a, par les n°^ 19 et 20, relativement au plan de l'orbite de m.

Pour rapporter au plan fixe l'aire sur l'orbite, il faut la multiplier par le cosinus de l'inclinaison 9 de l'orbite à ce plan; on aura donc, par

rapport à ce plan,

xdy — rdx .—. — ^ /a i — e*

dt ^^ ^ V i+tang-'icp'

on aura pareillement

x'dy'—fdx' /a'[i — e'^)

-dT—^y.

tang2(p

etc.

Ces valeurs de xdy —ydx, x'dy' — y'dx\ . . . peuvent être employées lorsque l'on fait abstraction des inégalités du mouvement des planètes, pourvu que l'on considère les éléments e, e', . . . , <p, ç', . . . comme variables en vertu des inégalités séculaires; l'équation (4) du n° 9 donnera donc alors

/ai — e=» , /a' 1 — e'a Ax' —x)[dY'—dy\ — [Y ~Y)[dx' —dx)

V i-i-tang'*9 V iH-lang-'ç dt

En négligeant ce dernier terme, qui reste toujours de l'ordre mm! , on aura

cz=m\ — ^- -^ -^m' \ — \ — f H-

V n-tang''9 V' n-lang2(p

Ainsi, quels que soient les changements que la suite des temps apporte aux valeurs de e, e',..., 9, <p',... en vertu des variations séculaires, ces valeurs doivent toujours satisfaire à l'équation précédente.

Si l'on néglige les quantités très-petites de l'ordre e^ ou e'^cp^, cette équation donnera

c = m\ja -4- m' sfâ' 4- . . . — ^m v'a («' + tang^ç) — {m' sja' [e"^ H- tang2<p' )—...,

et par conséquent, si l'on néglige les carrés de e, e' , 9, . . . , on aura myja -\- m' sfci' -\- . . . constant. On a vu précédemment que, si l'on n'a égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice, a, «', . . . sont constants séparément; l'équation précédente donnera donc, en négligeant les quantités très-petites de l'ordre e* ou e^cp'^

const. — m v^a (e^» 4- tang^ç) -\- m' ^a' [e'^ -f- tang^cp') -i- —