PREMIERE PARTIE. - LIVRE IL
Dans la supposition des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, les variations séculaires des excentricités des orbites sont, par le n° 55, déterminées au moyen d'équations différentielles indépendantes des inclinaisons, et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan; or on a, dans cette hypothèse, cp = o, <p'= o,...; l'équation précédente devient ainsi
const. =z e^m \fâ + e'-m' ^ a' ^ e"-m"y'V'-h. . .,
équation à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le n° 57.
Pareillement, les variations séculaires des inclinaisons des orbites sont, par le n** 59, déterminées au moyen d'équations différentielles indépendantes des excentricités, et qui par conséquent sont les mêmes que si les orbites étaient circulaires; or on a, dans cette hypothèse, e =r o, e=. o, . . . ; partant, on aura
const. = m y/atang^o + m' \ja' lang^cp'-;- m" sj a" tang2<p"+. . .,
équation à laquelle nous sommes parvenus dans le n° 59. Si l'on suppose, comme dans ce dernier numéro,
/? = tang9 sinô, ^ =: lang^cosô,
il est facile de s'assurer que, l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan des X et des/ étant 9, et la longitude de son nœud ascendant, comptée de l'axe des Xy étant G, le cosinus de l'inclinaison de cette orbite sur le plan des x et des z sera
En
\l I + lang^ xdf — ydx
multipliant cette quantité par —^—ff — ou par sa valeur va(i — e^),
on aura la valeur de -r ; l'équation (5) du n^ 9 donnera donc,
en négligeant les quantités de l'ordre w^
^ V n-lang^'cp ^ V «H-tang-'cp
On trouvera pareillement que l'équation (6) du n° 9 donne
/aii — e^) , , /«'(i — e'2)
Si dans ces deux équations on néglige les quantités de l'ordre e^ ou e^ç, elles deviennent
consl. =: mq \[a 4- m'q' \Ja' -+-...,
const — mp sja h- m'p' y'a' -f- . . . ,
équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans le n° 59.
Enfin, l'équation (7) du n° 9 donnera, en observant que, par le n** 18,
et en négligeant les quantités de l'ordre mm',
Ces diverses équations subsistent eu égard aux inégalités à très-longues
périodes qui peuvent affecter les éléments des orbites de m, m\
Nous avons observé, dans le n° 5i, que les rjapports des moyens mouvements de ces corps peuvent introduire dans les expressions des grands axes des orbites, considérées comme variables, des inégalités dont les arguments proportionnels au temps croissent avec beaucoup de lenteur, et qui, ayant pour diviseurs les coefTicients du temps t dans ces arguments, peuvent devenir sensibles. Or il est visible qu*en n'ayant égard qu'aux termes qui ont de semblables diviseurs, et en considérant les orbites comme des ellipses dont les éléments varient à raison de ces termes, les intégrales (4), (5), (6) et (7) du n° 9 donneront toujours les relations que nous venons de trouver entre ces éléments, parce que les termes de l'ordre mm\ que nous avons négligés dans ces intégrales pour en conclure ces relations, n'ont point pour diviseurs les trèspetits coefficients dont nous venons de parler, ou du moins ils ne les
