PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II

coordonnées, pourvu qu'au lieu des différences secondes de ces coordonnées on ne substitue que la partie de leurs valeurs due aux forces perturbatrices. Ces résultats peuvent être immédiatement tirés de la considération du mouvement elliptique.

Pour cela, concevons une ellipse passant par une planète et par l'élément de la courbe qu'elle décrit, et dont le centre du Soleil occupe le foyer. Cette ellipse est celle que la planète décrirait invariablement, si les forces perturbatrices cessaient d'agir sur elle. Ses éléments sont constants pendant l'instant dt, mais ils varient d'un instant à l'autre. Soit donc V= o une équation finie à l'ellipse invariable, V étant fonction des coordonnées rectangles a?, j, z, et des paramètres c, c',..., qui sont fonctions des éléments du mouvement elliptique. Cette équation aura encore lieu pour l'ellipse variable; mais les paramètres c, c' ,... ne seront plus constants. Cependant, puisque cette ellipse appartient à l'élément de la courbe décrite par la planète durant l'instant dt, l'équation V= o aura encore lieu pour le premier et le dernier point de cet élément, en regardant c, c' ,... comme constants. On peut donc différentier cette équation une première fois, en n'y faisant varier que ccy y, z, ce qui donne

-^— dx -\- -^r- dr due of *^

dz

dz.

On voit ainsi la raison pour laquelle les équations finies de l'ellipse invariable peuvent, dans le cas de l'ellipse variable, être différentiées une première fois, en traitant les paramètres comme constants. Par la même raison, toute équation différentielle du premier ordre à l'ellipse

invariable a également lieu pour l'ellipse variable; car soit V'= o

dx dy dz une équation de cet ordre, V étant fonction de a?, J' ^' ^' ^' ^ ^t

des paramètres c, c', Il est clair que toutes ces quantités sont les

mêmes pour l'ellipse variable que pour l'ellipse invariable qui coïncide avec elle pendant l'instant dt.

Présentement, si nous considérons la planète à la fin de l'instant dt ou au commencement de l'instant suivant, la fonction V ne variera de l'ellipse relative à l'instant dt à l'ellipse consécutive que par la varia-

tion des paramètres, puisque les coordonnées a?, y, z, relatives à la tin du premier instant, sont les mêmes pour ces deux ellipses; ainsi, la fonction V étant nulle, on a

I o=^ --— de H- — 7 de -I- ....

^ ' de de

Cette équation peut se déduire encore de l'équation V - o, en y faisant varier à la fois x, y, 2, c, c', . . . ; car, si l'on retranche l'équation {i) de cette différentielle, on aura l'équation [i').

En différentiant l'équation [i], on aura une nouvelle équation en de, de',..., qui, avec l'équation [i'), servira à déterminer les paramètres c, c , . . . . C'est ainsi que les géomètres qui se sont occupés les premiers de la théorie des perturhations célestes ont déterminé les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites; mais on peut simplifier cette différentiation de la manière suivante.

Considérons généralement l'équation différentielle du premier ordre V'= o, équation qui, comme on vient de le voir, convient également à l'ellipse variable et à l'ellipse invariable qui, dans l'instant dt, coïncide avec elle. Dans l'instant suivant, cette équation convient encore aux deux ellipses, mais avec cette différence, que c, c' , . . . restent les mêmes dans le cas de l'ellipse invariable, au lieu qu'ils changent avec l'ellipse variable. Soit V" ce que devient V lorsque l'ellipse est supposée invariable; soit V) ce que devient cette même fonction dans le cas de l'ellipse variable. Il est clair que, pour avoir V", il faut changer, dans V, les coordonnées x, y^ z, qui sont relatives au commencement du premier instant dt^ dans celles qui sont relatives au commencement du second instant; il faut ensuite augmenter les différences premières dx, dy, dz respectivement des quantités d'^x, d^y, d^z, relatives à l'ellipse invariable, l'élément dt du temps étant supposé constant.

Pareillement, pour avoir V, il faut changer dans V les coordonnées x,y, z dans celles qui sont relatives au commencement du second instant, et qui sont encore les mêmes dans les deux ellipses; il faut ensuite augmenter dx, dy, dz respectivement des quantités d^x, d^y, d'^z; enfin, il faut changer les paramètres c, c',... dans c-hdc,c -+- de',