PREMIERE PARTIE. - LIVRE II

est de l'ordre i'~ ?, et qu'ainsi ces termes sont du même ordre que ceux de la longitude moyenne qui dépendent du même angle. Ceux-ci ayant pour diviseur le carré de i'n — in, on voit que l'on peut négliger à leur égard les termes correspondants de e, lorsque i'n' — in est une très-petite quantité.

Si, dans les termes de l'expression de dz qui sont uniquement fonctions des éléments des orbites, on substitue, au lieu de ces éléments, les parties séculaires de leurs valeurs, il est clair qu'il en résultera des termes constants, et d'autres termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons des orbites. Les termes constants produiront dans l'expression de t des termes proportionnels au temps et qui se confondront avec le moyen mouvement de m. Quant aux termes affectés de sinus et de cosinus, ils acquerront par l'intégration, dans l'expression de £, de très-petits diviseurs du même ordre que les forces perturbatrices, en sorte que, ces termes étant à la fois multipliés et divisés par ces forces, ils pourront devenir sensibles, quoique de l'ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. Nous verrons, dans la théorie des planètes, que ces termes y sont insensibles; mais ils sont très-sensibles dans la théorie de la Lune et des satellites de Jupiter, et c'est de ces termes que dépendent leurs équations séculaires.

On a vu, dans le n° 65, que le moyen mouvement de m a pour expression-//a/iûf^dR, et que, si l'on n'a égard qu'à la première puissance des masses perturbatrices, dR ne renferme que des quantités périodiques. Mais, si l'on considère les carrés et les produits de ces masses, cette différentielle peut contenir des termes qui sont uniquement fonctions des éléments des orbites. En y substituant, au lieu de ces éléments, les parties séculaires de leurs valeurs, il en résultera des termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent les variations séculaires des orbites. Ces termes acquerront par la double intégration, dans l'expression du moyen mouvement, de très-petits diviseurs, qui seront de l'ordre des carrés et des produits des masses

OEuvres de L. — I. * 5o

perturbatrices, en sorte que, étant à la fois multipliés et divisés par les carrés et les produits de ces masses, ils pourront devenir sensibles, quoiqu'ils soient de l'ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. Nous verrons encore que ces termes sont insensibles dans la théorie des planètes.

73. Les éléments de l'orbite de m étant déterminés par ce qui précède, on les substituera dans les expressions du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude, que nous avons données dans le n** 22; on aura ainsi les valeurs de ces trois variables au moyen desquelles les astronomes déterminent la position des corps célestes. En réduisant ensuite ces valeurs en séries de sinus et de cosinus, on aura une suite d'inégalités, dont on formera des Tables, et l'on pourra ainsi calculer avec facilité la position de m à un instant quelconque.

Cette méthode, fondée sur la variation des paramètres, est très-utile dans la recherche des inégalités qui, par les rapports des moyens mouvements des corps du système, acquièrent de petits diviseurs et par là deviennent fort sensibles. Ce genre d'inégalités affecte principalement les éléments elliptiques des orbites; en déterminant donc les variations qui en résultent dans ces éléments, et en les substituant dans l'expression du mouvement elliptique, on aura, de la manière la plus simple, toutes les inégalités que ces diviseurs rendent sensibles.

La méthode précédente est encore utile dans la théorie des comètes; nous n'apercevons ces astres que dans une très- petite partie de leur cours, et les observations ne font connaître que la partie de l'ellipse qui se confond avec l'arc de l'orbite qu'elles décrivent pendant leurs apparitions; ainsi, en déterminant la nature de l'orbite considérée comme une ellipse variable, on aura les changements que cette ellipse subit dans l'intervalle de deux apparitions consécutives de la même comète; on pourra donc annoncer son retour et, lorsqu'elle reparaît, comparer la théorie aux observations.

Après avoir donné les méthodes et les formules pour déterminer par des approximations successives les mouvements des centres de gravité