PREMIÈRE PARTIE. - LIVRE II. 89i

Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes de dp et de dq^ et si l'on observe que l'on a, à très-peu près, c=: -^5 on aura

p= ~f,y-, r— tang© ^-* sin fi'/i'/ — zni + A — le— 1)6' 1,

^ yL[in — in) ^'' *- \o / /j

gm'kan (tangy; )^-' cos[r^7 - m^ + A - (g--i) g;]. En substituant ces valeurs dans l'équation s = qsïnv —pcosi^, on aura

* = TjJ^rn^hi) ^^^^'^' ^ sm[i'n7 - z«.; ç; + A - (g--i) 0,].

Cette expression de s est la variation de la latitude, correspondante au terme précédent de R; il est clair qu'elle est la même, quel que soit le plan fixe auquel on rapporte les mouvements de m et de m', pourvu qu'il soit peu incliné au plan des orbites; on aura donc ainsi la partie de l'expression de la latitude que la petitesse du diviseur i'n'— in peut rendre sensible. A la vérité, cette inégalité de la latitude ne renfermant ce diviseur qu'à la première puissance, elle est sous ce rapport moins sensible que l'inégalité correspondante de la longitude moyenne, qui renferme le carré de ce diviseur; mais, d'un autre côté, tangcp) s'y trouve élevé aune puissance moindre qu'une unité, remarque analogue à celle que nous avons faite, dans le n° 69, sur l'inégalité correspondante des excentricités des orbites. On voit ainsi que toutes ces inégalités sont liées entre elles et à la partie correspondante de R par des rapports très-simples.

Si l'on différentie les expressions précédentes de p et de ^, et si,

dans les valeurs de -^ et de ^ qui en résultent, on fait croître les

angles nt et n't des inégalités des moyens mouvements dépendantes de l'angle i'n't— int^ il en résultera dans ces différentielles des quantités qui seront uniquement fonctions des éléments des orbites, et qui peuvent influer d'une manière sensible sur les variations séculaires des inclinaisons et des nœuds, quoique de l'ordre des carrés des masses

perturbatrices, ce qui est analogue à ce que nous avons dit dans le n° 69 sur les variations séculaires des excentricités et des périhélies.

72. Il nous reste à considérer la variation de la longitude s de l'époque. On a, par le n° 64,

dt=:de\

— rfGj[E(Ocos(f-cj)+E(2)cos2(v — cT) +...];

en substituant pour E^**, W\ . . . leurs valeurs en séries ordonnées suivant les puissances de e, séries qu'il est facile de conclure de l'expression générale de E^'^ du n° 16, on aura

de = — 'idesin{v — gj) -f- T.edvscosv — rn)

-hedel^-h^e^-\-. . .] sinafi/ — gï) — e^dTn{^-\- \e^ -h . . .) C0S2(v — gï) ^ — e'rfefn-. . .)sin3(i' — Gj) + e»É?GT(i4-. . .) cos3(p — gj)

Si l'on substitue pour dt et eda leurs valeurs données dans le n° 67, on trouvera, en ne portant la précision que jusqu'aux quantités de l'ordre e^ inclusivement,

(lt=z ^i — e^\^7. — \ecos[v~rj5) H- e'»C0S2(f — gt)J -r-

-....^.?Sin(v-Gj)[l+icCOS(f-GT)]-r-.

ja ^i — e-* "*'

L'expression générale de dt contient des termes de la forme

m'kndtcos[i'n't — int -\- A),

et par conséquent l'expression de e en contient de la forme

m'kn . , .. , -q—, — — sm [i n t — int H- A ) ; in— in ^ '

mais il est facile de se convaincre que le coefficient k dans ces termes