PREMIERE PARTIE. - LIVRE I

le système en équilibre, est un point du système très-remarquable, en ce qu'étant soutenu, le système animé par la pesanteur reste en équilibre, quelque situation qu'on lui donne autour de ce point, que l'on nomme centre de granité du système. Sa position est déterminée par la condition que, si l'on fait passer par ce point un plan quelconque, la somme des produits de chaque corps par sa distance à ce plan est nulle; car cette distance est une fonction linéaire des coordonnées ce, y, z du corps; en la multipliant donc par la masse du corps, la somme de ces produits sera nulle en vertu des équations (o).

Pour fixer la position du centre de gravité, soient X, Y, Z ses trois coordonnées par rapport à un point donné ; soient x, y, z les coordonnées de m, rapportées au même point; x', y' , z' celles de m', et ainsi de suite; les équations (o) donneront

mais on a 2mX — X2m, Im étant la masse entière du système; on a donc

On aura pareillement

Zm 2tm

ainsi, les coordonnées X, Y, Z ne déterminant qu'un seul point, on voit que le centre de gravité d'un système de corps est unique. Les trois équations précédentes donnent

équation que l'on peut mettre sous cette forme :

X2 + Y2 4- Z2 = ^rri[x^+y-^^z^) lmm'[{x'--xY-\^{r' ~rY~^~[^' -z)^ ^

l'intégrale finie 1mm' [{x — xy + {y' — yY 4- {z'— z)^] exprimant la somme de tous les produits semblables à celui qui est renfermé sous la

caractéristique 2, et que l'on peut former en considérant deux à deux tous les corps du système. On aura donc ainsi la distance du centre de gravité à un point fixe quelconque, au moyen des distances des corps du système à ce même point fixe, et de leurs distances mutuelles. En déterminant de cette manière la distance du centre de gravité à trois points fixes quelconques, on aura sa position dans l'espace; ce qui donne un nouveau moyen de le déterminer.

On a étendu la dénomination de centre de gravité à un point d'un système quelconque de corps pesants ou non pesants, déterminé par les trois coordonnées X, Y, Z.

16. Il est facile d'appliquer les résultats précédents à l'équilibre d'un corps solide de figure quelconque, en le concevant formé d'une infinité de points liés fixement entre eux. Soit donc dm un de ces points, ou une molécule infiniment petite du corps; soient x, y, z les coordonnées rectangles de cette molécule; soient encore P, Q, R les forces dont elle est animée parallèlement aux axes des x, des y et des z; les équations (m) et (n) du numéro précédent se changeront dans les suivantes

o=:fPdm, o=fQdm, o^fKdm, o=f{Vy — Qx) dm, o^=f[Pz — ^x)dni, o=f{Ry^ — Qz)dm,

le signe intégral / étant relatif à la molécule dm, et devant s'étendre à la masse entière du solide.

Si le corps ne peut que tourner autour de l'origine des coordonnées, les trois dernières équations suffisent pour l'équilibre.