LIVRE I

on aura ainsi trois des six équations qui renferment les conditions de l'équilibre du système. Les seconds membres de ces équations sont les sommes des forces du système, décomposées parallèlement aux trois axes des x, des y et des z ; chacune de ces sommes doit donc être nulle dans le cas de l'équilibre.

Les équations S/= o, ^/'= o, ^f"= o, . . . seront encore satisfaites si l'on suppose z, z', z", . . . invariables, et si l'on fait

ô;r = j èm, â/ = — X àvs,

Scy étant une variation quelconque. En substituant ces valeurs dans l'équation (/), on aura

-^ a , as ds

^•^ dx ôy

Il est visible que l'on peut changer, dans cette équation, soit les coordonnées X, x\ x", ..., soit les coordonnées y, y', y", ..., en z, z\ z", . . . , ce qui donnera deux autres équations qui, réunies à la précédente, formeront le système suivant d'équations

o = 2/nS [y

dx

El.

ôy

Zmo\ z -. x-T-

Ox oz

-, „ , ds ds^

Im^y^-z^j,

ds

la fonction ImSy-r- est, par le n° 3, la somme des moments de toutes les forces parallèles à l'axe des x, pour faire tourner le système autour de Taxe des z. Pareillement, la fonction ImSx^ est la somme des moments de toutes les forces parallèles à l'axe des j, pour faire tourner le système autour de l'axe des z, mais en sens contraire des premières forces; la première des équations {n) indique, par conséquent, que la

OEuvres de L, — I. n

somme des moments des forces est nulle par rapport à l'axe des z. La seconde et la troisième de ces équations indiquent semblablement que la somme des moments des forces est nulle, soit par rapport à l'axe des y, soit par rapport à l'axe des x. En réunissant ces trois conditions à celle-ci, savoir, que les sommes des forces parallèles à ces axes soient nulles par rapport à chacun d'eux, on aura les six conditions de l'équilibre d'un système de corps invariablement unis ensemble.

Si l'origine des coordonnées est fixe et attachée invariablement au système, elle détruira les forces parallèles aux trois axes, et les conditions de l'équilibre du système autour de cette origine se réduiront à ce que les sommes des moments des forces pour le faire tourner autour des trois axes soient nulles relativement à chacun d'eux.

Supposons que les corps m, m', m\ ... ne soient animés que par la pesanteur. Son action étant la même sur tous ces corps, et les directions de la pesanteur pouvant être supposées les mêmes dans toute l'étendue du système, on aura

ds

ds'

ds"

dx

" dx'

~ dx"

ds

ds'

ds"

dy

-dy'

- dy"

ds

ds'

ds"

dz

~ dz'

~ dz"

Les trois équations (n) seront satisfaites, quelle que soit la direction de s ou de la pesanteur, au moyen des trois suivantes

[o] o=^imx, o^^lmy, o^-lmz.

L'origine des coordonnées étant supposée fixe, elle détruira parallèlement à chacun des trois axes les forces S-r~lm, S-.! m, S-r-2m;

dx dy Oz

en composant ces trois forces, on aura une force unique égale k Slm, c'est-à-dire, égale au poids du système.

Cette origine des coordonnées, autour de laquelle nous supposons ici